信息技术2.0微能力：中学九年级数学上（第二单元）B-中小学作业设计大赛获奖优秀作品模板-《义务教育数学课程标准（2022年版）》

1、 中学九年级数学上（第二单元）范例一义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛模板目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品 PAGE 9九年级数学单元作业设计第 28 章 锐角三角函数一、单元信息（单元信息一览表）基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学九年级第二学期人教版锐角三角函数单元组织方式 自然单元重组单元课时信息序号课时名称对应教材内容1锐角三角函数第 18.1.1(P61-65)2特殊角的三角函数值第 18.1.2(P65-67)3用计算器求一般锐角的三角函数值第 18.1.3(P67-68)4解直角三角形第 28.2.1(P72-73)5解直角三

2、角形的应用举例第 28.2.2(P74-77)二、单元分析（一）课标要求课程改革明确地指出数学教学要达到三维目标的统一，即知识与技能，过程与方法，情感态度价值观的统一。教学目标的重新定位，不仅是关注知识技能的获得，更注重学生经历体验知识的产生、形成、发展的过程和注重对学情感态度价值观的培养，从而培养学生发现问题、解决问题的能力，以及创新思维能力。课标在“知识与技能”方面提出：探索具体问题中的数量关系，并能运用代数式、函数等进行描述；掌握三角形基本性质以及相似等的基本性质；在“数学思考”方面指出：能对具体情境中较大的数字信息作出合理的解释和推断，能用代数式、函数刻画事物间的相互关系；在“解决问题

3、”方面指出：能尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异， 通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验；在“情感与态度”方面指出： 强化育人导向，敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心，体验数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到 数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。（二）教材分析知识网络内容分析本章锐角三角函数属于三角学，是数学课程标准中“空间与图形” 领域的重要内容。直角三角形是一种特殊的三角形，在应用中有较一般三角形优良的特点，例如面

4、积比较好计算等，且其他三角形通过增补、分割等可以转化为直角三角形，从而简化计算，所以对直角三角形进行专门的研究很有必要。本章将学习直角三角形中边与角之间的关系，并运用这些关系解决一些测量等方面的问题。本章在前面已经研究了直角三角形中的三边关系、两个锐角之间关系的基础上，进一步研究其边角之间的关系。本章分为两节：28.1 锐角三角函数和 28.2 解直角三角形及其应用。第一节主要学习锐角的正弦、余弦和正切等锐角三角函数。第二节主要研究与解直角三角形有关的内容。第一节内容是第二节的基础； 第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。锐角三角函数的概念既是本章的重点，也是难点。解直角三

5、角形彻底解决了与直角三角形的有关度量问题，是初中数学中的重要内容；同时解直角三角形具有较强的综合性， 三角形全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，解直角三角形时需要综合运用锐角三角函数、勾股定理等知识。解直角三角形也是本章的重点和难点。通过本章的学习，使学生全面掌握直角三角形的组成要素（边、角）之间的关系，并综合运用已学知识解决与直角三角形有关的度量问题，进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模能力，同时为高中数学中任意角的三角函数等知识的学习做准备。（三）学情分析从学生的年龄特征和认知特征来看：九年级学生的思维活跃，接受能力较强， 具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。从学生已

6、具备的知识和技能来看：九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，已经学习了三角形、相似三角形、勾股定理以及函数相关知识，能灵活运用几何图形的性质及判定方法解决问题，为学习锐角三角函数奠定基础的同时具备了一定的逻辑思维能力和推理能力。从学生有待于提高的知识和技能来看：学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。三、单元学习与作业目标利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）， 能够应用 sinA、cosA、tanA 表示直角三角形中两边

7、的比；知道 30、45、60 角的正弦、余弦和正切值。会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并能用解直角三角形等有关知识解决加单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的作用。四、单元作业设计思路亮点特色：一改以往千篇一律的作业模式，有针对性地设计多元分层次作业， 布置不同层次的作业等办法使不同类型不同层次的学生都得到发展。基础性作业，为必做内容，面向全体，体现课标，重在基础知识和基本技能的操练，浅显易懂，紧扣当天所学的内容，

8、适合基础知识有所欠缺，思维过程较慢的学生完成； 发展性作业包含实践性、个性化等练习，重在对概念的深刻理解和灵活运用。这种题目有一定的难度。此类作业适合基础知识扎实，思维敏捷的学生完成。并鼓励学生对其他类别的作业适当地有选择地完成。同一问题设计多梯度问题。在作业评价表最后一栏设置了“自评”的环节，有利于落实九大核心素养中的学会学习，表现为个体在学习态度、方式、方法、进程等方面的选择、评估与调控。期望学生能自主学习，注重合作，具有终身学习的意识，在知识学习的过程中能勤于反思，对自己的学习状态有清楚的了解，能够根据不同情境和自身实际，选择合理有效的学习策略和方法等。同时落实了核心素养中的身心健康，主

