高二数学上册重难点突破：专题14 圆锥曲线常考题型02-圆锥曲线中的范围、最值问题 解析版

1、 17/17专题14 圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值，以及当这些元素存在最值时，求解与之有关的一些问题对于最值问题，一般可以用数形结合的方法或转化为函数的最值问题加以解决；解决最值范围问题时，应重视曲线的定义、曲线的几何特征、方程的代数特征在解题中的作用题型一 转化为斜率由代数式的结构特征联想县其斜率公式，将代数问题转化为斜率问题，利用图形的直见性使问题得到简化1试求函数的最大值、最小值【解答】解：设，是椭圆的两条切线，如图所示，点坐标为,由椭圆的参数方程可得故的最大值为，的最

2、小值为，设过与椭圆相切的切线方程为由，消去，得，由得，所以切线方程为，因为切线过点，所以所以，所以的最大值的最小值为题型二 转化为截距利用直线在y轴上的截距的直观性，可求有关参数的取值范围，进而得到最值2已知，满足，则的最大值为 13，最小值为 【解答】解：将所给的函数式改写为，则表示直线在轴上的截距，满足，可行域为椭圆的边界及其内部，画出图形，如图所示，由图可知，的最大值，最小值在直线与椭圆相切时取得，联立方程，消去得：，由得：，解得，的最大值为13，最小值为，故答案为：13，题型三 转化为三角函数利用椭圆的参数方程(为参数)以及双曲线的参数方程(为参数)等，将椭圆和双曲线上的点的坐标用三角

3、函数表示出来，再利用三角函数知识来求其最值3设、分别是椭圆的左顶点和上顶点，点在上，则点到直线的距离的最大值为ABCD【解答】解：椭圆的焦点在轴上，可得，椭圆的左顶点为，上顶点为，则所在直线方程为，即在椭圆上，设，到直线的距离，点到直线的距离的最大值为故选：4过点作椭圆的弦，求这些弦长的最大值.【解答】设椭圆上任意一点M的坐标为 则因为ab0，所以当，即时，取得当，即时，取得题型四 利用基本不等式5函数的图象恒过定点，若点在双曲线上，则的最大值为A6B4C2D1【解答】解：由题意可知，函数的图象恒过定点，又点在双曲线上，当且仅当时，即，时，等号成立故选：6设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线

4、分别交于，两点，若的焦距为12，则面积的最大值为A72B36C18D9【解答】解：双曲线的渐近线方程为，的焦距为12，即，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，不妨取，面积，当且仅当时，等号成立，面积的最大值为18故选：7设为坐标原点，点，动点在抛物线上，且位于第一象限，是线段的中点，则直线的斜率的取值范围为A，BCD，【解答】解：设点的坐标为，很明显直线的斜率为正数，则：，当且仅当 时等号成立即直线的斜率的取值范围为，故选：8椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任一点，且最大值取值范围为，（其中，则椭圆的离心率的取值范围是ABCD【解答】解：由题意的定义可得：，再由均值不等式可得：，的最大值为

5、，由题意可得可得，解得，故选：9已知函数，且的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为A12B10C9D8【解答】解：对于函数，且的图象，令，求得，可得它的图象恒过定点因为点在椭圆，上，则，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为9，故选：10抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，为上的动点则的最小值为A1BCD【解答】解：由题意可得焦点，准线，过点作准线，所以，因为，所以，求的最小值等价于求的最大值，设，所以，所以，当时，最小值为，所以最小值为故选：题型五 构造二次函数利用解析几何中的代数和识，把问题转化为关于某个变量的二次函数，利用二次函数的有关知识来求最值11抛物线上的点到直线距离的最小值是A

6、3BCD【解答】解：因为点在抛物线上，设，则点到直线的距离，当时，故选：12已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小为A2BCD【解答】解：设圆的圆心为，则，设，则，椭圆，令，求导，解得，在，单调递减，单调递增，在时最小，即最小值为，故选：13已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若直线，分别交直线于，两点，则的最小值ABCD【解答】设的方程为代入，得，所以，联立；同理可得，所以，令，当时，当时，故最小值为，故选：14已知直线与抛物线交于，两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：设，直线方程为联立，消去，得

