十招教你解决圆锥曲线问题

1、 十招教你解决圆锥曲线问题招式一；弦的垂直平分线问题倒熟I,过当作直缝，与他线、：=a交于A.H两点.在K轴上是否存存 卢,*使得A45E 是尊勉三曲影.若存在.求由修；若不存在,请设电理由一 解：哌的.1.4，由线的丁70. R工三厂 0一没直线I:制* + 1, *1（）.川区,乂），4（士,%由匕消y整理.斛卡上十（2/-1察+=0由亶跳和常枷线交于两点，ff- 2 + 10fi即0弋k2,二0e2gj桶圆的焦点为（x3.0）.一=W= HPr =- tl3故当=浮时.MN过椭圆电焦卢.招式三，过已知曲线上定点的弦的问题例题4、匚即点A* B“C芸佛展E;十尸二卬A力。）上的三点.扶中点

2、白060）牝慢圆的右顶a* M点,直线BC过椭圆的中心O，且花丽-0, |而卜4超卜加图冰点C的坐轿及描El E的方程;）若幡圆L上存之阴点P、5住存直线1町4宜爱3关于宜线1 =行对两未豆线1?的斜率一R1KLL棒迎山中心O，ZACO- 又A 2J54）二点 C 的坐标为（&,73）.蟀：L,4 = 2罔.困一网v AC-C - 0l，AQJ5,0是曲图的行顶立，*育则辅圆方程为工二+=112方将点亡（JJ,6）代入方程，痔状=4,，师硼F的方程为丁尸：II 1（Il）v直建PC叮直位QC关于直慢时称，位直绽P匚的科率为卡.则宣战QC的斜率为4从而宜第P匚的方程为二1外岛,即jFhf点（1

3、一外，由卜=依：有I 口泮打注理诉:c: + Jr 12 - 0。+ 3V ）/+ G行村1 一片片+ 9必一 1涨一 3 = 0，5二*是方程的个根,1 3K即少签盟同理可得：”9!吩 T抬（】十3内）5 V。=匕,+6（1 改）*一行。+ 上）=上（jt/一1一 2&上=12杷9k2 IS*M 9 上，十 18 工363，i（i小犷） （一炉） 力（1门户厂则直域PQ的斜率为定值;招式共线向量问题1,9 =1.二曲理工的方程为二工P）=/+ 1 +2 =c*儿+ ）3（+2）k九如图所示.已跖-&定点仍,M为圜上一地点，点P在AM曰 点、在CM匕 口湎足.1一工点,V的轧道为曲戊匚口或曲找

4、E的方程I1J芯过E点F3*L的直 我交账戈li干不回的两点.G. 11 L也打在K h H之闾入口消星行=/7求足时取位也反 fit： m v.w = ZAP, NP AM = 0 ；, XF 为 AM 时电宜千寸战，NA 1NMI又寸 cv i + I nm i= 2V2.1 cw 1+1 a 1= 2 Ji z 二动点 n 的软称息 wC C-L Oh A （h ）为焦点的标睡一旦用QI长轴长为勿2无一 生距2e-2。得上、1设6（冬，明卜日区小）nhi- Ak 战 T、？6 八则七十方.访4 .丁标!中炉】十L炉HL”： FG = j?Ff/T , （七口| - 2） * *天 ryt

5、 - 2） ：. xi = lx3216又七0七A亡L /. - i 8 AO）掘物罐方辞化为丁 ;八,，箕传点为（M）. A 七c -b12 后则椭圆C的一个顶点为（01,即5 = 1由=- = 1=/一5,描圆匚的方巩为彳 回吐 右佳也以20）,没小田，3）,以储昂笆直找的料率存在.殳直绽的方程为了=以上一2人 代入方程?十二1丹整理,f4（1 +5i）aJ - 20A 2a*+ 20i: -5 = 00*J2O*l$, 超/驾= ? 刘驾=- 1 + 5/1 + 5A2?位=4.%-兀）*标= （/Cr/+#=a-qjrJ.旃=（2，0,一兄）而 V-i =，AF + W* = a. f

6、ib .却 “j -仇外一j j = 412 -芭.-J：） （4一机 J） -n）= &H 5 一）.二工1XCT r、l J , 阳 *上 ？（+ X,） J外与 1 - * d - -, &,甲以 4 +八二- - - J - -i-L-7=-10二一看 2 一 / 2 - N、 2 - 工 4 -2西十有）+ /小3、已如凸OFQ的面积5-2廊，且0/、/0=阳超以。为中心.F为焦点的双曲镂经j4Q,|万卜=（J_1K，当|而|取得最小值时.求此双曲线方程一2 X解设双曲箕疗程为一J =1, Q .a b*豆=（与-仁凫 .SiOTQ= i | OF |）D |= 2 r.故所求的以曲

