小学奥数几何(燕尾模型)

1、 #/18 /18燕尾定理例题精讲燕尾定理:在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么，SABOSACOBD:DC上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径通过一道例题证明燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，t#你说明：S1:S4S,:S3BD:DC【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S1：S4BD:DC；三角形ABE与三角形EBD同高，

2、S：S2ED:EA；三角形ACE与三角形CED同高，S4：S3ED:EA,所以:S4&；综上可得，S1:S43:&BD:DC.11 /1811 /18【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1,E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC1:2,DFEC的面积等于方法一：连接CF,根据燕尾定理,SaabfBDSaacfDCAD与BE交于点SaabfAEScbfEC1,设SaBDF1份，贝USaDCF2份,5所以SdcefSaABC12方法二：连接SAADESadef而Sacde12SAABF3份,SAAEFSAEFC3份，如图所标由题目条件可得到SAABD1Sa

3、abc3-Saadc2SaDEB如图，已知BD汰ABC3BFFESaabdSaadeSabEC23SSABC，12SaABCDFEC的面积等于12EC2AE,三角形ABC的面积是求阴影部分面积.题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线,（法一）连接CF,因为BDDCEC2AE,三角形ABC的面积是30,汇,1所以SaABE-SaABC10,SaABD3根据燕尾定理,SAABFAE11SSaABC2SAABF所以SAABFSACBF

4、EC2BDCD1，SABFD157.57.5,所以阴影部分面积是30107.512.5.1（法二）连接DE,由题目条件可得到SaABE-Saabc10-SabdeSabec2312AFSABE一_SaABC10,所以23FDSBDE /18 /18SADEFSaDEA21SSAADC3SAABC232一21而$4cde-SAABC10.所以阴影部分的面积为322.5,12.5.【巩固】如角形ABC的面积是200AE:EC3:5,BD:DC2:3连接CF,根据燕尾定理,设SAABF份，所以AD与BE交于点FSDcfeBDSaabfSAACFBDDC6SaabfAE9，SICB；EC贝USAACF

5、200(69EC9份,Sabcf10份，4545E在则四边形610SaEFCAC上，点D在BC上，且DFEC的面积等于10)(6)8(-6)882AE,BE与CD相交于点293(cm)Sacdf310623O,则AABC被分成的4部分面积各占如图，已知ABC面积的几分之几?连接CO,设SAAEO则其他部分的面积如图所示，所以分按从小到大各占1份,ABC面积的,24.5303013960,3031013.530,AABC1)_9_20291830份，所以四部（2007年香港圣公会数学竞赛）如图所示，在ABC中,CP1CQ-CA,3BQ与AP相交于点X,若ABC的面积为6,则AABX的面积等于1一

6、，_2_CA,所以SvABQ-SvABC,331由于CP-CB,CQ2SVBPQ1SVBCQ2S/ABC由蝴蝶定理知,AX:XPS/ABQ:S/BPQ_SvABC:-S/ABC4：1,44122SVABXSVABPSVABCSVABC62.455255方法二：连接CX设SACPX1份，根据燕尾定理标出其他部分面积,所以Saabx6(1144)42.4【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，BD2DC，的面积各是多少？CE2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分【解析】连接CF,设Saaef1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以SAAEF,SAABF21-,SABDF,SFDC

7、E21721242217如图，E在AC上,D在BC上，且AE:EC2:3,BD:DC1:2，AD与BE交于点F.四边形DFEC的面积等于22cm2,则三角形ABC的面积连接CF,根据燕尾定理,SAABFSaacfBDDCSAABFSACBFAEEC23,SADCFSAABFc2SAAEF41.623份，SAEFC2.4份,如图所标，所以SEFDC2.44.4份,SAABC2所以SAABC224.4,2、945(cm)三角形ABC中，C是直角,部分）的面积为多少？已知ACCD2,CB3，AMBM，那么三角形AMN（阴影连接BN.ABC的面积为322根据燕尾定理，ACN:ABNCD:BD2:1;同

8、理CBN/CANBM:AM1:1设AAMN面积为1份，则4MNB的面积也是1份，所以4ANB的面积是112份，而4ACN的面积就是224份，4CBN也是4份，这样4ABC的面积为441110份，所以AMN的面积为31010.3.【巩固】如图，长方形ABCD的面积是平方厘米？2平方厘米，EC2DEF是DG的中点.阴影部分的面积是多少【解析】【例2】DEC设SADEF如图所示,1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示%影55一Sabcd一平方厘米.1212在四边形ABCD中,AB3BE,AD3AF,四边形AEOF的面积是12,那么平行四边形BODC的面积为1：2,SAAOD:SABOD【解析】连接AO

