几何画板的迭代功能(3讲)

1、 几何画板新版中的迭代与带参数的迭代应用一、教学目标：知识与技能：理解几何画板中的迭代(Iterate)与带参数的迭代(IterateToDepth)功能；过程与方法：通过构造分形图形、构造正多边形；构造ICME-7会徽、构造动态勾股定理、构造谢宾斯基三角形、定积分意义的动态演示、构造正弦线等实例，充分理解【变换】菜单下的【迭代】(带参数的迭代)功能。情感、态度与价值观：培养对几何图形的审美意识和不断追求完美的精神，增强对数学前沿知识的追求意识。二、教学过程：1构造分形图案自然界中有许多物体和现象常是它们自身的多次重复，局部与它的整体以某种方式相似。例如任意一棵大树上的一棵小树枝，它的形状与大

2、树本身相似，这称为自相似性。还有如海岸线、浮云的边界、波浪起伏的海面、流体的湍流、刚体内的裂缝、山地轮廓等，被经典几何学称为“病态”的被当作个别特例的不规则集被普遍地称为分形。但这些不光滑曲线或曲面有时比传统几何图形能更好地描述许多自然现象。1975年，美国的曼德布罗特(B.Manedlbrot)创立了分形几何学用以描述这类曲线，20世纪80年代中期分形几何学得以迅速发展，而今已成为本世纪各个领域中专家学者所注目的前沿焦点学科之一。新版的几何画板中【变换】一迭代(或带参数的迭代)可以制作一些简单的分形图案。下面就以几何画板4.04(或4.05)来辅于说明。例1制作Koch曲线(源文件)1厂画线

3、段AB,以A为中心，缩放点B(固定比为3)，得到B，把它改为C，再以B为中心，缩放点A,得到A，把它改为D,隐藏线段AB；双击C点(标记中心)，选择点D,旋转60，得到点E；(3)连接线段AC、CE、ED；【图表】-新建参数t,把它的值该为2；依次选择点A、B,t,按Shift键,，选择【变换】带参数的迭代,弹出对话框如图1t=2.00F图1XIsaflAnFBn0迭代趣：2-显示d仃|结初區)-|帮肪:Wir-B（6）依次选择A、C,按Ctrl+A,增加一列（对应点）依次选择C、E,再按Ctrl+A,又增加一列（对应点），依次选择E、D,再按Ctrl+A,又增加一列（对应点），依次选择D、B

4、,选择“显示”中的最终迭代，如图2所示，单击“迭代”；-M_垢了赠儘匚）I（7）例2选择参数t,按键盘上的画一棵树（源文件）图2”、“+”可以得到不同迭代次数下的Koch曲线。1）画一条线段AB；以A为旋转中心，把点B旋转120得到B，再以2为缩放比缩放点B，得到B，把它改为C,再把点C旋转120得到C，把它改为D,连接AC,AD,隐藏B。（2）【图表】-新建参数t,把它的值该为2；（3）依次选择点B、A,t,按Shift键，选择【变换】带参数的迭代,弹出迭代对话框，依次选择点A、C,按Ctrl+A,增加一列（对应点），依次选择A、D,选择“显示”中的完整迭代，单击“迭代”；隐藏点C、D,显示

5、如图3图3前面使用的是带参数迭代的方法来制作分形图形,事实上,用【变换】迭代的方法也可以实现类似的效果。下面不妨以例2为例加以说明。（1）同例1的第一步；（2）依次选取点B、A,选择【变换】迭代,显示如图4,选择“显示”中的完整迭代（对迭代次数可通过键盘上的“+”、“一”来调整）。依次选择点A、C,按Ctrl+A,增加一列（对应点），依次选择A、D,单击“迭代”；隐藏点C和点D；2dcA3迭代W：3n显示CD)I皓构T帮助血I舉程迭代|迭代原垂到竝B=AA=叵图4选择【图表】f新建参数t,把它的值该为3,按Ctrl+A(全选)，按键盘上的+”、“一”即可显示相应的迭代效果。当t=4时，在空白处

6、单击，显示如图3所示。仿照例2的方法可以画出另一棵树,如图5所示,图5脚本文件如下：先决条件：1点2点厶八、3.度量结果操作步骤：1.堂制丽：作点氏和点B之间的裟段瑩制/V:以点日为中心点檢低CI.D度方向艇转点此健藏卜瑩制A；由点阳揑50.0%以日为中心点缩放4雀制A:以点B齿中右点拣60.0度方向旋转点A-5.総制丙：作点用和点日之间的线段i瑩制耐：作点A1和点B之间的裟段丁雀制A：作钱段丽的中点8.尝制A:占点A按向量B-A平移盟我)-绘制A1-；由A以按50.0%UJLAj中心直镰啟贋锻)-D.绘制i：作直缪”和点A之间的线段.瑩制F：以点A为中性点按60.0度方向谨转线段jB12.让