9、要表现为适性发展，个体能正确判断与评估自我，依据自身个性和潜质选择适合的发展方向，有计划、高效地分配和使用时间与精力，具有达成目标的持续行动力等。主要成效：进一步提高教学质量，用作业的有效性为减负增效。对有一些题由易到难的设置问题，有助于帮助学生挖掘问题的各个方面，达到深层次认识问题的本质，有利于培养学生的思维深刻性，也使学生在一步步探索的过程中，获得不同程度的成功体验，激发学生的潜能，并获得自主发展的机会，使学生的观察能力、抽象能力、概括能力和自学能力等学习素质都有不同程度的提高。意见建议：练习的方式要多样化，真正做到减负高质，体现“小坡度，密台阶，循序渐进”的原则，逐步提高。避免大容量快节

10、奏，要顺应学生的知识经验， 让学生尝试画图、计算的整个过程，从而循序渐进地感悟新知。读懂教材，读懂学生，编制出能启迪学生思维、开发学生智力的问题链，以实现高效教与学。作业具体设计体系如下：五、课时作业第一课时（28.1.1 锐角三角函数）【作业目标】探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），能够应用 sinA，cosA， tanA 表示直角三角形中两边的比；进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想.【核心素养】运算能力，几何直观作业 1（基础性作业）作业内容若 RtABC 各边扩大 5 倍，则 sinA（）、cosA（）、tanA（）。A. 扩大 5 倍B.缩小为原来的 1C.

11、不变D.不能确定5如图，点 A 在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为，ABO=90.若点 A（3，2），则 tan= ,sin= ；若点 A（t，4）， sina 2 ，则 t=；3若 OB=24cm， sin a 513，则 OA 的长度为；若cos a 4 ，C 为 OB 上一点，=45，BC=6，则 OA 的长度为；5在平面直角坐标系中，P 是反比例函数 y 6 的图象在第一象限上的一点，x且点 P 到坐标原点 O 的距离为于 。时间要求（10 分钟）评价设计，则 OP 与 x 轴正半轴的夹角的正切值等13作业评价表评价指标等级备注ABC思维的准确性A 等，理解锐角三角函数概念，且运

12、算正确；B 等，理解锐角三角函数概念，但运算错误；C 等，不能准确理解锐角三角函数，且计算错误。思维的敏捷性A 等，能利用勾股定理求出所求锐角三角函数涉及的某些元素，且运算正确；B 等，能利用勾股定理求出所求锐角三角函数涉及的某些元素，但运算正确；C 等，不能利用过股定理求出涉及的某些元素。思维的广阔性A 等，解题思路有新意和独到之处，答案正确；B 等，解题思路有创新，思路不完整或错误；C 等，常规解法，思路不清楚或过于复杂。综合评价等级AAA、ABB 综合评价为 A 等；ABB、AAC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。自我评价作业分析与设计意图作业第（1）题要求学生掌握，在

13、 RtABC 中，当锐角 A 的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，A 的对边与斜边，邻边与斜边，对边与斜边之比都是一个固定值，加深对锐角三角函数的理解和运用。作业第（2）题考查学生求正弦值、余弦值、正切值的常用方法，会利用给出相应的边直接利用定义求解，会利用勾股定理求出第三边在利用定义求解。作业第（3）题是无图题，要注意分类讨论而避免疏漏。作业评价时要关注学生对题中三角形中各边关系的处理，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展，培养学生的几何直观和运算能力。作业 2（发展性作业）作业内容如图，在 RtABC 中，ABC=90，BDAC 于点 D.sinA，cosA,tanA 可以表示为哪

14、两条线段之比？若 AC=6，BC=4，你可以求出 sinA，cosA，tanA 的值吗？如图，在 55 的正方形网格中，求下列各式的值.sinABD= ；sinBAC= ；sinBAE= .时间要求（8 分钟）评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC思维的准确性A 等，理解锐角三角函数概念，且运算正确；B 等，理解锐角三角函数概念，但运算错误；C 等，不能准确理解锐角三角函数，且计算错误。思维的敏捷性A 等，能在正方形网格中求锐角三角函数值，且掌握寻找直角的方法；B 等，能在正方形网格中求锐角三角函数值，且未掌握寻找直角的方法；C 等，不能在正方形网格中求锐角三角函数值，且未掌握寻找直角的方法

15、。思维的深刻性A 等，能等角代换并回归定义求相应锐角的三角函数值，且能通过添加辅助线构造直角三角形；B 等，能转化相等角，但不会构造直角三角形；C 等，转化相等角出现错误，不会构造直角三角形。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、AAC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。自我评价作业分析与设计意图作业第（1）题意图让学生掌握 sinA 的值固定，可在不同的直角三角形间的等角“转化”，必要时巧设参数并借助参数相互转化，通过练习加深学生对锐角三角函数的理解，同时增强对知识的应用；第（2）题要求学生会解网格中的直角三角形，网格中的锐角三角形，以及网格中的钝角三角形，