7、线方程为二t=i一 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 旅=124 12类型1求恃定字母的俄刊1证期曲线C：三-丁-130)噂直线L i/T相史丁两个不向的也八、th苴找L Gy用文于一&p. K ?fi= - 755.或仃前值2B蹄工没A、B两点的坐标，将可受表达式转化为坐标表达式.再利用韦达定理，通过薜方程田求a们侑吊 设A稼小小 跳乂可小P(O+l)PA* k -1) = ；(4，j:-1),二:,x + - 1熊立T-T消去V 壑珥得，/)立-2：14 -/二】B是不同的西者，二A0a4旦立，。馒映VL * yib g/由而u ZPC n

8、，一，1-yt)式8 -xy2 -yr)由 AB = Z4Cn-1)=砍/*必1) Jhg 工勺n r。区 +1 = * * 1 * 6* * 1 消去 k 得.x 2 yT60 1) TOC o 1-5 h z J2上I-独x, x -，过茕心Q(1y)r则， -, n+-代入)式得，3k- 6y- 1-0工, = I13国为一 v 且：q On 4 M 上1?丛病 & n * b(njK.s.则曰毁ab的今程为%* h*y - x -c 代、喘因方程中.化筒得* (d- + b1 )jc- - 2ex +-a-b1 - (1*2a-7/S A(Xi,yO，网*)则 K+L =7* /工，=

9、5；-。十人 a 十/r由况+ Oq与(；=(3.一1)共装，。1+ 69=(苞+勺$+北)得，3(Fi +B)+ (/+*=。又 N=七一%北二七一小3(X| +Ai -2c + (x( +jt2) = 0,， +x工-:口 c2 = ,A a1 3b2.2 6r 2而U-于是22因此椭圆方程为+汇即/ *3/ =36 362 b1iS M（x, yX 由 OM = kOA * /OB 得.（1,j ） = A区. jr J * Mkj 二.,天m心| +工且J =办4 d /A-r因M为椭圜上一点，所以（& +小）+ 3（xr, 十用二）二三3fr TOC o 1-5 h z HYPERL

10、INK l bookmark74 o Current Document 即/ Gr； + 3y；）+*“.；+“；） + 2 加后/ + 3儿丹） = 3/ HYPERLINK l bookmark76 o Current Document _ 3r , 3 r 1 C -O%工3#1+x=,p c,P =一匚 耳=；-c. HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 22 2+M 8I门 ，Y.T -3 1 =，5，T . *T，Aj - i j（ V - e - 4,VrY . - 3（ .丫 h- ,工一- -c: + 3c; 0.而对+ 3vJ

11、= 3b”，“ 十黯，J = 3屋17一*1.代人得,力斗”上=1,力+/工为定值.类型J探点点.线的存在性例4在&AB匚中.己知典一工的,口4以2_1已于口,也曲：的垂心口分有向线段AD协成的比为L -3设PLLg.Ql.以那幺是否存在点H，使上工成号差数列，为叶玄？ I切I产5小例-A -b思路：书将AI HU%-俄为代圻关系.由此林群初卢H节新处方程：用篇向童广桓辱美源乳W,为代家坐标美系.通过解代数方程讶表解.解t设】I区力力分点5粒公式知中4 :4h；H 为垂心 ,AC BHt A（X -2,）（A-r2, r）=0t整理得动点U的迹方程为 、十命=必+1）”,由j妍、（1力广假设成

12、等差数列，则/丁士+| 万尸 | I 2 91 HQPQ HP HQg .1_ j】-1 、心+iy -bj* jcti)，+jt在箱圆上 a +y +II+产工=4 联立、可得.Jew)产 =/(,v-)- + V2 = 2.工，=0,丫=之、；工显然满足H点的轨迹方程丁 +】；=11 43故存在点11(0, 土忑)，便,二成等差数列一|依|啊no类型工求相差届内取值里国纲5空定期物线口 下工=4工，F是匚的焦点.过点F的直域1与匚相交于A、E两点且工行=)歹1。.求I祖j喻上理距的变化道困思路：仃A. H两点内号标，将向？制料共找关定转化为坐板支东，再求出【在丁阱匕内麻脂剂用 回力的曲径性