9、,BD,根据燕尾定理SAABO:SABDOAF:FDAE：BE2:1,设$4beo1,【例3】【例4】则其他图形面积，如图所标，所以SbodcABCD是边长为12厘米的正方形,形AGCD的面积是连接AC、S正方形（111)22saeof21224.E、F分别是AB、BC边的中点,AF与CE交于如图，正方形面积是平方厘米.SAAGC1份，6份，Sadcg31根据燕尾定理得SAAGB24份，所以Sadcg12641份，SABGC296(cm)ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形平方厘米.1份，则BGHF的TOC o 1-5 h z【解析】连接BH,根据沙漏模型得B

10、G:GD1:2，设Sbhc1份，根据燕尾定理SAchd2份，SAbhd21277伤，因此S正方形（122）210彳刀,Sbfhg，所以Sbfhg1201014（平方厘米）.2366【例5】如图所示，在4ABC中，BE:EC3:1,D是AE的中点，那么AF:FC.【解析】连接CD.由于SABD：SABED1：1,SABED：SABCD3：4,所以SAABD:SABCD3：4,根据燕尾定理，AF:FCSAABD:SABCD3:4.【巩固】在ABC中，BD:DC3:2,AE:EC3:1,求OB:OE?【解析】连接OC.3因为BD:DC3:2,根据燕尾定理,SAOB:SAOCBD:BC3:2,即SAO

11、BSAOC；24SSAOE32SAOE,一，4一3又AE:EC3:1,所以SAOC-SAOE则SAOB-SAOC32所以OB:OESaob:SAOE2:1.【巩固】在ABC中，BD:DC2:1,AE:EC1:3,求OB:OED【解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比.本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC.连接OC.因为BD:DC2:1,根据燕尾7E理，SAOB:SAOCBD:BC2:1,即SAOB2sAOC；4sAOE

12、.则SAOB2sAOC24sAOE8SAOE,又AE:EC1:3,所以SAOC所以OB:OESAOB:SAOE例6（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且11AE1AB,CF1BC,AF与CE相交于G,若矩形ABCD的面积为120,则AEG与CGF的34面积之和为【解析】（法1）如图，过F做CE的平行线交AB于H,则EH:HBCF:FB1:3,.1所以AE-EB2EH,2一,12所以SAEGSABF33一223且EG2HF2-EC334AG:GFAE:EH2,即AG231Sxabcd10.9421EC,故CGGE,则SCGF21SAEG2所以

13、两三角形面积之和为10515.（法2）如上右图，连接AC、BG.根据燕尾定理，SABG:SACG-1-而SABCSXABCD60,23所以SABG,SABC321则SAEGSABG10,SCFG3BF:CF3:1,Sbcg:SACGBE:AE16030,Sbcg2一SBCG5,4SABC20,所以两个三角形的面积之和为15.【例71如右图，三角形ABC中，BD:DC4:9,CE:EA4:3,求AF:FB.A【解析】根据燕尾定理得SAOB：SaAOcBD：CD4:912:27SAAOB：SABOCAE：CE3：412：16（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以Saoc:SABOC27:

14、16AF：FB【点评】本题关键是把AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC3:4,AE:CE5:6,求AF:FB.【解析】根据燕尾定理得SAAOB:SAAOCBD:CD3:415:20SAaob:SAbocAE:CE5:615:18（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以SAAOC:SABOC20:1810:9AF:FB如图，BD:DC2:3,AE:CE5:3，则AF:BF根据燕尾定理有SAABG:SAACG2:310:15,SAabg:SABCG5

15、:310:6，所以SAACG:SABCG15:65:2AF:BF如右图，三角形ABC中，BD:DC2:3EA:CE5:4,求AF:FB.B【解析】根据燕尾定理得SAAOB:SAAOC/AOD/AOCBD:CD2:310:15SAAOB:SABOCAE:CE5:410:8（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以Saaoc:Saboc15:8AF:FB /18 /18【点评】本题关键是把4AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！例8(2008年“学而思杯AF:FBBD:DCCE:AE三角形AGE

16、的面积为六年级数学试题）如右图角形ABC中，3:2,且三角形ABC的面积是1,则三角形ABE的面积为连接AH、BI、CG.,三角形GHI的面积为AEFHD由于CE:AE3:2,所以AE2AC5故SABE根据燕尾定理，SACG:SABGCD:BD2:3SACG:SABG:SBCG4:6:9,则SACG4192GSABC5SBCG:SABG92一,5CE:EA3:2BCG19,2那么SageSAGC55198一,95同样分析可得SACH9,贝UEG:EH19SACG:SACH4:9,EG:EBSacg:SACB4:19,所以EG:GH:HB4:5:10,同样分析可得AG:GI:ID10:5:4,所