16、要求学生在没有直角三角形时会利用多种方法构造直角三角形，并进行进一步计算。要求学生具有一定的观察能力和数学思维能力。例题变形设置有一定坡度，由浅入深，层层递进。第二课时（28.1.2 特殊角的三角函数值）【作业目标】熟记 30，45，60角的正弦、余弦和正切值；能根据这些值求出对应的锐角度数.【核心素养】运算能力，几何直观作业 1（基础性作业）作业内容在ABC 中，3若ABC 为直角三角形，C=90，2a=c，则A= ;若sinA cos B ，则ABC 的形状为;2若ABC 为正三角形，则 cosA= ;已知是锐角，且sin(a 15) 3 ，则=;2直线 y=kx-4 与 y 轴相交所成的

17、锐角的正切值为 1 ，则 k=.2计算： 2(2 cos 45 - sin60) tan 30 sin60 24 ;4;cos2 45sin30 3 - (6)0 cos2 30 - 4sin60 ;122 23（sin30）-1 - 20180 - 4- tan60 .时间要求（10 分钟）评价设计 PAGE 19作业评价表评价指标等级备注ABC思维的准确性A 等，能实现特殊角和对应三角函数值的转换，且运算正确；B 等，能实现特殊角和对应三角函数值的转换，但运算错误；C 等，不能将特殊角和对应三角函数值互相转换，运算错误。思维的敏捷性A 等，能结合直线等其他数学知识，解决与三角函数综合的问题

18、，且运算正确；B 等，能结合直线等其他数学知识，解决与三角函数综合的问题，但运算错误；C 等，不能结合直线等其他数学知识，解决与三角函数综合的问题，且解答错误。综合评价等级AA、AB 综合评价为 A 等；BB、AC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。自我评价作业分析与设计意图作业第（1）题要求学生牢记特殊角的三角函数值，以免混淆。了解特殊角的三角函数值可逆用，即会根据已知锐角三角函数值，得出该锐角的度数，并进一步判断三角形的形状。作业第（2）题引发学生对直线倾斜角度与锐角三角函数的关联性思考。 作业第（3）题主要考查学生对有关特殊角的三角函数的运算的熟悉程度，培养学生良好的数学

19、学习习惯。作业 2（发展性作业）作业内容点（-sin60，cos60）关于 y 轴对称的点的坐标为 ;已知在 RtABC 中，C=90，sin A 的根为 ;，则方程tan Ax2 - 2x tan B 0 23如图，在高为 2m，斜坡面与地平面夹角为的楼梯表面铺地毯，楼梯宽2m，共需地毯的面积为（4 4），则为多少度？如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 5 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30夹角，求出这棵大树在折断前的高度。时间要求（10 分钟）评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC思维的准确性A 等，能实现特殊角和对应三角函数值的转换，且运算正确；B 等，能实现特殊角和对应三角函数值

20、的转换，但运算错误；C 等，不能将特殊角和对应三角函数值互相转换，运算错误。思维的敏捷性A 等，能结合方程等其他数学知识，解决与三角函数综合的问题，能将实际问题准确地转化为数学问题；B 等，能结合方程等其他数学知识，解决与三角函数综合的问题，不能将实际问题准确地转化为数学问题；C 等，不能结合方程等其他数学知识，解决与三角函数综合的问题，不能将实际问题准确地转化为数学问题。数学语言的规范性A 等，过程规范；B 等，过程不够规范、完整；C 等，过程不规范或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。自我评价作业

21、分析与设计意图通过多类题型练习，在复习旧知的同时进一步探究和巩固新知，让学生能够进行特殊角的三角函数值的计算，并在实际生活中应用。第三课时（用计算器求一般锐角的三角函数值）【作业目标】会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值；会使用计算器由已知三角函数值求出对应的锐角.【核心素养】运算能力，应用意识，创新意识作业 1（基础性作业）作业内容用计算器求下列锐角的三角函数值.cos6317tan27.35sin39476已知锐角三角函数值，用计算器求相应锐角 A 的度数.sinA=0.9816cosA=0.8067tanA=0.189x 1（2）比较大小：sin4627 cos5328（填入“”、“”

22、、“=”）已知 (5sin x)2 0 ，则 .（结果精确到 0.01）时间要求（8 分钟）评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC思维的准确性A 等，会用计算器求已知角的锐角三角函数值，会用计算器由已知三角函数值求对应锐角；B 等，会用计算器求已知角的锐角三角函数值，不会用计算器由已知三角函数值求对应锐角；C 等，不会用计算器求已知角的锐角三角函数值，不会用计算器由已知三角函数值求对应锐角。思维的敏捷性A 等，能结合其他数学知识，用计算器计算出正确的结果；B 等，能结合其他数学知识，但用计算器计算出错误的结果；C 等，不能结合其他数学知识，而用计算器计算出错误的结果。综合评价等级AA、AB

23、综合评价为 A 等；BB、AC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。自我评价作业分析与设计意图通过练习，会使用计算器求锐角三角函数值，并会根据条件求出锐角的度数。作业 2（发展性作业）作业内容（1）sin=0.2316，cos=0.2316，则锐角与锐角之间的关系（） A.=B.+=180C.+=90D.-=90（2）已知 sin=0.4771，则锐角= = .如图，要焊接一个高 3.5 米，底角为 32的人字形钢架，约需多长的钢架（结果保留小数点后两位）.爱美的女性喜欢穿高跟鞋。然而，美国加利福尼亚州立大学的人体工程学研究人员卡特克雷加文调查发现，70 以上女性喜欢穿鞋跟高度为