13、乘箕鳖生氾圉.解；设用版。*叫4*3由F6 人如得. (马一卜为)“1才|招),叩171 = 一外汽上 4，；丐 1 ；二 4-Xj, x= A 羽 3丸1J- ；3/得，x- = 2和i五 0:8JU或吊九一7)与直线1隼于N朝tr. 2 = 1,不符门题展国比启躅I千万寿为 -1)1 =2、工”-11戒储-l v = -2v7(,口/。的右加点为.二轴卜存在一点0（1口），若上存在一点a人尹使产_LP修 求离心率的取值范因一 解LP。，户点的轨迹方和为卜一；E| +/=：.即 y = -x +3(u-2fl: (x *2a)由 )一 口 , .汨文$,寻| vJ _* 斯y - 2ah一；

14、 一口=(_#； +W-2kj；=(如(C? +内；* x + lnA -a-h4 - (J.,Iv - ih /. d ； -1 , o,辞得 l!： 0）上的两点，清足以_LOB （。为坐标原点）.求证；（1两点的横坐标之枳1期坐标之枳分别是定值;（2直线月B经过 定.显分札D设.3. y ,琨x;,K） .副1J = 2g.父=2内;n（Jjj;y =4/卬二又由 OA _L OB = OA*OB = Q n巧/十以=0 =$壬=/4=-4，（2）F：-V；= 2双超阳一拓 K十门直线的方程为一 l j =（ A - .V. ） = 丁=二二工一h ）M+儿M+心 外+力二-工+一口叫+

15、1=二（%_功,故直绘过定点QrOLX +北 曾+竹 ,外招式五；面积问题例题L已知椭MIC -r + -； =1 fah01的离心率为空，短轴一4It点到右焦点的距翦为JL flT 今3（1 求牖圆米的力C：f-设克线I与椭圄匚交于A、B两点.坐标原点。到直线1的距离为也，求AQB面积的最大值.2解： 设椭圄的半焦距为j恢题意汨求桐园方程为士WL “二3 ”二 W,TI n川巧，J 椒的./,） I）当_LX辅时,上出=4 4村=.综上所述上/3|.-2 TOC o 1-5 h z 1/7上当I，国最大时.4口月制程取最大值1s父 J工已知西C:= + 4=1&Abg的离心率为曰色J8轴一个

16、端点到右修点晌曲岛为JL 6 b-5 I J求精酬C的方程;11）设直线I与悔BBC交于A. B南点,坐标原自Q到直线I聃距题为半，束AOB宜仁的层人中林上I 1 设忡回的半身非为e.能麴尊Z = F-。= 1,，所求帏俄方置为二+ /=】. =五T设.*4* .%)* /?(r. y:). (h当/? I :v轴时* |小河珏JT紫 当.4R与r轴不歪口时.设直线一面的方也为二Hf*主已知品也得=(AJ +d*把J，=心网弋入防囤方程,府理得十I )*上十 &和4+3- - 1 =(I .-fthn/. X +- Hr = ： * 禺 X, -.靠？+】* 3k3-1).JRh。-尸kr_丁

17、j； =(1 + A;i(3ic212浦+1X3*十】堪_3#工+1X9#： +1C3*a +1J3+lf1北12 二 3 十一一13一 +%“A F叱底N12= = 42 M 3 + 6F当且仅当9F=1.即防=1-时等号成立.为=。时* I蜀卜G.壕上所述|人山皿=2 43二当I期最大时* H06面枳取最大性S =，3bL工亘=也23已知林慢1一 +180的面粗的熊小值.% 口帏旧的平世不广、.3-2=1.用HC1跖知史尸在以筑段月为良径的回匕故*十t；=百U,三十五与江寸工二,弋L 11)( i M当SO的科4 A行在区A,0时，B门的方程为上=AM + D， 3222 2代入椭展厅区(

18、七三 3井比地寻+2-46/-x+3A2-6-0.役执知力).以灯V；)-上则节!不=r州2再飞=；1 舞|出口|二、4十点，出卜_邙|二Ju+产吊(三.T . 4I4y/5 + 14小史+】|2k- 3因为RD与HC幅交于点尸.且C1的斜事为一一.所以，|父0 =k四边取/碇2的面租$9625I a仪巧c=4时，而最小.此时。的坐标是（卡.不）或（、/6）所求方皆为 = L4 12, 2 .(3A：- + 2X2A +3). + 2)+ 罔+3)当2=1时.上式取答号. 当白。的制空人一上。笈斜理不存在时，因.金行次%苜函枳 =，.绿上*网通套T用。的面用的霰小伯力. 1*1招式六：弦或弦长

19、为定值、最值问题U已勘“一2的面相为2n.而F01m门）设7%加人而.求XC项正切值的典值茶0T；h次以力为中心卜F看焦点的双曲纽经看点Q t如图k |。产，门树工（当 OQ取用最小债时,求地以曲求的方程.Or： UJ i.AOFQ = 0Of 1户6 g“产一9工所？1 l n tun 0 -, J 屈二 m 4 屈- I Of - F0 即 11S=2V6巾7 M 3M-1工工 （2）设所求的双曲线方程为一y-彳= 1（。A&B、O，a（WB）lF0=EY，M） 0 dp b*，己上摘同; 3； I两库*廿到为F】.F” P是腌国在第一象很孤:一点，并清足即.,用I .过P 伊陵彝皓互补的

