Chap3离散数学共82张课件

1、软件测试华中科技大学软件学院Wu Jianjie2019.11.2022/8/161第1页，共82页。测试人员的离散数学测试本身要进行数学描述和分析。即以数学方法为工具，使得测试人员变得严格、精确和高效，并改进测试。对离散数学的非正式讨论。下一章学习图论 。离散数学更适用于功能性测试，而图论更适用于结构性测试。2022/8/162第2页，共82页。测试人员的离散数学集合论二元关系函数命题逻辑概率论2022/8/163第3页，共82页。1 集合论集合的基本概念集合的基本运算集合的定义方式维恩图有限集合的元素数目两集合之间的关系集合的划分小结2022/8/164第4页，共82页。1 集合论基本概念

2、不能精确定义 耿素云 徐洁磬对于给定的集合和事物，可判定这个特定事物是否属于该集合，若属于，称它为这个集合的元素集合指的是一些可确定的可分辨的事物构成的整体 。一个集合是指所研究对象的全体 。每个对象是该集合中的一个元素。2022/8/165第5页，共82页。1 集合论基本概念集合通常用大写英文字母标记，集合中的元素通常用小写英文字母标记 全体26个英文字母的集合，S1=a,b,c,d, 二维坐标平面上所有点的集合，S2=(0,0),(0.2,1.8), 华中科技大学软件学院全体教职工的集合 S3=陈传波，陈业美，肖来元，。 或记做：S3=M,F，M是所有男性教职工的集合，M=陈传波，陈业美。

3、，F是所有女性教职工的集合，F=蒋清荣，石桂林。 MA,MB,FA,FB分别表示40岁以下和以上男性教职工、30岁以下和以上女性教职工的集合 2022/8/166第6页，共82页。1 集合论基本概念 任意一个元素要么属于某一个集合，要么不属于某一个集合，二者必居其一 。集合元素的特点 集合元素之间彼此相异，且没有次序关系。几种特定集合的符号表示 N：自然数集合 Z：整数集合（也有的书上用I表示，但一般用I表示区间0,1） Q：有理数集合 R：实数集合 C：复数集合3,4,53,4,4,4,55,3,4 2022/8/167第7页，共82页。1 集合论定义方式集合的定义方式有三种列举法：列举已知

4、集合中的所有元素，元素之间用逗号隔开， S3=陈传波，陈业美，肖来元，。,NextDate的年份集合Y=1812,1813,2019描述法：给出判别规则，利用元素特性刻画的方法表示，适用于元素很多或无穷的情况 ， S=人|他是华中科技大学软件学院姓陈的教职工之一=陈传波，陈业美，陈长清, NextDate的年份集合Y=年|1812=年=2019递归指定集合：通过其他集合构建，通常是通过计算规则定义集合中的元素。 例如：设 ， 则有2022/8/168第8页，共82页。1 集合论定义方式用描述法定义集合的两点说明判别规则必须无歧义，使得定义清晰。有可能在逻辑上太复杂，使得客户被带有谓词演算量词

5、和 的语句弄糊涂。常常与自引用有关。S华中科技大学软件学院长的胖的男性教职工，应改为S华中科技大学软件学院的男性教职工，且其体重超过其标准体重20以上，标准体重（按公斤计算）由其身高（按厘米计算）减去100所得到。如Seville的理发师“是为所有不刮自己胡子的人刮胡子的人”2022/8/169第9页，共82页。1 集合论定义方式集合的4个性质确定性。对一个具体集合来说，其元素是确定的，一个元素或在此集合中，或不在此集合中，两者必居其一。无重复性。集合中元素彼此不同，没有重复的元素，这与后面图论中涉及的多重集合不同，那里因为特殊的原因允许有重复的元素。集合元素的无次序性。集合元素是抽象的，甚至

6、可以是集合。 如NextDate的年份集合Y=Y1,Y2，Y1=闰年|1812=闰年=2019，Y2=平年|1812=平年=20192022/8/1610第10页，共82页。1 集合论集合之间的关系子集真子集集合相等空集全集幂集 设A,B为两个集合，若B中每个元素都是A中的元素，称B为A的子集合，简称子集，或B被A包含，或A包含B，记做 。符号化表示： 设A,B为集合，如果 且 ，则称A与B相等，记做A=B。符号化表示为： 。如果二者不相等，记做 。设A,B为集合，若 且 ，则B是A的真子集，记做 。真子集集合相等有限/无限集2022/8/1611第11页，共82页。1 集合论集合之间的关系子