7、，所以所以，因为、中点横坐标为3，所以，故，又，所以的取值范围，故选：15为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为A3B4C5D9【解答】解：设，且，则，设直线的方程为，整理可得：，解得，设，则，因为，所以，所以可得，当直线的斜率为0时，则设，这时，与上面类似，综上所述：，故选：16在过动直线（其中与定直线的交点的等轴双曲线系：中，当取何值时，达到最大值与最小值？【解答】解：由得交点，交点坐标代入双曲线，当，又因为，所以，所以；当时，故，达到最大值，时，达到最小值17已知抛物线，为轴负半轴上的动点，为抛物线的切线，分别为切点，则的最小值为ABCD【解答】解：设切线的方程为，代入

8、抛物线方程得，由直线与抛物线相切可得，则，将点的坐标代入，得，则当，即时，的最小值为故选：题型六 利用几何图形的性质18已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，点是含抛物线顶点的弧上一点，求的最大面积【解答】解：设，所在的直线方程为，将其代入抛物线，得，当过的直线平行于且与抛物线相切时的面积有最大值设直线方程为，代入抛物线方程得，由，得，这时，它到的距离为，的最大面积为19已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围为ABCD【解答】解：设，由平行四边形对角线互相平分可得与，与关于原点对称，所以可得，所以，将，的坐标代入可得相减可得，可得，由题意可得

9、：，即，可得：，解得：，故选：20设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为ABCD【解答】解：代数式可化为，表示点到点的距离与点到点的距离之差，又双曲线的左右焦点左右焦点分别为，根据双曲线定义可得，是双曲线的右支上的点，故选：21已知点是抛物线上的一个动点，点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为A1BC2D【解答】解：抛物线，抛物线的焦点坐标依题点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值，就是到与到该抛物线准线的距离的和减去1由抛物线的定义，可得则点到点的距离与到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：故选：22已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线相交于，两点，则线段的最小值为A1B2C3D4【解答

10、】解：由，可得，则，即，易知直线过该抛物线的焦点，因为过焦点的弦中通径最短，所以线段的最小值为，故选：23已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，当的周长最小时，的面积为AB9CD4【解答】解：如图，设的右焦点为，由题意可得，因为，所以，的周长为，即当，三点共线时，的周长最小，此时直线的方程为，联立方程组，解得或，即此时的纵坐标为，故的面积为故选：题型七 利用圆锥曲线的定义24已知椭圆，是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，若椭圆内一点，则的最小值为A3BCD【解答】解：由椭圆的方程可得，焦点，因为在椭圆内部，设右焦点，则，则，当且仅当，三点共线时取等号，故选：25已知抛物线的焦点为，设和是上的两点

11、，且是线段的中点，若，则到轴的距离的最小值是A2B4C6D8【解答】解：因为的方程为，所以，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义可得：，则，所以，线段的中点到的准线的距离最小值为3，故点到轴的距离最小值为故选：26双曲线，已知是坐标原点，是双曲线的斜率为正的渐近线与直线的交点，是双曲线的右焦点，是线段的中点，若是圆上的一点，则的面积的最小值为ABC2D【解答】解：由双曲线的方程知，所以斜率为正的渐近线方程为，与直线的交点的坐标为，点的坐标为，所以直线的方程为，点是圆的动点，当点到直线的距离最小时的面积的最小，又点到直线的距离的最小值为，所以的面积的最小值为故选：27已知为抛物线上一点，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为ABCD【解答】解：由题可得抛物线焦点，准线方程为，过点作与准线垂直，交于点，直线整理得，联立可得，即该直线过定点，设，连接，取中点，则，若，则在以为直径的圆上，该圆方程为，又由，得，如图，的最小值为圆上的点到准线的距离的最小值，过点作与准