24、 67cm 的高跟鞋，但穿 6cm 以上的高跟鞋会给踝骨和膝盖增加负担，腿肚和背部等肌肉也极易疲劳。对于 10cm 以上的高度，美丽的水晶鞋无异于残酷的刑具。据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为 11左右时，人脚感觉最舒适。假设美女脚前掌到脚后跟长为 21cm，你知道专家计算出鞋跟的最佳高度是多少吗？时间要求（8 分钟）评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC思维的准确性A 等，会用计算器求已知角的锐角三角函数值，会用计算器由已知三角函数值求对应锐角；B 等，会用计算器求已知角的锐角三角函数值，不会用计算器由已知三角函数值求对应锐角；C 等，不会用计算器求已知角的锐角三角函数值，不会用计算器由

25、已知三角函数值求对应锐角。思维的敏捷性A 等，能正确使用计算器，并能将实际问题转化为数学问题；B 等，能正确使用计算器，但不能将实际问题转化为数学问题；C 等，不能正确使用计算器，也不能将实际问题转化为数学问题。数学语言的规范性A 等，过程规范；B 等，过程不够规范、完整；C 等，过程不规范或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。自我评价作业分析与设计意图会用计算器进行度分秒的转化，使用不同品牌的计算器时一定要弄清楚输入顺序。了解互余两角的三角函数关系。通过实际应用问题，激发学生学习数学的兴趣，理解数学

26、与生活的密切联系。第四课时（28.2.1 解直角三角形）【作业目标】会用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；认识到数形结合的意义与作用.【核心素养】抽象能力，几何直观，应用意识，创新意识作业 1（基础性作业）作业内容3在 RtABC 中，C=90，BC=6,AC=2.解这个直角三角形。（用不同方法求解.哪种求法更有优势？）美化城市，改善人们的居住环境，已成为城市建设的一项重要内容，黄山市城区近几年来通过拆迁旧房、植草、栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示），在绿化公园ABC 中，公园周边一处绿化带 AC 长为 8,CAB=30，CBA=45，求绿色长廊

27、 AB 的长.平行四边形 ABCD 的邻边为 4，6，夹角为 40，其面积为多少？已知一个直角三角形的周长是4 2角形的面积为多少？时间要求（8 分钟）6 ，斜边上的中线的长为 2，则这个三评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC思维的逻辑性A 等，解题思路清晰，且条理清楚；B 等，解题思路清晰，但条理不清楚；C 等，解题思路不清晰，且条理不清楚。思维的广阔性A 等，解题思路有新意和独到之处，答案正确。B 等，解题思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。数学语言的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无

28、过程，答案错误。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。自我评价作业分析与设计意图要求学生掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的基本方法，已知两边解直角三角形，可用三角函数的边角关系求出其中一个锐角，进而得到另一个锐角，另一条边可通过勾股定理或边角关系求出；已知一边和一锐角（三角函数值） 解直角三角形，可先求出另一锐角，再根据三角函数的边角关系求其他两边。要求学生能巧妙将三角形问题转化直角三角形问题，然后借助于三角函数和勾股定理解决。若三角形的形状不确定，解直角三角形时，特别涉及到三角形的高时， 注意要分类讨论

29、，以免漏解，在练习中向学生渗透分类讨论的数学思想方法。作业 2（发展性作业）作业内容自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为了方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图所示的公园进行扩张改造，改造后的公园如图为四边形 ABCD，AB=2,CD=1，A=60，B=D=90，求请你求出改造后的公园（即四边形 ABCD）的面积.（用多种方法求解）如图，中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成 30的夹角，示意图如图 2.在图 2 中，每个菱形的边长为 10cm，锐角为 60，则 A，B 两点之间的距离为 .时间要求（10 分钟）评价设计作业评价表评价指标

30、等级备注ABC思维的逻辑性A 等，解题思路清晰，且条理清楚；B 等，解题思路清晰，但条理不清楚；C 等，解题思路不清晰，且条理不清楚。思维的广阔性A 等，解题思路有新意和独到之处，答案正确。B 等，解题思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。数学语言的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。自我评价作业分析与设计意图解直角三角形的方法很多，灵活选取恰当的三边关系或函数

31、关系式求解。计算时，尽量使用原题中原始数据，这样误差小些。抽象出数学问题，引导学生全面梳理直角三角形中边角间的关系，归纳出解直角三角形的一般方法。通过一题多解，并挖掘多种解法中蕴含的通性通法，以达到“做一题、通一类、会一片” 的教学效果，增加习题教学中的灵动性学生多角度思考、解决问题的习惯。第五课时（28.2.2 解直角三角形的应用举例）【作业目标】掌握仰角、俯角、坡度、方位角的概念；会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题.【核心素养】应用意识，创新意识，运算能力作业 1（基础性作业）作业内容随着我国科技事业的不断发展，国产快递机器人大量进入快递行业。现有A,B 两条路线被规划