7、集真子集集合相等空集全集幂集有限/无限集空集是客观存在的。不含任何元素的集合称空集，记做 。定理：空集是一切集合的子集。如果集合被决策规则定义为永远失败，则该集合是空集华中科技大学软件学院所有年龄低于20岁的教职工。 2022/8/1612第12页，共82页。1 集合论集合之间的关系子集真子集集合相等空集全集幂集有限/无限集如果一个集合包含了我们所考虑的每一个集合，则称该集合为全集。在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称该集合为全集，记做E或U。全集是相对性概念。研究华中科技大学：其全体教职工为全集，研究武汉高校：则武汉高校全体教职工为全集。2022/8/1613第13页，

8、共82页。1 集合论集合之间的关系子集真子集集合相等空集全集幂集有限/无限集设A为集合，则A的全体子集构成的集合称为A的幂集，记做 P(A)，符号化表示为：2022/8/1614第14页，共82页。子集真子集集合相等空集全集幂集有限/无限集1 集合论集合之间的关系如果一个集合的元素有限，称为有限集，反之是无限集 。设A是有限集，则A中元素的数目用n(A)或|A|表示，称为集合的基数 或集合的势。2022/8/1615第15页，共82页。1 集合论维恩图华中科技大学软件学院全体教职工集合的维恩图 1月U12月3月5月NextDate中有31天的月份集合的维恩图 7月8月10月M:所有男性教职工的

9、集合F:所有女性教职工的集合A:所有年龄大于40岁的教职工集合MA:所有年龄大于40岁的男性教职工集合2022/8/1616第16页，共82页。为特定元素加标签1 集合论维恩图存在的问题如何表示有限和无限集合 如何显示集合或集合的一部分是空集 对空集部分加阴影，或给出图例，表明阴影部分的实际含义只是为突出所感兴趣的部分2022/8/1617第17页，共82页。1 集合论基本运算A和B的并A和B的交A的补A和B的差A和B的对称差设A、B是两个集合，则ABA和B的并A和B的交2022/8/1618第18页，共82页。1 集合论基本运算A和B的并A和B的交A的补A和B的差A和B的对称差设A、B是两个

10、集合，则ABA的补A和B的差2022/8/1619第19页，共82页。1 集合论基本运算A和B的并A和B的交A的补A和B的差A和B的对称差设A、B是两个集合，则ABA和B的对称差2022/8/1620第20页，共82页。1 集合论基本运算对任意两集合A和B并、交运算可推广到n个集合的情形 并、交运算可推广到无穷集合的情形若A和B无公共元素，则 ，称它们是分离的 2022/8/1621第21页，共82页。1 集合论基本运算等同律：支配律：幂等律：求反律：交换律：结合律：分配律：迪摩根定律：吸收律：取补律：集合运算的恒等式2022/8/1622第22页，共82页。1 集合论基本运算包含对称差的恒等

11、式不一定成立运算优先权取补交并括号2022/8/1623第23页，共82页。1 集合论元素数目含有n个元素的集合简称n元素，它的含有m个(m=2)具有或者不具有，两种情况必居其一，令Ai表示S中具有性质Pi的元素构成的集合，则S中不具有性质P1,P2,Pm的元素数是 有限集合元素数目的计算可采用维恩图进行求取，也可利用包含排斥定理求取 2022/8/1625第25页，共82页。1 集合论划分划分的含义是将整体分成小块，使得所有事物都在某个小块中，不会遗漏。 1234给定集合B以及B的一组子集A1,A2,An，这些子集是B的一个划分，当且仅当： ，且 ，这样的一个划分是一组子集： ，所以我们常把

12、单个子集看作是划分的元素。 2022/8/1626第26页，共82页。1 集合论划分对于华中科技大学软件学院全体教职工，有4种划分方法： 所有男性教职工和所有女性教职工 所有年龄大于四十岁的教职工和所有年龄不大于四十岁的教职工 所有教工和所有职工 所有办公室在二楼的教职工、所有办公室在三楼的教职工和所有办公室在四楼的教职工 2022/8/1627第27页，共82页。1 集合论划分划分的含义是将整体分成小块，使得所有事物都在某个小块中，不会遗漏。 1234给定集合B以及B的一组子集A1,A2,An，这些子集是B的一个划分，当且仅当： ，且 ，这样的一个划分是一组子集： ，所以我们常把单个子集看作