7、迭代规贝I1按A和日到巳們日朋和A.A的3映射迭代石次12.翌制1:imageofABunder迭代规则1-14.益制2:imagecifABunder代规则1=1&魁制3:imageafABunder迭代规则1-1EL绘制4：imageof线段junder迭代规则11绘制5:imageafjunder代规则12构造正多边形例3.画正多边形(源文件)画两个点A,B；【图表】f新建参数n，取值为3；360o计算，把它标记角度，同时标记A为中心，把B旋转至B，计算n-1,连接nBB；选取点B和n=3,按住Shift键，选择【变换】f带参数的迭代,选择“显示”中的完整迭代，把B点对应到B，具体见图6

8、所示；隐藏点B，型，n-1，选择n=3，按键盘上的“+”、“一”即可显示相应迭代n图6图73构造ICME-7会徽例4.画第七届国际数学教育大会(ICME-7)会徽的主体图案(图8)和演化前的图形(图9)图8图9演化前的图形(源文件)画点O和点A使得它们的长度等于1cm，选择点A和线段OA,构造垂线；【图表】新建参数r=lcm,以A为圆心，r为半径构造圆，与直线相交与点A2；【图表】-新建参数t=3，选取点O和点A1，选择【变换】-带参数的迭代,选择“显示”中的完整迭代，依次单击点O和点A2，单击迭代；选择t=3,按键盘上的“+”、“一”即可显示相应迭代效果，图8是t=6时的情况。主体图案(源文

9、件)画点O和点A1，使得它们的长度等于lcm，选择点A1和线段OA1，构造垂线；新建参数r=1cm，以A为圆心，r为半径构造圆，与直线相交与点A2；选取点O和点A2，构造直线j,【图表】-新建参数角度=4o,并把它标记角度，标记A2为旋转中心，选取直线j,选择【变换】旋转,按“标记角度”旋转得到直线k；在直线k上任取一点E为圆心，以OA2为半径作圆，与直线k相交与F、G,隐藏直线k、j,点G,圆；依次选取点O和点A2和点A1，选择【构造】三角形内部,度量OA1和OA2的长度，计算三角形oa2a1的面积S,选取“三角形内部”和面积S,选择【显示】-颜色-参数，单击确定；(构造三角形面积和颜色的对

10、应关系)选择【图表】新建参数迭代=7,依次选取点O和点A2，迭代=7,按住shift键，选择【变换】-带参数的迭代,选择“显示”中的完整迭代，依次单击点F和点E,单击迭代；隐藏表格，隐藏迭对象，如图10所示，隐藏点F和点E,点O和点A2和点A1，即为图9效果。选择父对象雇性(QL.虚钱細线租线颤色心隐藏迭代象QP追踪迭代象生成迭代象的动画图104构造勾股定理例5.动态勾股定理(如图11)(源文件)图11画线段AB,以点A为中心，点B旋转90o至C,以点B为中心，点A旋转90。至D,画线段BC，CD，DA,依次选择点A，B，C，D,选择【构造】一四边形内部,度量周长，选择【显示】-颜色-参数,单

11、击确定；以CD为直径画圆，依次选取点C、点D和圆，选择【构造】-圆上的弧,得半圆，在半圆上构造一点E,选取点E(不要连接线段EC、ED),选择【编辑】操作类按钮动画,单击确定，构造点E在半圆上的动画；选择【图表】新建参数t=3,依次选取点A和点B,t=3，按住shift键，选择【变换】-带参数的迭代,选择“显示”中的完整迭代，依次单击点D和点E,按Ctrl+A,增加一列(对应点)，依次选择C、E,单击“迭代”；隐藏点A、B、C、D、E；隐藏迭对象;选择t=3,可增加迭代次数；单击按钮【运动点】可动态观看图形；图11就是t=3时的一幅运动画面。Sierpinski三角形漩涡练习：试构造Sierp

12、inski三角形、漩涡、玫瑰花、海螺背影、蜘蛛网、反雪花曲线等图案来熟悉迭代命令。蜘蛛网反雪花曲线玫瑰花海螺背影【提示：构造KOCH曲线的重要步骤新建参数n=2,画线段AB,把点B缩放后得到两个三等分点C,D,再把点D以点C为中心旋转60o得到点E,按住shift键，依次选择点A,B,n,进行多映射迭代，具体选项如下图所示，隐藏线段AB即可。这样当n=1时，会保留完整的依次迭代图案。此法比例1方法优越,还可建立工具,绘制出更复杂的反雪花曲线。r二2.00越代I)CtrH-A&.6S断口刑整的录I辺怛说百点的fl逼）-_迭代_-it;+减少谋代-一显示时一左垫迭代IU：星疼送忙區根号线的另一制作

