新高考高考数学一轮复习巩固练习7.7第62练《立体几何小题易错练》（解析版）

1、第62练立体几何小题易错练1设a，b，c表示三条互不重合的直线，表示两个不重合的平面，则使得“ab”成立的一个充分条件为()Aac，bcBa，bCa，a，bDb，c，ac答案C解析A项，ac，bc，则a，b可能平行、异面、相交，不是ab的充分条件；B项，a，b，则a，b可能平行、异面、相交，不是ab的充分条件；C项，a，a，b，由线面平行的性质可知ab，是ab的充分条件；D项，b，c，ac，则a，b可能平行、异面、相交，不是ab的充分条件2已知直线m，n和平面，满足mn，m，则()An Bn或nCn Dn或n答案D解析如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，记平面ABCD为，平面ADD1

2、A1为，BB1所在直线为m，若n为B1C1，满足mn，显然n，n，所以A，C错误；若n为A1B1，满足mn，显然n，所以B错误；对D，n或n，显然满足题意，若n与交于点P，点Q为直线n上不同于点P的另外一点，连接PB，因为m，PB，所以mPB，又mn，而n与PB交于点P，所以m平面PBQ，又因为m，于是过点B存在两个不同的平面与m垂直，矛盾，所以D正确3已知角的两边和角的两边分别平行，且20，则等于()A20 B160C20或160 D不能确定答案C解析因为角的两边和角的两边分别平行，所以，相等或者互补，所以20或160.4.如图，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直

3、观图，则原图形的周长是()A8 cm B6 cmC2(1eq r(3) cm D2(1eq r(2) cm答案A解析由直观图知原图形是平行四边形OABC，如图，OAOA1，OBOA，OB2OB2eq r(2)，ABeq r(122r(2)2)3，所以平行四边形OABC的周长是8 cm.5已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果eq o(PM,sup6()eq o(PB1,sup6()7eq o(BA,sup6()6eq o(AA1,sup6()4eq o(A1D1,sup6()，那么点M必()A在平面BAD1内B在平面BA1D内C在平面BA1D1内D在平面AB1C1内

4、答案C解析因为eq o(PM,sup6()eq o(PB1,sup6()7eq o(BA,sup6()6eq o(AA1,sup6()4eq o(A1D1,sup6()eq o(PB1,sup6()eq o(BA,sup6()6eq o(BA1,sup6()4eq o(A1D1,sup6()eq o(PB1,sup6()eq o(B1A1,sup6()6eq o(BA1,sup6()4eq o(A1D1,sup6()eq o(PA1,sup6()6(eq o(PA1,sup6()eq o(PB,sup6()4(eq o(PD1,sup6()eq o(PA1,sup6()11eq o(PA1,s

5、up6()6eq o(PB,sup6()4eq o(PD1,sup6()，所以M，B，A1，D1四点共面6.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA1eq r(3)，点E为AB上的动点，则D1ECE的最小值为()A2eq r(2)B.eq r(10)C.eq r(5)1D2eq r(2)答案B解析如图，连接D1A，C1B并分别延长至F，G，使得AFAD，BGBC，连接EG，FG，四棱柱ABCDA1B1C1D1为正四棱柱，AB平面ADD1A1，AB平面BCC1B1，ABAF，ABBG，又ABADAF，四边形ABGF为正方形，EGeq r(BE2BG2)eq r(BE2BC2)CE

6、，D1ECE的最小值为D1G，又D1Geq r(D1F2FG2)eq r(91)eq r(10)，D1ECE的最小值为eq r(10).7我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式deq r(3,f(16,9)V).人们还用过一些类似的近似公式根据3.141 59判断，下列近似公式中最精确的一个是()Adeq r(3,f(16,9)V) Bdeq r(3,2V)Cdeq r(3,f(300,157)V) Ddeq r(3,f(21,11)V)答案D解析球的体积Veq f(4,3