13、是划分的元素。 完备性无冗余性如何找出合适的划分？而功能性测试的固有弱点是漏洞和冗余性2022/8/1628第28页，共82页。1 集合论划分对于三角形例子，有3种划分方法： 三角形和非三角形 等边三角形、等腰三角形、不等边三角形和非三角形 等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、直角三角形和非三角形a=3b=4c=52022/8/1629第29页，共82页。1 集合论小结基本要求 掌握集合、子集、全集、空集等概念，熟悉常用集合表示方法，能用维恩图表示集合，能判定元素与集合、集合与集合之间的关系。懂得两集合间相等关系和包含关系的定义和性质。 掌握集合的五种基本运算：并、交、补、差和对称差的定义。

14、 了解幂集定义及计算有限集的幂集所含元素个数、所使用的方法和思想。 了解抽屉原理和简单情形的容斥原理。 理解划分的定义。2022/8/1630第30页，共82页。1 集合论小结疑难点解析 集合中无重复元素。 注意维恩图只是对某些集合之间的关系及运算结果给出的一种直观而形象的示意性的表示，不能用于证明集合等式及包含关系。 注意空集和集合本身一定在该集合的幂集中。 清楚集合划分的定义，这与等价关系的概念密切相关。 注意区别差和对称差。 注意两符号 和 意义的区别。2022/8/1631第31页，共82页。测试人员的离散数学集合论二元关系函数命题逻辑概率论2022/8/1632第32页，共82页。2

15、 二元关系关系的基本概念偏序关系关系的运算等价关系关系的性质小结2022/8/1633第33页，共82页。2 二元关系基本概念无序/有序对称(a,b)为由元素a和b组成的无序对，称为由元素a和b组成的有序对（或序偶），a,b可相同。当a!=b时，(a,b)=(b,a)，而!= 平面直角坐标系中点的坐标是有序对：和是不同的有序对的特点 当 时， ； 两个有序对相等，即 ，的充分必要条件是x=u且y=v。 有序n元组一个有序n元组(n=3)是一个有序对，记做 =,xn ，其中第一个元素是一个有序n-1元组。第一元素第二元素2022/8/1634第34页，共82页。2 二元关系基本概念笛卡儿乘积设A

16、、B是两集合，A到B的笛卡尔乘积AB是： ，即A到B的笛卡尔乘积是所有有序偶的集合，其中有序偶的第一个元素属于A，第二个元素属于B。 笛卡儿积的性质 若A、B中有一个空集，则它们的笛卡尔积是空集，即 当 ，且A、B都不是空集时，有 ，即不适合交换律 当A、B、C都不是空集时，有： ，即不适合结合律 满足分配律，即 若A、B中分别有m、n个元素，则AB和BA中均有mn个元素2022/8/1635第35页，共82页。2 二元关系基本概念二元关系/全关系/全关系/关系设A、B是两集合，从A到B的一个二元关系R是AB的一个子集，即： 。如果 ，称R是A到B的全关系；如果 ，称R是空关系；如果 ，称R是

17、A上的关系。 通常，如果两元素的有序偶 ，称x与y具有关系R。 2022/8/1636第36页，共82页。2 二元关系基本概念定义域/值域/前域/陪域一个二元关系R的定义域domR（或D(R)）是R中有序对的第一个元素构成的集合，值域ranR（或V(R)）是R中有序对的第二个元素构成的集合。R的前域R的陪域 图中表示的R:AB，A=ai|i=1,7，B=bi|i=1,7，R=, 2022/8/1637第37页，共82页。2 二元关系基本概念关系的表示方法 关系图表示 关系矩阵表示 图中表示的R:AB，A=x1,x2,x3,x4，B=y1,y2,y3，R=, 设R:AB，A,B为有限集，且|A|

18、=n,|B|=m，A,B中的元素已按一定次序排列，若A=x1,xn，By1,ym，则R的关系矩阵是矩阵M(R)=(rij)nm，且 ， i=1,n，j=1,m。 表格表示，实质和矩阵表示一样 课程表关系R如下：（其中每一行是关系R中的一个元素，行的次序并不重要） 课程号节数教师课程名称CS105 10A计算机科学 CS105 20B计算机科学 CS105 30C计算机科学 CS170 10D数学CS170 20E数学CS240 10F离散结构CS240 20G离散结构课程号节数教师课程名称CS105 10A计算机科学 CS105 20B计算机科学 CS105 30C计算机科学 CS170 10