17、以SBIEBAE_510SGHI5511SBIE1919519【巩固】如右图，三角形ABC中,形ABC的面积.AF:FBBD:DCCE:AE3:2,且三角形GHI的面积是1,求三角【解析】连接BG,SAagc6份根据燕尾定理，SAagc:SabgcAF:FB3:2得SABGC4(i),SAABG9(份)，则SAABC6:4,Saabg:SaagcBD:DC19（份），因止匕&AGCSAABCg193:29:6同理连接AI、CH得红里SAABC6SzBIC19SAABC619所以反包SAABC1966619119三角形GHI的面积是1,所以三角形ABC的面积是19【巩固】（2009年第七届“走进

18、美妙的数学花园”初赛六年级AF2FC,那么ABC的面积是阴影三角形面积的）如图，ABC中BD2DA,CE2EB,倍.【巩固】【解析】【点评】【巩固】【分析】根据燕尾定理，SBCI:SACI所以，S那么，SBCIACI:SBCI:SABI2_同理可知积的如图在BD：AD2:1,Sbci：Sabi1:2:4,SABC124ABCACG和ABH的面积也都等于ABC面积的3工，所以7ABC中,DCCF:AF1:2,ABC的面积是阴影三角形面积的EAFB1十一，求FA2ghi的面积ABC的面积,所以阴影三角形的面积等于7倍.的值.ABC面ECDB连接BG,设Sabgc1份，根据燕尾定理Saagc:Sab

19、gcAF:FB2:1,SAabg：SaagcBD:DC2:1,得$乙agc2（份），SABH2SAABC7所以4SaABCSBICSAABC72SAABGS24（份），则Sabc7（份），因此/C,同理连接AI、CH得SAABC7如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.如图在MBC中，匹生里1,求上3的值.DBECFA3ABC的面积I【解析】连接BG,设SaBGC1份，根据燕尾定理Saagc:SabgcAF:FB3:1,SLabg:SaagcB

20、D:DC3:1,得国AGC3（份），SAABG9（份），则ABC13（份），因此巨经3,同理连接AI、CH得SAABC13SAABHSAABC13,SABICSaABC13所以包空SAABC1331313【巩固】如右图，三角形GHI的面积.ABC中,AF:FBBD:DCCE:AE4:3,且三角形ABC的面积是74,求角形连接BG,Saagc12份根据燕尾定理，SaAGC:SABGCAF:FB4:312:9,SAABG:SAAGCBD:DC4:316:12得$4BGC9(i),SaABG16(份)，则&ABC9121637（份），因此SAagcSAABC12371237,同理连接AI、CH得皂之

21、-,SAABC37SAABC所以SaGHI371212121SAABC3737三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是7437例9两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示,7,则阴影四边形的面积是多少？三个三角形的面积分别是3,7,方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形.设三角形为ABC,BE和CD交于F,则BFFE,再连结DE. /18 /18所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x,则x:33AD:DBx10:10,所以x15,四边形的面积为18.方法二：设SAADF

22、x,根据燕尾定理SAABF：SABFCSAAFE：SEFC，得到SaAEFx3,再根据向右下飞的燕子，有(x37):7x:3,解得x7.5四边形的面积为7.57.5318【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是.【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在个比例关系：20影13:4,解得南影2.方法二：回顾下燕尾定理，有2:(S阴影4)1:3,解得时影2.【例10】如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中

23、是多少？ABDC【解析】设$4bofx,由题意知BD:DC4:3根据燕尾定理，得3SAABO:SAACOSABDO:SACDO4:3，所以SACO(844再根据SAABO:S*ABCOSZAOE:SACOE,列方程(84x):(40Saoe:35(5684):(4030)，所以&aoe70所以三角形ABC的面积是844030355670315【例11】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点,分的面积.4个三角形的面积，问三角形ABC的面积3x)63-x,3一一30)(63x35):35解得x564E为AC中点，F为BC中点，求阴影部AB,FC【解析】令BE与CD的交点为M,CD与EF的

24、交点为在ABC中，根据燕尾定理，SAABM:SABCMABFCN,连接AM,BN.AE:CE1:1,&acm：SabcmAD:BD1:1所以SaABMSaACMSaBCN一SaABC3由于Saaem1sSAAMC21-SAabmS,所以BM:ME2:12【例12】【解析】【巩固】【解析】在4EBC中,根据燃尾7E理，SABEN:SACEN设Sacen1（份），则SABEN1（份），SABCN所以SABCN所以SabmnBF:CF2（份）1:1&CEN:SaCBNME:MB1:2SaBCE4（份），1sSABCE2-S31BNE1s4231ABC,SABNESABCE41sSaABC12SAAB

