新高考高考数学一轮复习巩固练习7.6第61练《几何法求空间角》（解析版）

1、第61练几何法求空间角考点一异面直线所成的角1(2022长春质检)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABeq r(5)，AD1，AA1eq r(2)，则异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值为()A.eq f(r(2),2) B.eq f(r(2),3) C.eq f(r(3),4) D.eq f(r(2),6)答案D解析连接AC(图略)，AA1CC1，AA1CC1，四边形AA1C1C为平行四边形，A1C1AC，则D1AC即为异面直线AD1与A1C1所成的角或其补角，cosD1ACeq f(AC2ADoal(2,1)D1C2,2ACAD1)eq f(r(2),6).2已知正四面体ABCD，点

2、M为棱AB上一个动点，点N为棱CD上靠近点C的三等分点，记直线MN与BC所成角为，则sin 的最小值为()A.eq f(r(38),19) B.eq f(r(3),19) C.eq f(r(2),17) D.eq f(r(34),17)答案A解析不妨设正四面体ABCD的棱长为3，则该四面体的高为eq r(6)，连接AN，BN，BNANeq r(7)，要求直线MN与BC所成的最小角，即为直线BC与平面ABN所成的角，记点C到平面ABN的距离为h，由等体积法可知VCABNVABCN，即eq f(1,3)SABNheq f(1,3)SBCNeq r(6)，解得heq f(3r(38),19)，所以直

3、线BC与平面ABN所成角的正弦值为eq f(h,BC)eq f(f(3r(38),19),3)eq f(r(38),19)，所以sin 的最小值为eq f(r(38),19).3(2022海口模拟)直四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长均相等，ADC120，M是BB1上一动点，当A1MMC取得最小值时，直线A1M与B1C所成角的余弦值为()A.eq f(r(10),5) B.eq f(r(5),5) C.eq f(1,5) D.eq f(r(10),10)答案A解析如图，设直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长为2，当A1MMC取得最小值时，M为BB1的中点，连接A1D，则A1DB1C，则

4、DA1M为直线A1M与B1C所成角(或其补角)，此时A1D2eq r(2)，A1Meq r(5)，ADC120，ABD为等边三角形，得BD2，DMeq r(5)，则A1MD为等腰三角形，可得cosDA1Meq f(r(2),r(5)eq f(r(10),5).考点二直线与平面所成的角4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1B1，AD，CC1的中点，则对角线BD1与平面EFG所成角的大小为()A.eq f(,6) B.eq f(,4) C.eq f(,3) D.eq f(,2)答案D解析如图，在正方体中取棱B1C1，AA1，CD的中点M，N，P，连接EM，MG，GP，P

5、F，FN，NE，得到正六边形ENFPGM，连接AC，BD，则ACBD，又DD1AC，BDDD1D，所以AC平面BDD1，又BD1平面BDD1，故ACBD1，又ACPF，则PFBD1，同理可得NFBD1，且PFNFF，故BD1平面ENFPGM，所以对角线BD1与平面EFG所成角的大小为eq f(,2).5已知E，F，O分别是正方形ABCD的边BC，AD及对角线AC的中点，将ACD沿着AC进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线EF与平面BOD所成角的余弦值的取值范围为()A.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r(2),2) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2

6、),2)，1)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(2),2)答案A解析如图所示，作EHOB交OB于H，设直线EF与平面BOD的交点为M，连接MH，由EHOB，EHOD，且ODOBO，OD，OB平面BOD，则EH平面BOD，故HME为直线EF与平面BOD所成的角，因为MH平面BOD，则EHMH，所以cosHMEeq f(MH,ME)，则sinHMEeq f(HE,ME)，令正方形ABCD的边长为1，则ACeq r(2)，HEeq f(1,2)OCeq f(1,4)ACeq f(r(2),4)，在翻折

7、过程中，EF与平面BOD的交点M在平面ABC内的射影，由点O向点H移动，即EM越来越小，且EHEMOEeq f(1,2)，所以eq f(HE,OE)sinHMEeq f(HE,HE)，即eq f(r(2),2)sinHME1，所以eq f(,4)HMEeq f(,2)，则0cosHMEeq f(r(2),2)，所以直线EF与平面BOD所成角的余弦值的取值范围为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r(2),2).6在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知ABC120，四边形ABCD是边长为2的菱形，且AA14，E为线段BC上的动点，当BE_时，A1E与底面ABCD所成角为60.答

8、案eq f(r(21),3)1解析如图所示，连接AE，因为AA1底面ABCD，所以A1EA为A1E与底面ABCD所成的角，即A1EA60，又因为AA14，所以eq f(4,AE)tan 60eq r(3)，解得AEeq f(4r(3),3)，设BEm(0m2)，在ABE中，AB2，ABE120，AEeq f(4r(3),3)，由余弦定理可得eq blc(rc)(avs4alco1(f(4r(3),3)222m222mcos 120，整理得3m26m40，解得meq f(r(21),3)1.考点三二面角7如图，锐二面角l的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于

9、AB.已知AB4，ACBD6，CD8，则锐二面角l的平面角的余弦值是()A.eq f(1,4) B.eq f(1,3) C.eq f(2,3) D.eq f(3,4)答案B解析过点B作BEAC，且BEAC，连接DE，CE，因为ACAB，所以BEAB，因为BDAB，BDBEB，所以DBE是二面角l的平面角，且AB平面DBE，所以ABDE，所以CEDE，因为AB4，CD8，所以DEeq r(CD2CE2)eq r(8242)4eq r(3)，所以cosDBEeq f(BE2BD2DE2,2BEBD)eq f(363648,266)eq f(1,3).8已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相

10、等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则()A123 B321C132 D231答案D解析如图所示，设O为正方形ABCD的中心，M为AB的中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ONEF于N，连接SO，SN，SE，SM，OM，OE，则SO底面ABCD，OMAB，因此SEN1，SEO2，SMO3，从而tan 1eq f(SN,EN)eq f(SN,OM)，tan 2eq f(SO,EO)，tan 3eq f(SO,OM)，因为SNSO，EOOM，所以tan 1tan 3tan 2，即132.9(2022长

11、沙模拟)已知二面角l的大小为140，直线a，b分别在平面，内且都垂直于棱l，则a与b所成角的大小为_答案4010(2022厦门外国语学校质检)已知正方体ABCDA1B1C1D1，则二面角AB1D1C的正弦值为_答案eq f(2r(2),3)解析如图，连接AD1，AB1，AC，B1D1，取B1D1的中点F，连接AF，CF，由于AD1，AB1，B1D1都是正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线，所以AD1AB1B1D1，所以AB1D1是等边三角形，又F是B1D1的中点，所以AFB1D1，同理CFB1D1，所以AFC是二面角AB1D1C的平面角，不妨设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则易得ACeq r(2)a，AFCFeq f(r(6),2)a.在AFC中，根据余弦定理得cosAFCeq f(AF2CF2AC2,2AFCF)eq f(1,3).又0AFC0m2eq f(1,2)a2eq f(m2,a2)eq f(1,2)，所以eq f(m2,a2)eq f(5r(5),8)，于是侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为eq f(PM,AB)eq f(r(m2f(1,4)a2),a)eq r(f(m2,a2)f(1,4)eq r(f(5r(5),8)f(1,4)eq r(f(62r(5