32、用做快递机器人用来运送快件，A 路线平均每小时运送快递70 件，B 路线平均每小时运送快递 50 件。如图，已知在 C 处测得顶部 A 的仰角为 45，沿着坡度 i=1： 3 的传送带前进 4m 到点 D 处，测得点 A 的仰角为 60， 求出 AB 的高度。台湾地处环太平洋地震带西部，是太平洋板块、欧亚板块和菲律宾亚板块等多个板块的交汇区域。受太平洋板块向西运动的影响，菲律宾海板块以大约每年 75mm/a 的速度向欧亚板块俯冲，致使台湾地区地震活动极为频繁，是我国地震活动最强烈的地区，1970 年以来平均每年发生 5 级以上地震约 14 次，其中 6 级-6.9 级 2.3 次、7 级以上

33、0.35 次。据中国地震台网速报，23 日 1 时许起，台湾花东地区接连发生多起地震，全台湾有感，并造成人员受伤和桥梁损坏。目前最大震级为 6.6 级，地震导致全岛震感强烈，福建福州、泉州、厦门等地震感明显。地震发生后，各级政府会同地震中心站前往震中开展应急处置工作。全国各地纷纷捐款捐物，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空时，为了能准确空投物资，在 A 处测得空投动点 C 的俯角=60，测得地面指挥台的俯角=30， 若飞机距地面高 1500 米，则此时 B、C 两地间距多少米？（结果保留根号）时间要求（10 分钟）评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC思维的准确性A 等，能正确理解仰角、俯

34、角、坡度、方位角等概念， 并运用其解决实际问题；B 等，能正确理解仰角、俯角、坡度、方位角等概念， 但不能运用其解决实际问题；C 等，不能正确理解仰角、俯角、坡度、方位角等概念，并运用其解决实际问题；思维的广阔性A 等，解题思路有新意和独到之处，答案正确。B 等，解题思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。数学语言的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。自我评价作业

35、分析与设计意图破解生活情景、实物图中的高度测量、距离问题，以相关测量、距离计算为载体，考查同学在具体情境中构建数学模型( 直角三角形、三角函数等) ，关键是将实际问题转化为数学模型，进而分析与解决现实生活中的许多问题，而解决问题的关键是从背景图中提炼相关信息( 特殊角如 30、45、60 或已知角) ，添加适当的辅助线构造直角三角形，借助直角三角形中边与角之间的关系选择合理的三角函数、勾股定理等求解问题作业联系生活实际，让学生了解解直角三角形知识在解决实际问题中所起的作用。关注数学知识背后蕴涵着丰富的数学思想方法。如：数形结合思想、模型思想等等，加强思想方法的渗透和领悟，培养应用意识。引导学生

36、画出示意图， 将实际问题中的数量关系在图形中反映出来，数形结合，提高学生分析、解决问题的能力。 PAGE 25作业 2（发展性作业）作业内容如图，一艘货船在灯塔 C 的正南方向，距离灯塔 257 n mile 的 A 处遇险， 发出求救信号。一艘救生船位于灯塔 C 的南偏东 40方向上，同时位于 A 处的北偏东 60方向上的 B 处，救生船接到求救信号后，立即前往救援。求 AB 的长3（结果取整数，参考数据：tan400.84，取 1.73）时间要求（5 分钟）评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC思维的准确性A 等，能正确理解方位角等概念，并运用其解决实际问题；B 等，能正确理解仰角、俯角

37、、坡度、方位角等概念， 但不能运用其解决实际问题；C 等，不能正确理解仰角、俯角、坡度、方位角等概念，并运用其解决实际问题；思维的广阔性A 等，解题思路有新意和独到之处，答案正确。B 等，解题思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。数学语言的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。自我评价作业分析与设计意图利用解直角三角形解决方位角有关的实际问题时，先要在每个位置中心

38、建立方向标，再根据方位角标出图中已知角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题。解决这类问题要能根据题意画出正确的图形，构建几何模型，借助相关图形的性质与结论，选择合适的边与角关系进行解答，使问题获得解决，这是数形结合思想与转化思想的重要应用六、单元质量检测作业（一）单元质量检测作业设计【作业目标】进一步体会函数思想，并会正确运用函数的对应关系和解直角三角形的知识解决一些实际问题；体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途；感知数学与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.【核心素养】运算能力，几何直观，推理能力，应用意识，创新意识作业内容一、填空题1.