20、两条笆线PAJ出分利NttSK!于A、日两点.; 1 ）求P苴坐区工，II 求证宜线AB的料 率为定电工I山）求APA13团引的被人值一髀1 1）力超可用FM、2）,rjC 2）f议事小,也“#L瓦F*0）则尸F产 .”,在 VO）-所=（fNt -心工用植=匕-醛-冷=1 .丁点户色w在由战匕则知 7,二4 -三五 工 4工从而上/ -（2-记）=1，播f产日黑点P的型标为方一 22m.r + m: - 4 - 0 .十 二 I124由 A Q、0； - l&k-Tb,程 aE w2& P 到 AB 的照离为d Lv13则.盅01丫（41削，门；的办;（御；）、比.K已为辅国二一 =1的左伊

21、盘为F.。为坐标原点.I求过点。一 E并且与棉圆的生涯统/相切的 2 ,医的方程；F）设过由F且不芍呈琼轲垂亘的直旗交秫司于A、R两点.缄段”1的垂克钎分线与万物交于点G求有G耦坐标的取值范围.帆 3 1/=2B = L* = LFlL0）Gm = - 7 圆过点 U、4 ，回心 M 住直式 = -：上没”（一!.则圆芈钱r- f-）-（-2）|-由|QM|=r,穹一；-+.乍得 t6所求网的方法为（ + -）2 +仃+士8）： 上24（H）艘直线AB的方超为p=Mm+1X&*代入*+VL整庠霭。+2产/+4、+2尸-2仇/直第AB过直圜的左住,点艮J方程有两小不算实报.3 义工j J贸3j

22、J中点Ar（% 了 J则式+鹏=_，U +1二出?的垂宜平分线NG的方程为廿一气k4Jt + 2点.Gm地标的取值范围为1-1,0）.24、己面点节也里恒分另J是1八e（Ui. CU：丸心上4M相交4M. 口它的余车之机为（|1 未点M轨迹灯的方程1 f露若过盘。（2,0）的宜燃，H 口）中的轨迹。交于不同的葩点E，r【/在D、”TF；-f之间人试求3DE与AQDF面租之比的取侑苑01。为坐标原点L眸：；1）设点H的坐标为（K, J）V kAii kBV?;如国，由题且:知直线，的寂零存正，设的方程勺”=+?（上上主?）将代入二-+，* =1整理.得（5%2）丁+4町，+工=0.由小0.蝌得/

23、2.设E（气,）,F（通,力）则令士二皿u+ir 加3； +2强八onr Uf on面盘之比的双直范困是3 yVL：;2且a” R 4* 17 = - J48 口 w * 1.s* +24耨得 3-2行 ，3 十 2 且乂会 L, ；0/2 z 8 A。）*/t 八 j-5.已抑楣到一:小 犷的右顶点.为川l#）.过一的焦点且鎏空长轴的魏上之为】.口）设点产在抛物线（。/后震上. g在点p处的缝与c文于点ma.当钱悻小：UJ也题意得b= I2 J段丁尸构中点用MW的中点的横小标相等时，求8的最小迫.a = 23 = 1L+/ =1所求的帕兄方也为4 # (IT)不妨在A% V|*A (心V r

24、 h八则诚物茂G汽在P处的切线斛率为,I， * ,直或鼠M的力程为丁二加一+%.将上式代入娓屋；的方程中,得3-(%二脑工一八%即4(1+/2 )x2 -4/(r -ftu + Cr - A)2 -4 = 0占“、八 日山仁工*,r 必4 j. Sy!,因为良钱MX与联哒-，/蒋个不同的文白.，所以启A=16 J+21石十2 v 上十# 0 x + J F(1-h) %.J- 设续段MH的中珏的横坐除是*L则2XI十,)，设块段PA的中点的横坐标是修，则f+ 1,-2 ,由眄晟当尸猫,即育广+(】 +初+ 1=0.其中的47*7之之k M-3t印4-3时” + ?44一0因此不等式冬=1虱一/