25、C89s24如右图，ABC中,M,AF与BG交于面积是多少平方厘米？1s一SAABC8SaABC,Sabfn12ABC,因为BM:ME2:1,F为BC中点,1sSabnc21s一SABC,85153.125（平万厘米）24G是AC的中点,D、E、N,已知4ABM的面积比四边形F是BC边上的四等分点，.FCGN的面积大7.2平方厘米,AD与BG交于，则ABC的连接CM、CN.根据燕尾定理,SAABM-SAABC5再根据燕尾定理,AN:NF4:3,SAABM:SACBMAG:GC1:1,SAABM:SaACMBD:CD1:3,所以SAABN:SACBNAG：GC1:1,所以SAABN:SAFBNS

26、ACBN:SAFBN4:3,所以那么SAANG1SAAFC2,所以Sfcgn17Saafc28s）ABC1根据题意，有1SAABC5（2007年四中分班考试题包&ABC287.2,可得SaABC336（平方厘米）如图,ABC的面积为1,那么四边形ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点,CDMF的面积是由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积.连接CM、CN.根据燃尾7E理，Sabm:SACMBF:CF2:1,而SACM2SADM，所以SABM2SACM4SA

27、DM,4那么BM4DM，即BM-BD.5那么SBMFBMBDBFSSBCDBC另解：得出SABM2SACM4s贝US四边形CDMFSACFSADM【例13】如图，三角形4214ADM，Gg边形CDMF3215后，可得SADMABD1030ABC的面积是DECF分，请写出这9部分的面积各是多少设BG与AD交于点P,BG与AE交于点CQ,CM,CN.根据燕尾定理,则SAABC12同理可得，Saabq同理，Sabpm-1中边形MNED3如图,SAABP:SACBPAG:GC5（份），所以Saabp353351512FG30110GA,三角形ABC被分成9部Q,BF与AD交于点M,BFAE交于点N.连

28、接CP,1:2,SAABP:SAACPBD：CD设SAABP1（份），21一,Saabn，而Saabg72所以SaapqG1汇,GSabdm,所以&9边形PQMN2170,时边形NFCE422135Saaqg721ABC的面积为1边形JKIH的面积是多少?连接CK、CI、CJ.占八、根据燕尾定理,Sack:SABK所以SACK:SABK:SCBK类似分析可得SAGI15又SABJ:SCBJAF:CF那么，SCGKJ423570四四边形GFNQ2142D、E是BC边的三等分点，点CD:BD1:21:2:4,那么Sack111742184SABK:SCBK2:1,SABJ:SACJBD:CD2:1

29、G是AC边的三等分点，那么四AG:CG1:2,SAGKSACJ1ACK一21根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为17一一上，那么四边形84JKIH周围的图形的面积之和为【例14】IFScgkj2SAGISABE如右图，AH:HI:IB1:2:11784216115370的4ABC中,求阴影部分面积.IG交HF于M.AI:AB3:4,Safim:SaAMF,1SaaimSaaif4.AH:AB1:4同理SaCFDAI:AB.IFIIBC又.IF.DE:IF所以四边形JKIH,BD:DE:ECIG交HD于NAF:ACIH:HA9SSaABC64AF:ACDF交EI于P.连接AM93:4,SAA

30、IFSAABC162,Safim:SaaimFG:GA-AH:AI1:3Saahm,33:4-.SAAHFSAABC.SabdhSaabc1616Safdh-Saabc16的面积为1:2:1,2,3SSABC,64HM:HF6197070CF:FG:GA1:2:1,64163:4,AF:AC3:4,:BC3:4,DE:BC1:2,2:3,DP:PF2:3,同理HN:ND2:3,HHM:HF1:4,HN:HD1SAHMN-SAHDF10SAABC160同理6个小阴影三角形的面积均为1607160阴影部分面积61602180【例15如图，面积为阴影部分面积.ABC中,D、E、BC、CA的三等分点，

31、求l的三角形I分别是F、G、H、AB、【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!【例16】【解析】【例17】令BI与CD的交点为M,AF与CD的交点为N,BI与AF的交点为AM、BN、CP求Sg边形ADMI:在ABC中，根据燕尾定理,Saabm:SaCBM设SaABM所以SaABMP,BI与CE的交点为Q,连接AI:CI1（份），则SaACM所以Sra边形ADMI1:2SAACM:SaCBMAD:BD1:2Sacbm2（份），SaACM1（彳）,SaABC4（份），1cSaabc,所以Saadm4）SAABC121sSAABC,6同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是求S五边形DNPQE:在ABC中，根据燕尾定理SAABN:SAACN所以Saadn1SAABN31s一SAABM3SAABC,SAAIM121ABC面积的61:2SACN:SABCNAD:BD1:2,l&ABC1SAABC1同理SABEQ72121BF:CF13BF:CFSaABC在ABC中，根据燕尾定理SaABP:SAACP1:2,SAABP:SACBP所以SAABPSAABC5所以Se边形DNPQESaabpSa