19、D数学CS170 20E数学CS240 10F离散结构CS240 20G离散结构2022/8/1638第38页，共82页。2 二元关系运算复合运算 设 ，则R1和R2的复合是： 如果R:AB，则 ，复合运算满足结合律及并运算分配律，但不满足交运算分配律。补运算 设 ，则R关于AB的补是集合：逆运算 设 ，则R的逆是： 设有集合A,B,C，关系R:AB,S:BC，则有： 2022/8/1639第39页，共82页。2 二元关系性质自反性反自反性对称性反对称性传递性2022/8/1640第40页，共82页。2 二元关系性质自反性反自反性对称性反对称性传递性定义 有 有若则若且则若且则关系矩阵的特点主

20、对角线元素全是1主对角线元素全是0矩阵为对称矩阵若rij=1且，则rji=0 关系图的特点图中每个顶点都有环图中每个顶点都没有环若两个顶点之间有边，一定是一对方向相反的边若两个顶点之间有边，一定是一条有向边 若顶点xi到xj有边，xj到xk有边，则从xi到xk有边 2022/8/1641第41页，共82页。2 二元关系性质家庭关系：考虑兄弟关系，同胞关系，祖先关系 2022/8/1642第42页，共82页。2 二元关系等价关系等价关系设A、B是两集合，设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。 在一群人集合上年龄相等的关系是等价关系，而朋友关系不一定是等

21、价关系（它可能不是传递的）。一般称这种自反的、对称的关系为相容关系 集合上的恒等关系是等价关系。 等价类设R是非空集合A上的等价关系，对任意 ，令 ，则称 为x关于R的等价类，简记做x。 2022/8/1643第43页，共82页。2 二元关系等价关系等价类的性质 ，且 ； 表明任何等价类都是集合A的非空子集 若xRy，则x=xy； 以上两性质表明在A中任取两个元素，它们的等价类或相等，或不交 若 ，则 ； 。 表明所有等价类的并集就是A 2022/8/1644第44页，共82页。2 二元关系等价关系A在R下的商集 设R为非空集合A上的等价关系，以R的不交的等价类为元素的集合称为A在R下的商集，

22、记做A/R。即划分 ； 中任意两个元素不交； 中所有元素的并集等于A； 设A是非空集合，如果存在一个A的子集族 满足以下条件:则称 为A的一个划分，并称 中的元素为划分块。 2022/8/1645第45页，共82页。2 二元关系等价关系非空集合A上定义等价关系，由它产生的等价类都是A的非空子集，不同的等价类之间不交，且所有等价类的并集是A。因此，所有等价类的集合，即商集就是A的一个划分，称为由R诱导的划分。反之，在非空集合上给定一个划分 ，则A被分割成若干个划分块，如下定义A上的二元关系R，对任何元素 ，如果x和y在同一划分块中，则xRy，则可证R是A上的等价关系，称为由划分 所诱导的等价关系

23、，且该等价关系的商集等于 。集合A上的等价关系集合A的划分一一对应2022/8/1646第46页，共82页。2 二元关系等价关系划分的含义是将整体分成小块，使得所有事物都在某个小块中，不会遗漏。1234完备性无冗余性如何找出合适的划分？等价类划分这是等价类测试方法的数学基础。2022/8/1647第47页，共82页。2 二元关系偏序关系偏序关系设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，简称偏序。 任何集合A上的恒等关系，实数集上的小于等于关系，正整数集上的整除关系都是偏序关系。 偏序集一个集合A与A上的偏序关系R一起叫做偏序集，记做。 2022/8/1

24、648第48页，共82页。2 二元关系小结 掌握二元关系的各种特殊性质，理解这些性质如何反映在关系图上、关系矩阵上等。 基本要求 掌握关系的运算，形式。 掌握掌握序偶和笛卡尔积的概念。 掌握二元关系的形式定义及表示方法。 掌握等价关系、划分、等价类的基本概念，弄清等价关系与划分之间的关系。 掌握偏序、偏序集的概念。2022/8/1649第49页，共82页。2 二元关系小结疑难点解析 对复合运算和逆运算性质的掌握；通过图形能直观给出两关系复合之后的结果。 注意从x到y的关系与从y到x的关系的异同。它们的差别表现在它们的表示方法及运算上等 分析关系的性质。2022/8/1650第50页，共82页。