25、 +&存*2旷一再+4，或也因此 Aw1r当为=时代入方程J+ii+%v+i = Q用/=_-将* = 】/= _代入不等式 3吨卜。成立，因此力的小、值为l招式七：直线问题2 j例题八设精圆。：匕十h【Sa8o)过点a/(、Ei*且首焦点为a b(1 )求椭圆C的方程工(ID ”1过，点尸(44)的动直找，马帏同。相交5两不同产1时，在线段.历上二取力。.满足|赤H0可TH用卜证明二点0也在某定直线上解(1)由题意F修271V4”r = 1 ，= 4,j& = 2 所求椭圆方程为一+ - = 10* b*4 2c2(r -hF l_ (2)方法一设点Q，B的坐标分涮为耳).4,外).由题设叫

26、叫.阀(叫固人口国则且有网涧,4 At i B- Q四点用线.从而工=一/而.而=/于是-V /三 _y一巫1-Z * 1-2又+小) +.v:J 5V =二1Uz从而工点A、R在钝圆C上.即X； +21； = 4t(4)V7 +2 y? 4,(4)(1) + (2)一并结合(3 (4)得如十2, = 4即时。(超1)息在定直战2十J，一 2。上方法二设点改工埒工区,】情仁.由题设/同,网国网均不为犀PA P司 TOC o 1-5 h z HL_ 1I回厨又 R乩0.3四点共浅.可设用H-工50,丽二力苑QkOSD.F是(1)4 一 疝1-/1*=TTy=T1 A1 A4 + jt1+ Ay由

27、于Xf/.Yh跳马,月在椭囱上，# (1), (2)分别代入C：的方程/+2./=4.整理将(x + 2y 4)Z -4(2a + y- 21Z+14 = 0Z +J4 - (1(4)4)-(3) 得 K(2x + y-2)x-0K*0,，2H .i7=0露苣0（工“启在定直线2t + F 2 = 上r巴如曲线上任意一点，到网中定点片（73.0）和尼（JI。）的胞寓z和为九3j乐曲维r的方程: （Z）坡过（0,-2）的直或f与曲线交于C, 两点,iOC OD-C1。为坐标原点L求缴，的疗 程.解:；】）根据橘园的定义,可比前收M附轨.迹为腌物.其中口 = 3 = 瓜 则=点7二7 =匕3斯II

28、动点M的扎进七档为三*/7.4门当官我/的斜事小存在忖.不满是号百我扁率存存时.设苴施的方程为，=去一2.设日）,心（立,八） roc oD=（.二#再4,必=0. v=*1,-2-* /1二尤乃=左飞+勺-2利马+工J + 4 0工(I +1 )AjX, -2kx + a J + 4 = 0 ,曲方程祖4十 得x H一工(1+ 4A2 )x* 16区 + 12-0 -则毛 + 乩-16,-： - a, a-,匕4，代人:工，存、 J- 1+4X2- + 4 炉(1 +炉)一二一_之#J纥+ 4 =。，即d=4.解得，4 = 2或*=一2l r 1 + 破： 1+4#所以，直设/E，）万连是第

29、 =2域T = -2r-2 .3 .设石* g分别是椭圆:+）2-1的左.右焦点.（I）若户是该朝圜上的一个动点.求处:产司内曼大值相最小债：I】）设过定点M（0,2）的过线/与椭圆交于不同的芭点N,月，且二HP3为就角 河中O为嬖标原点， 求直缓，的斜率*的取值范围. 解：I解法F易加白=2方=l,e=75 所以片（设则PFX - PFi=（-75 $ _y）,| -xt-y） = x* + y2 -3 = *上 +1 _ ?W = -（3aj 8）因为了卜2,2卜故当h = 0,即点P为幅圆短轴端点时，西西有最小值一2当工=2,即点尸为帏圆长轴端点时，ppf；有最大值】E35解法二工易知4

30、 = 2=1 = JL所以写（一6,0）,乙（5,。卜设p（$则尸斗尸乙=俨川忖用卜小/尸k=1乃讣卜 =：（+十号/+./*（牙-6+/-12 =X- + /J （以下同解法一）（n）显然直线=o不满足题设条件.可设直线r；F = 4-z.4/j,B（w，yj.r y = kx-2.威立，一 ,消去1。整理福；k2 + - -+4融+ 3 = 0J/=l I 4J由 A = ( 4 fx3 = 4A2 一3二口得：7.00 ZAQB 0 0 0.4-03 0/ 0.4-OB = h吊 + 丹心 Q3尸X上-i- ,2 1 /2 1 k + A +又 乂工 (kxt +2 )(iv, +2)