7、)eq blc(rc)(avs4alco1(f(d,2)3，d3eq f(6,)Veq f(3,f(,2)V.3.141 59，eq f(,2)1.570 79.记d1eq r(3,f(16,9)V)，deq oal(3,1)eq f(16,9)Veq f(3,f(27,16)V；d2eq r(3,2V)，deq oal(3,2)2Veq f(3,1.5)V；d3eq r(3,f(300,157)V)，deq oal(3,3)eq f(3,1.57)V；d4eq r(3,f(21,11)V)，deq oal(3,4)eq f(3,f(11,7)V.eq f(27,16)1.688，eq f(1

8、1,7)1.571，在eq f(27,16)，1.5,1.57，eq f(11,7)中，eq f(11,7)最接近eq f(,2).d4更精确8(2022杭州模拟)已知正三棱锥的底面边长为2eq r(3)，高为eq r(3)，则三棱锥的内切球的表面积为()A4 B.eq f(1,3) C.eq f(4,3) D3答案C解析如图所示，设正三棱锥为PABC，设O为三棱锥的内切球的球心，D为正ABC的中心，所以PD为正三棱锥的高，PDeq r(3)，设E是AB的中点，正三棱锥的底面边长为2eq r(3)，所以CEeq r(CB2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)AB)2)eq r(12

9、3)3，DEeq f(1,3)CE1，因为PD为正三棱锥的高，所以PEeq r(PD2DE2)eq r(31)2，由正三棱锥的性质可知SPABSPACSPCBeq f(1,2)2eq r(3)22eq r(3)，SABCeq f(1,2)2eq r(3)33eq r(3)，VPABCeq f(1,3)3eq r(3)eq r(3)3，设内切球的半径为r，VPABCVOABCVOPBCVOPBAVOPACeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)3r(3)3f(1,3)2r(3)r3，解得req f(r(3),3)，所以三棱锥的内切球的表面积为4eq blc(rc)(avs4alco

10、1(f(r(3),3)2eq f(4,3).9(多选)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB1，AA1eq r(3)，若APAC，0,1，则()A当eq f(1,2)时，D1PA1C1B直线BP与平面A1BC1所成角的最大值大于eq f(,3)C当平面PB1D1截直四棱柱所得截面面积为eq f(15,8)时，eq f(3,4)D四面体A1C1DP的体积为定值答案ABD解析当eq f(1,2)时，P为AC的中点，连接A1C1，D1P，B1D1，BD(图略)，则A1C1B1D1，因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1A1C1，又B1D1BB1B1，B1D1，BB

11、1平面BDD1B1，所以A1C1平面BDD1B1，因为D1P平面BDD1B1，所以D1PA1C1，A正确；因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以ACA1C1，因为AC平面A1BC1，A1C1平面A1BC1，所以AC平面A1BC1，则点P到平面A1BC1的距离等于点A到平面A1BC1的距离设点A到平面A1BC1的距离为d，则，即eq f(1,3)deq f(1,3)eq f(1,2)1eq r(3)1，所以eq r(2)eq r(22blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)2)deq r(3)，所以deq f(r(21),7).设直线BP与平面A1BC1所成的角为，eq

12、 blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，因为点P到平面A1BC1的距离为定值，所以当BP最小，即P为AC的中点时，直线BP与平面A1BC1所成的角最大，此时BPeq f(r(2),2)，所以sin eq f(r(42),7)，因为sin2eq f(6,7)eq f(3,4)，所以eq f(,3)，B正确；当eq f(3,4)时，点P为AC上靠近点C的四等分点，则平面PB1D1截四棱柱所得截面为等腰梯形B1D1EF，如图，易知EFeq f(1,2)BDeq f(r(2),2)，等腰梯形B1D1EF的高heq r(r(3)2blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),4)2)eq

13、 f(5r(2),4)，所以梯形B1D1EF的面积为eq f(1,2)eq f(3,2)B1D1heq f(15,8)，由几何体的对称性可知，当平面PB1D1截直四棱柱所得截面面积为eq f(15,8)时，eq f(1,4)或eq f(3,4)，C错误；由上可知，AC平面A1C1D，所以点P到平面A1C1D的距离恒为定值，因为A1C1D的面积为定值，所以四面体A1C1DP的体积为定值，D正确10(多选)(2022沈阳模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M，N，P分别是平面ADD1A1，平面CDD1C1，平面ABCD的中心，点Q是线段A1C1上的动点，则下列结论正确的是()A