25、测试人员的离散数学集合论二元关系函数命题逻辑概率论2022/8/1651第51页，共82页。3 函数函数的基本概念逆函数函数类型函数的复合常用函数集合之间的关系小结2022/8/1652第52页，共82页。3 函数基本概念函数设F为二元关系，若对任意的 ，都存在唯一的 ，使得xFy成立，则称F为函数。 关系F1=,是函数，而关系F2=,不是函数，对于 有x1Fy1和x1Fy2同时成立。 函数一般用大写或小写英文字母表示。 从A到B的函数设A和B是集合，f是从A到B的二元关系，若对 ，都存在唯一的一个 ，使得 ，则称f是从A到B的函数或映射，记作f：AB，或f(x)y。x在f下的象y在f下的原象

26、2022/8/1653第53页，共82页。3 函数基本概念定义域/值域 对函数f：AB，A称为f的定义域，记为Dom(f)。 集合 称为f的象或值域。有时也将Im(f)记为f(x)，它是B的子集(可能是真子集)。 A中每个元素均出现在有序偶中，并作为有序偶的第一个分量 若f(a)=b且f(a)=c，则b=c，即A中的每个元素在f作用下的值是唯一的。 函数是从A到B的关系，但具有特殊性质2022/8/1654第54页，共82页。3 函数类型上函数f(A)=B，称f是满射 设f:AB是从A到B的函数，则 B的每个元素都与A的某个元素关联 中函数多对一函数一对一函数一一对应函数 ，称f是内射 B中至

27、少有一个元素与A的某个元素关联 若f(ai)=f(aj)，可推出ai=aj，称f是单射（或入射），否则称多对一保证某种形式的唯一性：不同定义域元素永远不会映射到相同的值域元素上 既是一对一映射，又是满射，称f是双射多个定义域元素可映射到相同的值域元素上 B的每个元素都与A的某个元素关联，且不同定义域元素总映射到不同的值域元素上 2022/8/1655第55页，共82页。上函数中函数一一对应函数一对一函数2022/8/1656第56页，共82页。3 函数类型设从实数集R到R的四个函数如下 多对一函数一对一函数，但不是上函数（满射）上函数，但不是一对一一一对应函数2022/8/1657第57页，共

28、82页。3 函数类型NextDate问题，取集合A,B,C为NextDate的日期集合，：A日期：1812年1月1日=日期=2019年12月31日B日期：1812年1月2日=日期=2019年1月1日C=NextDate:AB是NextDate:AC是三角形问题，A为Trgl的边集合，B,C,D为Trgl的类型集合：A=a,b,c|a,b,c为整数，并构成三角形的三条边B=等边三角形C=等腰三角形D=非等边三角形 Trgl:AB，Trgl:AC，Trgl:AD是对于中函数和上函数，采用基于定义域或基于值域的功能性测试时，一对一函数要求比多对一函数的测试要多得多。一个一对一的上函数，即双射函数 一

29、个一对一的中函数多对一的函数2022/8/1658第58页，共82页。3 函数常用函数常函数恒等函数单调函数设f:AB，若存在 ，使得对所有的 都有f(x)=y，称f:AB是常函数。对所有的 都有IA(x)=x，称为恒等函数。设f:RR，对于任意 ，如果x1x2，有f(x1)=f(x2)，则称f为单调递增，如果x1x2，有f(x1)f(x2)，(x)=y，称f为严格单调递增。类似的可定义单调递减和严格单调递减的函数，它们统称单调函数。 2022/8/1659第59页，共82页。3 函数函数的复合函数是特殊的二元关系，两个函数的复合本质上是两个关系的合成，以前给出的有关关系合成的素有定理都适合于

30、函数的复合。 2022/8/1660第60页，共82页。3 函数函数的复合 对于任意的 ，有 对表明函数F和G复合之后仍然是一个函数，但其定义域可能小于G的定义域，而函数值 等于函数设F,G为函数，则 也是函数，且满足：函数设f:BC，g：AB，则 ，且对任意 有 。显然，如果 是 在f之下的象， 是b在g之下的象，则c是a在 之下的象。 2022/8/1661第61页，共82页。3 函数函数的复合2022/8/1662第62页，共82页。3 函数函数的复合 佣金问题，f1(枪机，枪托，枪管)=销售额，f2(销售额)=佣金。函数的复合链对于测试人员可能是个问题，尤其是当一个函数的值域是函数复合

31、链“下一个”函数定义域的真子集。见如下数据流图. fgabc因果流非因果流fgabcBbb2022/8/1663第63页，共82页。3 函数函数的复合复合函数的性质 设有函数f:BC，g:AB： 如果f,g是满射的，则 也是满射的；如果f,g是单射的，则 也是单射的；如果f,g是双射的，则 也是双射的。 设有函数f:BC，g:AB： 如果 是满射，则g是满射的；如果 是单射，则f是单射的；如果 是双射，则f是单射，g是满射的。2022/8/1664第64页，共82页。3 函数逆函数任意给定一个函数，它的逆不一定是函数。函数f=,，它的逆 f-1=,，显然 f-1是关系，但不是函数，对于 有两个