31、= A r1x +2t( +x )+4v0,即n4 ，-2（A2t:+- A2+-44故由j、统一2 左工一二或一 k ）,求动点M的物迹一.JW轼N J 1【解忻】；5tMV切回CN一则虱V、5“以行）加Jj? +了，-1 =+/ 化荷得（2: -IXx* +y2）-4把x十（1 十4?） 0 当2=1时，方程为表示 条直疑，4，,1+楠：（1）当时.方程化为5一_/一 /=%表示一个.a- -ia-i0 虻图，圆a与圜与的半径都是1,0。-4.过动点P W-作圜0、圆Q的切线产时,PN73N全刻为因点）,便得FM 忘F、;试迂F正当的坐标奈牛求助点.产的凯!1 5逐一【解析】以的中点O为原

32、点.QR所存直线为工神,毒立如图所示的平面直珀坐标系.则Q（ 2,0），q（2.0）.电已切 PA/ . 3pM.稼 PMJ = 2P.V因为阿圜半粒均为1.女以fO- -I ，尸。；-1)设代工，刃,刻(t + 2)3+jj -1=2(-2)2+ /-1,即(a 6/*+1=i3 (或属+ j = 1 2t + 3 = 0)I干析:L用直接注求动起轨道一股有望系殳点，列V.也曲，正明五个步骤，最后的仁啊可以省略，但要 生意喻”与呻卜，2.求轨迹方程一籁只要求出方程邮可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什幺.2,定义法工运用蟀折几树中一些常用定E例加圆椎曲线的足义K可从曲线定义出发宜按写

33、出轨速 方理，或从由缱定义出发建立龙泵式.从而求出轨迹力理，例2,二知动国世定点 4,0且与宜我工=一支相切*其中和0,k J上I钾析】如国，城州 为初圆圆心.；事|为记为F.过点M乍直炭筮的乖微,乖足&Ar. 由题盍知:阳=四同劭点M里I定点F与定直峨身 V的距离相等.由抛物域的定义如，点M的 中L寸为抽均线.其中为保.占，f为国潴.历以轨过方程为/2pPQ)iO已知圆。的5程为d+=100.点4的坐惊为人6.0, M为图。;任一点，AM的垂直平分线 交0型丁点P.求点P的方程t辨析】由中垂线知.龙=户m|枚!尺*/。| = |门融热4 =。仃=】k即p点的轨迹为以4，口为焦.点的情圜，中心

34、为1=3. C).或P点的方程为a蜀.+汇=152516。白已知缸R、牯直堀1上的二口，UARHRFF，g。,切直线1/一*于点A.又过B、C作60（异于】的两切线,设厚两切畿至于点P，茨,P / Afp的轨迹方程I cp-JX【解析】设过R,r异千1的两切-汨阿七仃干0卜现点，肉切诙 m 文于点P由初线的性质101t in A -mm. m-|PF|, PN-KTI，鼠ABC.PR HPC=|HD|PD|+|PrHHA+PFi+ Pr|-|R.|-|CF-ARp|CA|-6+t2=IR6-|nC,依由椭圆定工何.点P的轨迹是以B.（为两焦点的臃图,艮1所拄的良域为k忙,以RC算中点为空点.建

35、立坐捺系.j1可求得劭点P的乳逋十卷为 : 匚十 -I81 72评析；定义法的关横是条件的转化-转化段某一基本皿的定义某件一三、相关点法；动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点PEy）即随另一动点QOt，* / 的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得.图可先称ML表示为sy的式，.再代入Q 鸵轨迹方程，然而整理得P的轨迹无程，代入法也称相关点法一n何法：利用平面几何戢解折几何的知识分析图格性质.发现动点运土规律和动点谕足的条件t 然而百出汕点的轨迹方程一例3、如四.从双抽缝”号上一点Q引直线x+2的班维.基足为N求轴等QN的中疝P的制诗方杵髀斩1-动点P的型标为G,力点

36、Q的坐标为5.4则N入7息户。传入K+广工导入闾丁野孚=2兄PQ奉宜于直镂N+尸2,一, , 1,即或+学沏=0X 一天由解方程处得巧=:声 ）-Lm皿%+ 1 -1,线人双相& ，M占找力将即可帮P点的轨迹方程是2x-2y:-2xt2y-l=0心己出神医二 21 =】山U）的主、在隼也仆则是Fl（ c. 0）.“，0）, Q是槌15外代 a b动占,满号F/|2弭点P是钱段FQ与讨慌号的交感.在工庄线段F：Q上，并立满兄产九%=OJTF；忸 0./t q求点t眄物港c的方程1*工；【裨忻】做* 一:（韶关点袪）设点T的坐标为a当i后上0时，点（日0）和点一白，0）在软还上当|为1 *0旦I行

37、；. 0耻,由方沅=（）. PT1TF.工PQ = PFA .斯口丁为找段Q的中门设点Q的坐标为（）,则:一下一，因此Ffr1/= 2尸由|亚!=2日尚（ + 4）户=4曰二将代入.可得十广不/,踪上所述.点T的轨迹C的方程呈/ + /=* 解法二几何法）设点I的坐标为Uq）当|可| 0时，点A）和点（60）在轨迹上当|用隹。且|沅|#0时，Uj|PT| |7|=0,得所_L运.又31=fK|,所以T为线段F的中点一 在AQ科上中，|OT|=|F|p|=所以有 综上所述，点1的轨迹C的方程是/ + N =/.K砰折：一腔地：定比分点问息，对称问题或能转化为W两类的轨途何题，都可用相美点法.四.

