条件概率全概率公式的课件

1、2.1 条件概率、乘法定理第二章 条件概率与独立性2.2 全概率公式 2.3 贝叶斯(Bayes)公式 2.4 事件的独立性 2.5 重复独立试验、二项概率公式将一枚硬币连抛两次，则样本空间是 如果我们已经知道试验结果中“至少出现了一次正面”,问此时例记一次正面一次反面, 则？分析记 至少出现一次正面从而由于 已发生,故“样本空间”变为 试验的所有可能结果两个概率含义不同，值也不相同定义2.1 条件概率、乘法定理1 .条件概率若 则称则称为在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率.为 发生的条件下 发生的条件概率.设 是随机试验E两个事件，且 注意 (1)区别P(B|A)与P(AB).(2)一

2、般地 在几何概型的场合，如果向平面上的正方形内随机地投点，A表示事件“点落在圆形区域A内”，B表示“点落在圆形区域B内”， 在已知事件A发生的条件下事件B 发生的条件概率为（1）非负性 对任意事件B，有（2）规范性 对必然事件 ，有（3）可列可加性 对于两两互不相容的事件B1,B2,， 有（4）条件概率条件概率 的性质为样本空间.从另一角度看条件概率 设 为样本空间,且事件 A已发生分析已发生，所以样本空间变为从而条件概率可视为缩小的“样本空间” 上的概率, 即例3.2 有10个人,其中色盲人3人,从这10人中每次任选一人,共选两次.设A=第一次选出色盲人,=第二次选出色盲人,求解法1 利用条

3、件概率公式计算 故解法2 利用“缩减样本空间”的方法计算1037第一次选出色盲人后927故注意:区别P(B|A)与P(AB).例3.3 设袋中有5个大小和形状完全一样的球，其中有2个白球，3个黑球。从袋中取球2次，每次随机地取1个球。按放回抽样和不放回抽样两种取球方式，求： (1)第二次取到白球的概率；(2)在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率.解 设A=第一次取到白球, B=第二次取到白球.放回抽样：试验的基本事件总数n=55=25.(1)B包含基本事件数为 52=10. 故(2)事件AB包含基本事件数为 22=4. 事件A包含基本事件数为 25=10.不放回抽样：试验的基本事件总

4、数为54=20.(1)事件B包含基本事件数为32+21=8,故(2)事件AB包含基本事件数为21=2. 事件A包含基本事件数为24=8. A=第一次取到白球, B=第二次取到白球.由条件概率 对称地,若可推得乘法公式 若 ,则2. 乘法公式（1）对三个事件A, B, C，若P(AB)0，则有（2）对于n个事件A1 , An,若 ，有乘法公式一般用于计算几个事件同时发生的概率推广球队第 轮被淘汰记例3.4 某球队要经过三轮比赛才能出线. 该球队第一轮比赛被淘汰的概率为0.5,第二轮比赛被淘汰的概率为0.6,第三轮比赛被淘汰的概率为0.7 . 求球队出线的概率.球队出线则解“球队出线”=例2 设事

5、件A是B的子事件,0 P(B) , P(A) 1， 则下列选项必然成立的是（ ） P(A) P(A|B) P(A)P(A|B) P(A)P(A|B) P(A)P(A|B)例3 P(A)=0.6,P(A B)=0.84,P(S -B)|A)=0.4,则 P(B)=( ).例1 已知 0P(B)1，且 P(A1 A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B) 记C=S-B ,则下列选项成立的是（ ） P(A1 A2)|C=P(A1|C)+P(A2|C) P(A1B A2B)=P(A1B)+P(A2B) P(A1 A2)=P(A1|B)+P(A2|B) P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(

6、B|A2) 如何将一个复杂概率计算问题分解为简单计算问题之和？设 为样本空间，若事件 满足：两两不相容，即 想法将 的计算分解到上计算然后求和通常要求2.2 全概率公式BSA1A2例3.7 病树的主人外出,委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的的概率为0.8，如果浇水，树死去的的概率为0.15，有0.9的把握确定邻居会记得浇水，求主人回来树还活着的概率.解 设B=“树还活着”，A=“邻居记得浇水”于是设 满足上面的两条件，则对任何事件 有全概率公式注意：（1）该公式一般用于：所求事件的发生可能由某些原因引发.（2）在应用该公式时，必须先找出引发该事件发生的所有原因.例3.8 某车间有四个班组

7、生产同一种产品，生产的产品没有任何区别的表示被均匀地混合在一起.已知这四个组的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，这四个组的产品的次品率(某一组产品的次品率是指从该组生产的产品中随机地抽取1件事次品的概率)分别为0.05，0.04，0.03，0.02。现从该车间的产品中任取1件，问抽取到次品的概率是多少？解 设Ai表示事件“任取的1件产品是第i组生生产的”(i=1,2,3,4)，B表示“任取的1件产品是次品”.解 设Ai表示事件“任取的1件产品是第i组生产的”(i=1,2,3,4)，B表示“任取的1件产品是次品”.根据全概率公式可得概率树则由乘法公式有由全概率公式有3.3 贝叶斯

8、(Bayes)公式贝叶斯公式设 两两不相容， Bayes 方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计、检验、判别、推理等方面Bayes公式的实际意义假定 为导致试验结果的“原因”称先验概率为若试验事件B发生了, 则要探讨事件发生的“原因”称 为后验概率后验概率可以通过 Bayes 公式进行计算 后验概率反映了试验后对各种“原因”发生的可能性大小的推断先验概率反映了各种“原因” 发生的可能性大小（在试验前是知道的） Bayes公式的重要意义在于利用人们掌握的先验知识来推断后验概率例3.9 某车间有四个班组生产同一种产品，生产的产品没有任何区别的标志被均匀地混合在一起.已知这四个组的产量分别占总产量的1

9、5%，20%，30%，35%，这四个组的产品的次品率分别为0.05, 0.04, 0.03, 0.02。现任抽取1件抽到次品，问该次品是由各班生产的概率是多少？在例3.7中，已求出解 设Ai表示“任取的1件产品是第i 组生产的”(i=1,2,3,4)， B表示“任取的1件产品是次品”.现要求出根据贝叶斯公式可得例3.10 在电报通讯中，发送端发出的是由“.”和“-”两种信号组成的序列.由于受到随机干扰，接受端收到的是由“.”，“-”和“不清”三种信号组成的序列.假设发送“.”和“-”的概率分别是0.6和0.4；在已知发送“.”时，接受到“.”，“-”和“不清”的概率分别为0.7，0.1和0.2；在已知发送“-”时，接受到“.”，“-”和“不清”的概率分别为0.1，0.8和0.1，求(1)接收到信号“.”，“-”和“不清”的概率；(2)在接收到信号“不清”的条件下，发送信号为“.”和“-”的概率.解 设A1和A2分别表示事件“发送信号.和-”，用B1,B2和B3分别表示事件“接收信号.,-和不清”解 设A1和A2分别表示事件“发送信号.和-”，用B1,B2和B3分别表示事件“接收信号.,-和不清”(1)由全概率公式可得(2)根据贝叶斯公式可得由 Bayes 公式,所求的概率为例3.11 已知自然人患有癌症的概率是0.005.据以