39、 cos30+2sin60-2tan45= ;如图，四边形 ABCD 在 55 的正方形网格中， tanABC= ; cosACD= .如图，在平面直角坐标系中，直线 l 过点 A，OAAB 于点 A.若点 A（3，1），则 cos= ;若 B（0，200），cosABO=0.6，则 AB= ;若 OA=6，AB=8，ACOB,垂足为 C，则 tanOAC= ;若点N 为RtAOB 直角边上一点，MNOA 于点M，BM=3，BN=4，求cosAOB= ;若 BD=13，OD=15,BOD 的面积为 84，求 sinBDO= ;若 sinABD= 1 ，则 sinADB=;3若 BE 是 AD

40、边上的中线，cosABE= 4 ，则 tanADB=.5二、解答题五月八日是母亲节，现代的母亲节起源于美国，是每年 5 月的第二个星期日。母亲们在这一天通常会收到礼物，康乃馨被视为献给母亲的花，而中国的母亲花是萱草花，又叫忘忧草。小丽早早地准备好了礼物和精致的手工贺卡等，准备在 5 月向母亲敬献爱意。小丽买了一个底面直径与杯高均为 15cm 的杯子，里面盛了一些水，当它支在桌上倾斜到水面与杯壁呈 52时才能将液体倒出来， 求此时杯子的最高处与桌面的距离.（结果精确到 0.01cm，参考数据：sin520.79，cos520.62，tan521.28）为了方便市民绿色出行，黄山市屯溪城区推出了公

41、共自行车系统，这是黄山市委、市政府为缓解城市交通“两难”，创建环保低碳城市，解决“公交最后一公里”出行问题的一项重要便民利民实事工程。更多的市民与文明同行，美化城市，选择公共自行车这种低碳、绿色、环保的出行方式，不但缓解了城区交通出行的压力，单车定点、有序停放，还能让城市绿色文明的形象得到进一步提升。如左图，是某品牌的共享单车平放在水平地面上的实物图，右图是部分结构的示意图，其中 AB 与地面平行，AC=60cm,CAB=30，CBA=45.请你根据题目条件，求下面的问题：求ABC 面积.思考：ABC 的面积能否用 a，c 及夹角B 或 a，b 及夹角C 表示呢？（其中 a,b，c 分别为A,

42、B,C 的对边）时间要求（25 分钟以内）评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC思维的准确性A 等，能正确理解锐角三角函数的等概念，并运用其解决实际问题；B 等，能正确理解锐角三角函数的等概念，但不能运用其解决实际问题；C 等，不能正确理解锐角三角函数的等概念，并运用其解决实际问题；思维的敏捷性A 等，能结合其他数学知识，构造直角三角形，进行等角代换等，解决与三角函数综合的问题；B 等，能结合其他数学知识，构造直角三角形，进行等角代换等，但不能解决与三角函数综合的问题；C 等，不能灵活地结合其他数学知识，构造直角三角形，进行等角代换等，不能解决与三角函数综合的问题。思维的广阔性A 等，解题思

43、路有新意和独到之处，答案正确。B 等，解题思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。数学语言的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。综合评价等级AAAA、AAAB 综合评价为 A 等；AABB、AAAC、综合评价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。自我评价作业分析与设计意图考查学生关于锐角三角函数的运算能力。要求学生灵活运用“等角转化”。第 3 题设置了多梯度练习，需要学生再次经历锐角三角函数概念的形成过程，并运用定义加深对概念的理解，避免对锐角三角函数的定义理解不透，相互混淆。解

44、题过程中还需要学生能够主动发现“隐含条件”，培养学生良好的运算习惯， 提升运算素养，通过解决与生活密切相关的实际问题，体会数学的应用价值。（二）单元质量检测作业属性表序号类型对应单元作业目标对应学习水平难度来源完成时间自我评价等级了解理解应用1填空题2易选编25 分钟2填空题1，4较难原创3填空题1，4中原创4解答题4，5易改编5解答题4，5中改编知识备份（根据实际情况删减）概念被认为是儿童智力的基本组成部分，对基本概念的获得与儿童整体智力发展密切相关（Bruce, Bracken,1998），在数学领域亦是如此，儿童对数学概念的理解是进行数学问题解决和交流的前提和基础，例如，儿童理解定量的相

45、关概念，如“多”、“少”、“很多”、“较少”可以让而儿童掌握量的比较并进行描述(Barner, Chow & Yang, 2009)；掌握空间概念能够让儿童对数轴上的数字关系以及空间物理对象之间的关系进行感知并交流和讨论(Ramani, Zippert, Schweitzer, etal.,2014)，同时，早期儿童的数学学习是操作性的，但是这种操作是建立在对基本数学概念理解基础之上的，当儿童不能准确理解数学概念时，也无法掌握更进一步的数学内容(Barner, Chow & Yang, 2009)，因此，数学概念的理解是儿童进行数学交流的前提和保障。一、3-6 岁儿童数学概念理解能力的现状水平

46、（一）3-6 岁儿童数学概念理解能力的整体 表现为了解 3-6 岁儿童在基本概念理解上的整体表现，对 433 名儿童在各个题项上的答题正确率进行统计，结果如表 5-2-1 所示：表 表 5-2-1 3-6 岁儿童在基本概念理解上的表现测试项目 分量表题项总数 平均答对题数 1 项目通过率 2颜色 11 10 90.9%数字/计数 19 16 84.2%量/大小 13 10 76.9%比较 10 7 70%形状 20 15 75%基本概念理解 73 60 82.2%由表 5-2-1 可知，3-6 岁儿童在基本概念上理解上的整体表现较好，整体通过率为 82.2%。在各分量表上而言，儿童在颜色理解上