38、参数法.求料遭方程有时根曜直残我到动点的演坐标，纵蜜标之间的美系.则可借助中同熨量f参 11）r隹泉y之同隹立卷联系，蚌而住从所求式子巾消三营数.得土党点的轨迹古程一例4、住平面宣协坐标聚越片中.掘物桀尸七匕异干坐尿尿点。的两不同动.A、B满足AO I HO （如国4所示3。八AOB的更心仃，却二角单-其中战的如加的中评方程,解法一！以口氏的率K为军挈用及：?解得A ik-6）丁OA -。氏 ,013，卜仃一 g人由1 f 1孵得22世乙人口8的里心G 1 x. yf则x =消去W重心G的轨迹方程为彳方| 十 :3 A司建BP的行和为;2=0;斛法二士 设也AOB 的重心为 G(xa-).A(

39、Xi yi)B(X2.y;!J!1 4V0A10B 工 #4*侬=-1,即/天 + ytj = -1 r (2)乂点A. B在瓶狗线上.有*=父，冗代入Q)化商醇X/二?所以电心为G的物迹方程为v = 3x2 +3。羯图，设题切缝： y =/的焦点为F，动点P正直发：4一12 = 0上运动，过F作抛物找匚 的两篝切货PA. PR.且与抛物浅C分用相切于A B两点.求/ APR的歪心G的敕迹方移【解析】设功怠A, B龄悚分别为(x.r闲,a； X( v rQ), 一A切幔AP的方稗为 24* -了 一了； 0： 25薜等P直的华京为I M.Ji，/工1丫 十JC +TT所以/APR的耋心6的生法

40、为 也一“万受ar,i *； +1丁 注 +M： +*内/ +斯 V -x0-V| j J - yr% =;，所以以二-，.%妙3 由占p市立岐】上运动，从而得干年心行的弱进力转为：丁-1一3# + 4/）一2 =仇国夕=-（4xJ -x + 2）,3无、交轨怯:求两芯蜀续烹，点抗冲时,可由方力豆接消上杏紫桃把来两动壳找的交电时离月此法, 也可以引入叁数来建立这些就曲线的髅祭.甥而消上靠敷簿到轨迹方程可以说是整数法的一种变种一例耳,他比浅- 4必）的琅，点作石相垂里的两花。八、口日 乖抛物线的顶疝。在言浅人H上的射明M的机江解1（交软法）=A. H在抛物线了,工4jix（p 0）上，& ：*且

41、1 J , H ”）酊以&-1,户一】产儿kvs，由 OA 垂直 OB 得 k,一：（工）*ysy _Ts ip4p 4p,“飞划，如”yfcF,把加物-力朝 代入得AB方程”扁f y4pR+ ICp1 =0 （I又OM的方程为y - ? | Vtf J 年-4P由2；消去指v*-yB即用1 * / - 4尸=口，即知Or-2p） + v2 = 4/?J所以点M的轨潘方程为。一20： a./= 4.其瓢迹是以4为民心.季检为2户的地除去点 的哩RT U方为Er2p* /=4/。除去点 ft. 0J .1.已知定点F OXPJ/ - （-h 22再二小一学曲而-77 =口得一夏a： =.因此 动

42、购的疑筋方程为 /二品杵=。）- 门）段I与抛物找交于点A .3.yj）,当1与x轴垂直时.则由百 丽-T励17狂5=4井初44无44|不合K意，放与I与工地小垂直.可设直HU 的方程为取m*01则加演丽二7f得4i.鼻用/=T由点A D工抛狗线j - = 4X-T 01匕有才=4r,jj =屯卬故y/L 又y：权y-Wb得妁目一打71他所以半=-8力=-冷4 =网丁，|州十功因为 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark124 o Current Document ki 4V6 0 AB 4J疝所以% 0即/ 8Swj = 254/7124 n25 * 4 025

