项分布与其应用讲义

1、 要点梳理1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条 件下,事件B发生的概率叫做_,用符号 _来表示,其公式为P(B|A)= . 在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的个 数,则 12.5 二项分布及其应用条件概率P(B|A)基础知识 自主学习 (2)条件概率具有的性质： _； 如果B和C是两互斥事件,则 P(BC|A)=_.2.相互独立事件 (1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响, 则称_. (2)若A与B相互独立,则P(B|A)=_, P(AB)=_=_. (3)若A与B相互独立,则_,_,_也都 相互独立. (4)若P(AB)=P(A)

2、P(B),则_. 0P(B|A)1P(B|A)+P(C|A)A、B是相互独立事件P(B)P(B|A)P(A)P(A)P(B)A与B相互独立3.二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的, 各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次 试验只有_种结果,即要么发生,要么不发生,且任何 一次试验中发生的概率都是一样的.(2)在n次独立重复试验中,事件A发生k次的概率为 _(p为事件A发生的概 率),事件A发生的次数是一个随机变量X,其分布列为 _,记为_. 二项分布XB(n,p)两基础自测1.小王通过英语听力测试的概率是 他连续测试 3 次,那么其中恰有1次获得通过的概率是 ( )

3、 A. B. C. D. 解析 所求概率A2.一射手对同一目标独立地进行四次射击,已知至少 命中一次的概率为 则此射手的命中率为 ( ) A. B. C. D. 解析 设此射手射击目标命中的概率为P,B3.设随机变量 则P(X=3)等于 ( ) A. B. C. D. 解析A4.一个电路如图所示,A、B、C、D、 E、F为6个开关,其闭合的概率都是 且是相互独立的,则灯亮的概率 是 ( ) A. B. C. D. 解析 设A与B中至少有一个不闭合的事件为T, E与F至少有一个不闭合的事件为R, 则 所以灯亮的概率 B5.设10件产品中有4件不合格,从中任意取2件，试求 在所取得的产品中发现有一

4、件是不合格品,另一件也 是不合格品的概率是 ( ) 解析 记事件A为“有一件是不合格品”,事件B为 “另一件也是不合格品”,A 题型一 条件概率【例1】1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个 白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2 号箱,然后从2号箱随机取出一球,问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出 红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？题型分类 深度剖析 从2号箱取出红球,有两种互斥的情况:一是当从1号箱取出红球时,二是当从1号箱取出白球时. 解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球.思维启迪 求复杂事件的概

5、率,可以把它分解为若干 个互不相容的简单事件,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后利用概率的可加性,得到最终结果. 探究提高知能迁移1 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝 色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数 之和大于8”. (1)求P(A),P(B),P(AB)； (2)当已知蓝色骰子两点数为3或6时,问两颗骰子的 点数之和大于8的概率为多少？ 解 (1)设x为掷红骰子得到的点 数,y为掷蓝骰子得到的点数,则 所有可能的事件与(x,y)建立对 应,由题意作图,如右图所示： (2)方法一 方法二 题型二 事件的相互独立性 【例2】 (2008天津)甲、乙两个篮球

6、运动员互不影 响地在同一位置投球,命中率分别为 与p,且乙投球 2次均未命中的概率为 (1)求乙投球的命中率p; (2)求甲投球2次,至少命中1次的概率； (3)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概 率. 甲、乙两人投球是相互独立的；同一人 的两次投球也是相互独立的.用独立事件同时发生的 概率求解. 思维启迪解 (1)方法一 设“甲投球一次命中”为事件A, “乙投球一次命中”为事件B,由题意得(1-P(B)2=(1-p)2= 解得 (舍去),所以乙投球的命中率为 方法二 设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B,由题意得 所以乙投球的命中率为(2)方法一 由题设和(1)

7、知, 故甲投球2次至少命中1次的概率为方法二 由题设和(1)知, 故甲投球2次至少命中1次的概率为(3)由题设和(1)知,甲、乙两人各投球2次,共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次,乙2次均不中；甲2次均不中,乙中2次.概率分别为所以甲、乙两人各投球2次,共命中2次的概率为探究提高 (1)相互独立事件是指两个试验中,两事 件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中,两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的概率时,先求其对立事件的概率往往比较简单. 知能迁移2 设甲、乙两射手独立地射击同一目标， 他们击中目标的概率分别为、0.9,求： (1)两人都击中目标的概率

8、； (2)两人中恰有1人击中目标的概率； (3)在一次射击中,目标被击中的概率； (4)两人中,至多有1人击中目标的概率. 解 设事件A=甲射击一次,击中目标, 事件B=乙射击一次,击中目标,A与B相互独立. 则P(A)=0.8,P(B)=0.9, (1)两人都击中目标的事件为AB, P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.72, 即两人都击中目标的概率为0.72.(2)设事件C=两人中恰有1人击中目标,=P(A)1-P(B)+P(B)1-P(A)=0.80.1+0.90.2=0.26,即两人中恰有1人击中目标的概率为0.26. (3)设D=目标被击中=两人中至少有1人击中目标,本问有

9、三种解题思路：方法一 =P(A)1-P(B)+P(B)1-P(A)+P(A)P(B)=0.80.1+0.90.2+0.80.9=0.98,即目标被击中的概率是0.98. 方法二 利用求对立事件概率的方法.两人中至少有1人击中的对立事件为两人都未击中,所以两人中至少有1人击中的概率为即目标被击中的概率是0.98.方法三 D=A+B,且A与B独立,P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.80.9=0.98.故目标被击中的概率是0.98. (4)设E=至多有1人击中目标,=0.80.1+0.90.2+0.10.2=0.28.故至多有1人击中目标的概率为0.28.