47、的表现最优，通过率为90.9%，其次为数字和量通过率为 84.2%，76.9%，儿童在形状和比较上的表现稍微较弱，通过率仅为 75%和 70%。具体来说，儿童在颜色这一概念上的理解能力非常好，其中对黑色、白色、绿色、蓝色、黄色、粉色 6 中颜色的识别率最高，其正确率在 95%以上，其次为红色、紫色和橙色，正确率在 90%左右，再次为灰色，正确率为 82.4%，儿童在褐色理解的表现上不佳，正确率进位 79.7%。儿童在数字/计数上理解总正确率 84.2%，其中对 “数字 1,2,3,4”的理解识别理解率最高，正确率均在 95%左右；其次对 5-9 数字的理解正确率要高于数字10 以上的，但是“数

48、字 9”和“数字 6”的正确率稍微偏低，在 85%左右；儿童对两位数的理解正确率要低于“个位数”，并且数字的增大，儿童的正确率降低，“数字 95”、“数字 41”、“数字 27”的理解正确率会显著低于其他数字，在70%左右。在图形计数方面，随着量的增多，儿童的正确率下降，儿童对“一头熊”、“三朵花”的正确率要高于“六只鸭子”和“九只蜜蜂”，其中“九只蜜蜂”的正确率最低，为 75.1%。儿童在量/大小上的理解情况略低于数字/计数上的表现，总正确率为 76.9%，说明儿童已经能够掌握量、大小等概念。具体来说，儿童对最大、最小、最细、最长概念的理解情况要优于对最深、最浅、最密的理解。儿童在比较概念上

49、的理解程度较差，在此项目上的通过率为 70%，具体来看，儿童对“配成一对”、“完全匹配”、“某物体最像”、“读的不是书”等概念的理解还存在一定的困难，尚不能从否定方面或者事物特征的某一方面做出选择和分辨差异。儿童对形状理解的正确率为 75%，略优于对比较的理解。具体来说，除了对“菱形”、“斜线”、“曲线”、“角”这四个概念的图形辨认率比较低之外，儿童对二维图形的理解辨认能力要优于三维图形，其中二维图形中，“圆形”、“正方形”、“五角星”、“心形”、“三角形”、“长方形”的正确率最高，其次为“排成一队”、“排成一行”、“对号”、“椭圆形”。在三维图形中，儿童对“柱子”、“三棱锥”、“圆柱体”的理

50、解水平要高于“立方体”、“圆锥体”。总体来说，Breaken 基本概念难度的设计是由易至难、循序渐进的，儿童回答正确题目的越少，所获得概念的难度就越低。因此，从上述结果表明，3-6 岁小班儿童在比较上的整体理解能力偏差，正确通过率仅为 50%，具体来说，儿童在“不一样”、“不同”、“不一样多”几个概念的理解能力略高，正确率在 60%以上，其次是“相似”、“一样大”、“一样”、“一对”，正确率均在50%左右，儿童在“完全匹配”、“读的不是书”、“两条船最像”等几个概念的理解上存在较大的困难，其正确率仅为 30%左右。小班儿童对形状理解的正确率为 65%，具体来说，小班儿童能够理解绝大多数的二维平

51、面图形，例如在 “圆形、正方形、三角形、长方形、五角星、心形”上的正确率为 90%左右，但对“椭圆形”“菱形”的识别率不高。同时，在二维图形中，儿童对“斜线”、“曲线”、“角”等几个概念的理解还存在很大的困难，特别是“曲线”和“斜线”，儿童的正确率仅为 20%左右。相对于平面图形来说，儿童对三维立体图形的理解能力稍微偏弱，但 50%上的儿童能够识别并正确识别“三棱锥”、“圆柱体”、“柱子”、“立方体”等几何形体，而对于“圆锥体”的理解存在困难。最后，小班儿童能够对一些形状用语做出理解和判断，例如对“排成一队”、“排成一行”、“对号”等正确率也较高。在颜色中，除了“褐色”和“灰色”的正确率在 8

52、0%以上，其余颜色正确率均在 90%以上，95%左右，因此，中班儿童已经能够数量理解并辨识各种颜色。在计数上，除了在“数字 95”的正确率为 69.3%之外，其他数字的识别以及对图片数字的计数的正确率都在 80%以上。在量的理解上，中班儿童已经能够正确理解大小、粗细等概念，但在“水最浅”、“船最宽”、“网最密”上的正确率较低。在比较概念上，中班儿童理解能力稍微较弱，总正确率为 60%，具体来看，中班儿童能够基本理解“不一样、不同、不一样多”等三个比较概念，其正确率在 80%左右，但对于“相似、一样大”稍微较弱，通过的正确率在 70%左右，而在“一样、读的不是书、配成一对、两条船最像”不佳，其正

53、确率在 60%左右。对于“完全匹配”这一概念的理解和掌握则存在困难，其正确率不足 50%。在形状上，除了“菱形”的正确率为 51.2%之外，中班儿童已经能够完全理解和掌握各种平面几何图形的名称和概念，其项目通过的正确率均为 90%以上，但在二维空间概念上，对“斜线”、“曲线”、“角”这三个二维概念的理解和掌握上存在很大的困难，尤其“曲线”的正确率仅为 20%，“斜线”与“角”的正确率也不足 50%。在三维立体图形的概念中，儿童准确的理解“柱子”、“三棱锥”，其正确率为 80%以上，对“立方体”、“圆柱体”的理解偏差一点，在 60%左右，还不能较好的理解“圆锥体”的概念，其正确率不足 50%。数