43、24ff 1625m.工+ m /. n = 25258V22v2 m 又M必在摘圆内部.，3工；+ 2广；6即/吧+2（3/fl）2 6nm 0.-km设规段mn中点为n（xu, n）,则3 尸 -13k*m7 D(xtl. r6) SE 直峻7: y = kx + 4 h, . 专人= J、怪 + 4.即 Fm =状 -1.3# 一 一 ！ SA - - Ik；出=31 -1八叼，日at ,+ 二 km + mk得用 。或？ 0 TOC o 1-5 h z 史二 o 或史二 L 或M -sE|A| 区M H =1芍一三 M+果 的一与 1阳十三=Zx蔚 f = 2T所以j 13人代入卜=依

44、+ 4得打-31乂产在源曲线的内部,故kr（一 I” 一31或（一 尸一3世或且片工0_A&32口的取值范叫f用 小砒畤3坐网）招式十：存在性问题L没柚园E： + = 1 i ib-4）过M 12，&，冲 显1泗也，口为里惊昂点.I 乘梯耍F的方程工（U）是否存在圜心在原占的圆.使两读圜的任意一条切战与精圆E恒有两个交点 团且怎，砺？苫 存在.写出法围的方程.并求IAB的取值范困一万不存在说叫理由.标：门1因为椭囤工：+一 5b 0）过M （2, W ） , N（ 0 ,即甘土2 - J，+40i-t v, - (h + m(kx + m) kx.x + km(x1 + jt .) + fW

45、+ 2k- + 2k要使OA _5? ,（使,芝j + T JL。，即版一阮=0,所以3种:一XT 8 =0,所以1 + 2K_0 又8炉 t/+40 .所以 * 2，82区, .所以“厂之一,即加之或取占3m 833区为直线p = h+将为圆心在原点的圆的一条切线. TOC o 1-5 h z hieuw-t阳| .而“82 - 或m 333而当而援的斜率正存在时切线hx = -L圆一+L =】的两个交点为38433综上 春在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与腌圆E恒有两个交点XR且OA 1 OH所以(3一七=(W + .t j 一期占=4AnjU 2tJ 12m: - K(Kfc ;

46、-/w; +4) 4 * = 一 三 一 =1 + 2k-(1 + 2k- y火8 上* m* +4)(1+2沙I|=#再一1/+(?| -yz = $(1 + )出一三尸=/G + 心卜2 %、5尸+1 . 32 PVT 4T+4P+1 -VT1+4FT4F+1 *当# hD此| .5|=因为4必所以0V内4r十1+2t*3止+尹十4 # 所A 口.翘薄从（H，设产（靠*） 0（a yr）,叮OF/Og-（%+*+ y+/），由方科工.4、%阳+熊=-1 + 24-支为*力=-*4、而/I、五05（0.）-J-（-/2.1）,所以。A+迎 与.4月共线等价于/4%=一虚（凡+果）.将Z3代入

47、上式,解与A =巫.t （ fcjA 战汉百符合邂二曲常数h3、或K、分别是桃俄二十二一1的左、右运点t I ：若P是谖椭回上的一T前也I求PE：尸F；的 54量大值和莅小愤:(I”是再存在过苴A 3 0的白线1M犍阅交十不口 JA - I)- -= f：L.( I 1;|： 若存在，求巨城I的方程；若不存在.请说明理由一暑；易如 =港=2= 1.叫=(-1,1)/1斯卜 HPtic. y).则町- PF2 - (-1 -Jr,-y) , Q - x-y)- x ； + / T,/j e 一反眄、,当xuk印点P为强圆也独端点时，耳瓦药最小使X当* = o产抠，/ = A +hjr = -I

48、5A 4 4 3k + 4-1 A20k;-20k-4T 而 2。铝-20k：4 不成立,所以不存在凡线人 飞制hCl-lPUl综匕所述,不在在曳然L位/1 Q+Dv v输用用G r + T = 1(。叩旷而仃、为卜J F1两黜他海|与1匕艮+已神1-心,由.H内a b点共回，且点N 明弟到加上的点量远即高为Sj2. 0)求此时椭SSG的方程:露设斜率为k(k/0.Ji的PT陨m5场冽G相交于不同的两点E, F. Q为EF的中点.问E . F两市谯古古于过点P i0， 3Q晌苜技时称？芳能.求出k的即值范不：若不靛.清说话理下，解tH根据桶HI的几何性质线段F此与线设跳比互相垂直平花 曲Iffi圆中心砰为该四点外接圜的心 故该椭效中靠岳岳，即佛国方程可为一 +2/ - 2/，H(5为柳H上一点，则 # 31|VY + v*3)二一+%二 + 18，其中一6 i 工b, 0fr3 ,虹j二一&时,| V 二 A展丈值/+砧+ 9，$+66+9 = 5。得心=3342 f舍去力3出当Ff物，打最大色西：+is.助、由=50博 =屯二所求帏马方职为遇32 16谈笈阳.必X