13、方法步骤：新建参数“r=1cm”，在画板上任意画一点O，以O为圆心，r为半径画圆eO，在1圆eO上任取一点A，连接线段OA，过点A作线段OA的垂线l,以点A为圆心，r为1半径画圆eO，圆eO与垂线l相交于点A(在线段OA上方的交点)；隐藏eO和2211eO，直线l，连接线段OA，AA211新建参数“n=3”，选中点A1和参数“n=3”，同时按住“shift”键，选择【变换】tA*4迭代显示(Di送代【带参数的迭代】，出现对话框，单击点A，单击迭代按钮则可1r=1.00米n=3.00i头代次渝：”帮助M5.n等分一条已知线段方法一：【度量】一【计算】命令分别计算(1)新建画板，新建两个参数n=6

14、,k=1，利用kk+1,nk】,一的值,nk(2)画线段AB，双击点A，把点B以一为比值进行缩放得到点B，把点B按极坐标平n移方式向上平移0.2厘米得到点B，连接线段BB”，隐藏点B,B(3)依次选择度量值k=1,nk1=4，按住Shift键，利用【变换】一【带参数的迭代】命令，创建knk+1，迭代次数为nk1的迭代。4)选择n，按键盘上的“+”、“一”改变的值n，观察相应图形的变化。(如图一)BB1.00BBAk0.17图一n=6.00k+1=2.00n-k-1=4.00说明：(1)深度迭代中依次选取的最后一个对象一定要是度量值，一般都为参数(不带单位)，也可为其它度量值(带有单位)且要在按

15、住Shift键的情况下选择“变换”菜单中的“带有参数的迭代”，此时它是黑色可用的命令。(2)此法迭代的基本思路是：标记线段AB的一个端点A为中心，把线段的另一个端点B12按一缩放，得到第一个n等分点，在把点B按一缩放得到第二个n等分点，依次类推，直nn到第n-1个等分点。此法主要用到几何画板的变量迭代以及图形的对应。方法二：新建参数n=3，计算丄，把线段AB的端点B按-缩放得到点B，把点B按极坐nn标平移方式向上平移0.2厘米得到点B，连接线段BB，隐藏点B,B，计算n-1；依次选择n二3,点A,n-1，按住按住Shift键，利用【变换】一【带参数的迭代】命令，创建如图三所示的迭代。选择n，按

16、键盘上的“+”、“一”改变的值n，观察相应图形的变化。图二图三说明：此法所用的基本思想是：标记线段AB的一个端点A为中心，把线段的另一个端点B按1缩放，得到第一个n等分点，在通过构造nnn-1，AnB的迭代，得到以点B为n11缩放中心，以(即入)为缩放比进行缩放而得到的第二n等分点，依次类推。n-123.定积分的几何意义新建画板，绘制新函数f(x)二ex，在x轴上任取两点A、B(一般点A在左侧)新建参数t=12，并计算t-1和1，把点B按比值1以点A为缩放中心缩放得到点B，tt选中点A、B，度量他们的横坐标，计算相应的函数值，根据这两对坐标画出函数f(x)二ex上的两点E,F，分别作线段AE,

17、BF，过点E作x轴的平行线交线段BF于点G,隐藏该直线，作线段EG，依次选择点A、E、G、B，构造四边形内部，度量AE、EG,AE-EG的长度，度量原点与单位1之间的距离d，计算xlcmx1cm，把它记为S，1Aa-.-o移动穆动B点至：0）|图四4卞最丈值=50新建参数so-0，计算so%1cmx1cm，把值记为So，计算So+Si依次选中参数t二12，点A，so二0，t-1，按住阿键，利用【变换】一沖11.99-sQ-0.0000$1=0.1567厘米2Sn+Si=D.1667厘米茲-nt-i1智If务40Hu.oeocoO.i?1-160.1507區材D.10DT區护11QOJJ00.1

18、7DJS1.191.A0D1Diasaaa厘来丫2日0.10a.ssDD1厢1.M口空爼H护aS9D2厘护30.11a.coDJ71JW13D274：肛来2aaros厘栄470.18a.mrD531.052.803246BJM211956H25a0.1a.ssmn2SOS.720M36兰215701I!#a目0.171DO1.17an3.210删區撐2JM2I區捧74001171.332i27QDJ033Z產押630251.5B斗紀J5323Sjtt13.1QQ5區来上i2口朋1to1.8?4书.7-4UC附上3.0-413$QtJK1ia1OjQO1.671J935296.35St*!1481QQOt*!1in0uao1.E32JJDBZ5T.誨1042寸駆:5ST14JK2数的迭代】命令，创建tnt+1,snS+S,AnB的迭代，完成相应迭代过程。001说明：有时可以通过拖动点来实现参数改变，具体操作如下：j拖我画线段KJ,在其上任取一点“拖我”，度量比值“”，新建