54、学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。3-6 岁的学前儿童，通过日常生活经验，他们对数字、模式、形状、数量、大小等逐渐形成了一套相对复杂的数学概念，而这些数学概念正是日后正式数学学习的基础。因此，对数学概念的理解与掌握则成为数学学习的首要任务，也是进行数学交流的前提和保障。儿童在不同概念维度上的表现并不一致，首先，从儿童整体概念的理解水平上看，颜色的理解能力显著高于其他概念，这是由于颜色概念是人类发展较早的概念之一，已有研究表明，4 个 月 的 婴 儿 已 经 能 够 分 辨 红 黄 蓝 绿 四 种 颜 色 (Bornstein, Kesse

55、n &Weiskopf,1976)，因此在颜色概念的理解和表达上会显著高于其他内容；其次是数字/计数概念，赵振国（2008）通过对 3-6 岁儿童数感能力发展研究得出，在数感的六个组成部分中，数符号的辨认和比较是表现最优的(赵振国,2008)，这与本研究的结果相一致；再次是量和形状概念，早期儿童的数学内容是与关于数、量、形分不开的，而量与形的相关概念也是最早起源于日常生活(黄瑾,2016)，因此，儿童也较为能够掌握相应的概念。在五种基本概念中，儿童对比较的理解能力相对较弱，一方面是因为，比较的概念是与量的相对性联系在一起的，而量的相对性对学前儿童来说是较为抽象的概念(黄瑾,2016)，所以儿童

56、还不能准确的判断和了解，另一方面，比较概念的传递性，是通过较为抽象的专业词汇实现的，例如“哪两块拼图是完全匹配的、哪两只鞋子能够配成一对、哪两只动物是相似的”，而儿童的词汇水平也是影响理解的重要因素之一(闫梦格,李虹,李宜逊等,2020)，因此，虽然有相应的图片帮助儿童去呈现相应的概念，但是由于对专业性词汇的理解不够，也就表现出在比较概念上的相对较弱。总之，3-6 岁儿童在不同概念体系之间的理解能力并不均衡，在颜色概念理解上的表现最优，其次为数字/计数、量/大小、形状，比较概念的理解水平最低。形状中仅能理解二维平面图形，例如“圆形、三角形、正方形”等，对三维立体图形的理解中存在较大困难；在比较

57、中，仅能理解“不一样、不同”等单维层次概念的比较，对数学化、逻辑化程度较高的概念，如“完全匹配、读的不是书”还不能理解。中班儿童在数字/计数上的表现较小班儿童有了显著提升，例如，在数字概念上，除了较大数字理解的正确率较低之外（例如“95”、“53”、“41”），已经能够完全理解数字和符号；但是在比较和量/大小概念上的表现依然不佳。而到了大班，对数量概念的理解正确率为 100%，其他各维度的概念的理解正确率也都在 90%左右。从儿童在概念具体内容上的整体表现，以及不同年龄班在各个具体概念内容上的表现来看，概念的“数学专业化”、“概念的逻辑化”程度是影响儿童概念理解的主要因素，例如，数学专业化的表

58、现为数量上的增加“数字95,47”，概念逻辑性表现为“哪两个盒子是不一样的？”等，这一结果也从数学概念的角度解释了，专业的数学词汇、数学概念成为儿童数学学习的困难和挑战的原因之一（Azlina, Siti & Roziati.,2004）。除了“概念的抽象程度”影响之外，概念的表现形式与儿童对概念的熟悉程度，也是影响儿童理解能力的重要因素之一，例如，在数量概念上，无论哪个年龄班，儿童对“一头熊、三朵花”的理解正确率高达 95%以上，但即使到了大班，也有儿童在“六只鸭子、九只蜜蜂”的点数上面出现错误，这一结果也说明了物品的数量与排列方式也是儿童数字概念的影响因素之一(郭龙丹,黄瑾,2016)。此

59、外，儿童对概念的熟悉程度也是影响其理解正确率的主要原因，例如，在量的概念理解上，无论是哪个年龄段儿童都能够准确理解 “最大、最小、最长、最短、最宽、最细”等几个概念，但是对“深浅、疏密”理解正确率较低，这可能是由于儿童的具体形象性的思维方式有关，一方面，儿童大小、长短、宽细是儿童能够直觉感知到的物体属性(黄瑾,2016)，而深浅相对于具体的物品来说，更具抽象性，因此儿童对其的理解能力就相对较弱；另一方面，儿童早期数学认知的学习经验最早是来源于日常生活的(周欣,赵振国,陈淑华,2009)，儿童对物品的熟悉程度也是儿童概念理解的重要因素之一，而深浅、疏密并不是熟悉物品的主要属性，因此对其概念的理解能力也偏弱。关于不同年龄班儿童在概念理解上的整体表现的结果显示，