14、PN与A1C1所成的角为eq f(,3)BD点到平面MNP的距离为eq f(r(3),3)aC三棱锥MNPQ的体积为定值eq f(1,24)a3D直线DQ与平面A1ACC1所成角的正切值的最大值为eq f(1,2)答案ABC解析如图所示，连接C1D，NP，BD，A1B，BC1，QP，QD，则点N是C1D的中点，点P是BD的中点，则NPC1B，故PN与A1C1所成的角即C1B与A1C1所成的角，即A1C1B，又A1C1BC1A1Beq r(2)a，则A1C1Beq f(,3)，故A正确；NPeq f(1,2)BC1eq f(r(2),2)a，同理知MNMPeq f(r(2),2)a，又DMDND

15、Peq f(r(2),2)a，则三棱锥DMNP为棱长为eq f(r(2),2)a的正四面体，则易知点D到平面MNP的距离为eq f(r(3),3)a，故B正确；易知MNAC，ACA1C1，则MNA1C1，A1C1平面MNP，即A1C1平面MNP，又点Q是线段A1C1上的动点，则点Q到平面MNP的距离为定值，且与点A1到平面MNP的距离相等，而M为A1D的中点，则点A1到平面MNP的距离与点D到平面MNP的距离相等，为eq f(r(3),3)a，故三棱锥MNPQ的体积VMNPQVQMNPeq f(1,3)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)a)2sin

16、eq f(,3)eq f(r(3),3)aeq f(1,24)a3，故C正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，易知BD平面ACC1A1，则直线DQ与平面A1ACC1所成角即为DQP，tanDQPeq f(DP,PQ)，又DPeq f(r(2),2)a，则tanDQP取最大值时，PQ取最小值为a，此时tanDQPeq f(f(r(2),2)a,a)eq f(r(2),2)，故D错误11将底面直径为8，高为2eq r(3)的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为_答案4eq r(3)解析欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，如图，设圆柱的高为h，底面半径为r，则eq f(2r(3

17、)h,2r(3)eq f(r,4)，解得h2eq r(3)eq f(r(3),2)r，所以S圆柱侧2rh2req blc(rc)(avs4alco1(2r(3)f(r(3),2)r)eq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(4rr2)，当r2时，S圆柱侧取得最大值4eq r(3).12若m，n是两条不重合的直线，为两个不重合的平面，给出下列命题：若mn，m，则n；若m，n，mn，则；若mn，n，则m；若m，n，mn，则.上面命题中，所有真命题的序号是_答案解析对于，若mn，m，则n或n，故选项错误；对于，若m，n，mn，则与平行或相交，如图所示，故选项错误；对于，若mn，n，根据

18、两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，故m，故选项正确；对于，若m，n，mn，直线m，n的方向向量即为平面，的法向量，因为mn，则两个平面的法向量垂直，故，故选项正确13(2022上海市西南位育中学模拟)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AC12，BCCC12eq r(2)，点P是直线BC1上一动点，则A1PPC的最小值是_答案10eq r(2)解析如图，连接A1B，沿BC1将CBC1展开与A1BC1放在同一个平面内，在BC1上取一点与A1C构成三角形，由三角形两边之和大于第三边，可知A1PPC的最小值是A1C的值，因为在直三棱柱ABCA1B1C1中， ACB90，AC12，BCCC12eq r(2)，所以矩形BCC1B1是边长为2eq r(2)的正方形，则BC14，又在矩形ABB1A1中，A1B1AB2eq r(38)，BB12eq r(2)，则A1B4eq r(10)，又A1Ceq oal(2,1)BCeq oal(2,1)A1B2，所以A1C1B900，则A1C1C135，在A1C1C中，利用余弦定理可得A1Ceq r(A1Coal(2,1)C1C22A1C1C1Ccos 135)eq r(1222r(2)22122r(2)cos 135)