10、题型三 独立重复试验与二项分布 【例3】 (12分)一名学生每天骑车上学,从他家到学 校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红 灯的事件是相互独立的,并且概率都是 (1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分 布列； (2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y 的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 思维启迪 因为在各个交通岗遇到红灯的事件相互 独立,且概率均为 因此该题可归结为n次独立重复试验与二项分布问题. 解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验,则遇到红灯的概率为 且每次试验结果是相互独立的,故 2分所以X的分布列为 4分(2)由于Y表示这名学生在

11、首次停车时经过的路口数, 显然Y是随机变量,其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：Y=k(k=0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯,但在第k+1个路口遇上红灯,故各概率应按独立事件同时发生计算. 6分而Y=6表示一路没有遇上红灯,故其概率为因此Y的分布列为： 8分 Y0123PY456P(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 X1=X=1或X=2或或X=6, 10分所以其概率为 12分探究提高 要正确理解独立重复试验与独立事件间 的关系,独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验,每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生,要么不发生),并且在任

12、何一次试验中,事件发生的概率均相等.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此),就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样. 知能迁移3 (2008山东高考改编)甲、乙两队参加 奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者 为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对 的概率均为 乙队中3人答对的概率分别为 且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 表示甲 队的总得分. (1)求随机变量 的分布列； (2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一 事件,用B表示“

13、甲队总得分大于乙队总得分”这一 事件,求P(AB). 解 (1)由题意知, 的可能取值为0,1,2,3,且所以 的分布列为0123P(2)方法一 用C表示“甲队得2分乙队得1分”这一 事件,用D表示“甲队得3分乙队得0分”这一事件,所以AB=CD,且C、D互斥,由互斥事件的概率公式得方法二 用Ak表示“甲队得k分”这一事件,用Bk表 示“乙队得k分”这一事件,k=0,1,2,3.由于事件A3B0,A2B1为互斥事件,故有P(AB)=P(A3B0A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).由题设可知,事件A3与B0独立,事件A2与B1独立,因此P(AB)=P(A3B0)+P(A2B1)=P(A3

14、)P(B0)+P(A2)P(B1) 1.古典概型中,A发生的条件下B发生的条件概率公式 为 其中,在实际应用中 是一种重要的求条件概率的方法.2.运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立 的条件,只有当事件A、B相互独立时,公式才成立.3.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 其中p是一次方法与技巧思想方法 感悟提高 试验中该事件发生的概率.实际上， 正好是二项式(1-p)+pn的展开式中的第k+1项.1.独立重复试验中,每一次试验只有两种结果,即某事 件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中某事 件发生的概率相等.注意恰好与至多(少)的关系,灵 活运用对立事件.

15、2.二项分布要注意确定成功概率. 失误与防范 一、选择题1.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概 率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互 不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( ) 解析 由题意知,甲、乙都不被录取的概率为 (1-0.6)(1-0.7)=0.12. 至少有一人被录取的概率为1-0.12=0.88. D定时检测2.在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同.若事 件A至少发生一次的概率为 则事件A在一次试验 中出现的概率为 ( ) A. B. C. D.以上都不对 解析 设一次试验出现的概率为p， A3.如图所示,在两个圆盘中，指针 落在本圆盘每个数所在区域的

16、机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 由独立事件发生的概率得A4.某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射 击,此人至少有两次击中目标的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 两次击中的概率 三次击中的概率 至少两次击中目标的概率A5.位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点 每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并 且向上、向右移动的概率都是 质点P移动五次后 位于点(2,3)的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3 次,因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为B6.袋中有红

17、、黄、绿色球各一个,每次任取一个，有 放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 三次均为红球的概率为 三次均为黄、绿球的概率也为 抽取3次颜色相同的概率为B二、填空题7.(2008湖北文,14)明天上午李明要参加奥运志愿 者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自 己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响 的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率 是_. 解析 设A=“两个闹钟至少有一个准时响”. P(A)=1- =1-(1-0.80)(1-0.90) =1-0.20.1=0.98. 8.高二某班共有60名学生,其中女生有20名，三好

18、学 生占 而且三好学生中女生占一半.现在从该班同 学中任选一名参加某一座谈会 .则在已知没有选上 女生的条件下,选上的是三好学生的概率为_. 解析 设事件A表示“任选一名同学是男生”；事 件B为“任取一名同学为三好学生”,则所求概率为 P(B|A).9.有一批书共100本，其中文科书40本,理科书60本, 按装潢可分精装、平装两种,精装书70本,某人从这 100本书中任取一书，恰是文科书,放回后再任取1 本,恰是精装书,这一事件的概率是_. 解析 设“任取一书是文科书”的事件为A,“任取 一书是精装书”的事件为B,则A、B是相互独立的事 件,所求概率为P(AB).三、解答题10.(2008重庆文,18)在每道单项选择题给出的4个 备选答案中,只有一个是正确的.若对4道选择题中的 每一道都任意选定一个答案,求这4道题中： (1)恰有两道题答对的概率； (2)至少答对一道题的概率. 解 视“选择每道题的答案”为一次试验,则这是4 次独立重复试验,且每次试验中“选择正确”这一事 件发生的概率为由