32、值x2,x2与之对应，破坏了函数的单值性。 逆函数何时存在？设f:AB是双射的，则f-1是函数，并且是从B到A的双射函数，称f-1为f的逆函数（反函数）。 对任何双射函数f:AB和它的反函数f-1:BA，它们的复合函数都是恒等函数，且满足： 恒等函数都是一一对应的。 设f:AB，g:BC，f,g的反函数都存在，则 的反函数也存在，且 函数NextDate和前一日函数PrevDate互为反函数逆函数充当某种“交叉检查”，常可加快功能性测试用例的标识。 2022/8/1665第65页，共82页。3 函数集合之间的关系势用于集合时，指集合中的元素个数。 给定两个集合A,B，一个关系，关系R的势是：

33、一对一势，当且仅当R是A到B的一对一函数（单射）； 多对一势，当且仅当R是A到B的多对一函数； 一对多势，当且仅当至少有一个元素 在R中的两个有序对偶中，即 且 ； 多对多势，当且仅当至少有一个元素 在R中的两个有序对偶中，且至少有一个元素 在R中的两个有序对偶中， 即 和 ，且 和 。2022/8/1666第66页，共82页。3 函数集合之间的关系给定两个集合A,B，一个关系 ，关系R的参与是： 全参与，当且仅当A中的所有元素都在R的某个有序对偶中； 部分参与，当且仅当A中有元素不在R的某个有序对偶中； 上参与，当且仅当B中的所有元素都在R的某个有序对偶中； 中参与，当且仅当B中有元素不在R

34、的某个有序对偶中；2022/8/1667第67页，共82页。3 函数小结基本要求 理解集合的象及原象的定义及相关性质。给定一个函数，能确定一点的的象，一个集合的原象及两函数的复合等。 掌握函数的基本概念，弄清单射、满射、双射之间的区别。给定一个函数，能确定它是否是单射、满射、双射等。 掌握复合函数和反函数的定义，弄清它们存在的条件。 2022/8/1668第68页，共82页。3 函数小结疑难点解析 对函数的几种形式：单射、满肘、双射应清楚其概念。单射要求不同点对应不同的象，采用等价定义证明单射，即：若象相同，则原象相等。满射要求每个点存在原象，可按定义证明，或通过集合演算得到。说明一个映射不是

35、单射，只需找到两个不同的点有相同的象即可，而要说明映射不是满射，则需找到某个点，说明不存在原象。 清楚函数的定义。A到B上的函数与A到B上的一般关系的不同在于：(1)函数要求A中一个元素只对应一个象，关系则可是一个元素对应多个象：(2)函数要求集合A中每个元素都应有象，而关系不要求这一点，A中元素可以没有象。 。 清楚函数的定义域、值域的定义及求法。 对函数的复合及反函数，能求出指定函数的复合及反函数。 2022/8/1669第69页，共82页。测试人员的离散数学集合论二元关系函数命题逻辑概率论2022/8/1670第70页，共82页。4 命题逻辑命题联结词命题变元与命题公式小结2022/8/

36、1671第71页，共82页。4 命题逻辑命题定义简单命题复合命题能判断真假的陈述句为命题。 以两值为对象的事物称为命题。 2是整数。雪是黑色的。明天下午有课吗？请关上门。基本的、原始的，不能再被分割成更小的命题。 用小写的英文字母表示。由联结词联结而成的命题。 （疑问句，不是命题） （真命题） （假命题） （祈使句，不是命题） 2022/8/1672第72页，共82页。4 命题逻辑联结词否定（非） p为真，则 为假，反之，如果p为假，则 为真。 为真，当且仅当p,q同时为真。相当于串联开关电路。相当于“与”、“且”、“和”、“又”、“以及”、“既又“”、“不仅而且”、“虽然但”PQ 为真，当且仅当p,q至少有一个为真。相当于并联开关电路。相当于“或”、“或许”、“或者” PQ 为假，当且仅当p为真且q为假。相当于“如果那么”、“只要就”、“必须以便”、“仅当则” 前件 （前提）后件 （结论）合取析取蕴涵等价 为真，当且仅当p,q真值相同。相当于“当且仅当”、“充分必要”、“相当于”、“和一样”、