随机变量分布函数

1、关于随机变量的分布函数第一张，PPT共四十五页，创作于2022年6月 问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？X是随机变量, x是参变量.F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.第二张，PPT共四十五页，创作于2022年6月 由定义，对任意实数 x1x2，随机点落在区间（ x1 , x2 的概率为：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.第三张，PPT共四十五页，创作于2022年6月 分布函数是一个普通的函数，正是通

2、过它，我们可以用数学分析的工具来研究 随机变量.第四张，PPT共四十五页，创作于2022年6月二、离散型 r.v的分布函数设离散型r.vX 的概率分布列是P X=xk = pk , k =1,2,3,则 F(x) = P(X x) = 由于F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和，故又称 F(x) 为累积概率函数.第五张，PPT共四十五页，创作于2022年6月当 x0 时， X x = ， 故 F(x) =0例1.，求 F(x).当 0 x 1 时， F(x) = P(X x) = P(X=0) =F(x) = P(X x)解:X 0 1 2 P第六张，PPT共四十五页，创作于2022年

3、6月当 1 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =当 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1例1.，求 F(x).F(x) = P(X x)解:X 0 1 2 P第七张，PPT共四十五页，创作于2022年6月故注意右连续下面我们从图形上来看一下.第八张，PPT共四十五页，创作于2022年6月概率函数图分布函数图画 分布函数图X 0 1 2 P第九张，PPT共四十五页，创作于2022年6月 不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X

4、=2).第十张，PPT共四十五页，创作于2022年6月三、分布函数的性质(3) F(x) 非降，即若 x1x2，则F(x1) F(x2) ;(2) F( ) = F(x) = 0 (4) F(x) 右连续，即 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.F( ) = F(x) = 1(1) 0F(x)1, x+;第十一张，PPT共四十五页，创作于2022年6月试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.例2. 设有函数 F(x) 注意到函数 F(x)在 上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能

5、是分布函数.不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的分布函数.或者解：第十二张，PPT共四十五页，创作于2022年6月P66定理3.2.1 例3.3.2 一个班有100名学生其中20岁的 有30人，21岁的有40人，22岁的有30人。现从班上任意挑选一名学生，是学生的的年龄，求 的分布函数第十三张，PPT共四十五页，创作于2022年6月例3.2.3 在ABC中任取一点，设为该点到底边AB 的距离。又已知AB上的高位h，求的分布函数F(x)及F(x)的导数，并画出F(x)的图像。第十四张，PPT共四十五页，创作于2022年6月例3.2.4 设是某台仪器从时刻零开始持续工作的时间。假设在

6、时刻t以前没有损坏，而在时间间隔（t，t+t）中损坏的条件概率为 求 的分布函数为。第十五张，PPT共四十五页，创作于2022年6月3.4 连续型随机变量 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.第十六张，PPT共四十五页，创作于2022年6月. 连续型随机变量、概率密度定义 设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在一个非负的函数f(x),对任何实数x，有 ，则称X为连续型随机变量，同时称f(x)为X的概

7、率密度函数，简称概率密度。 f (x)xoy第十七张，PPT共四十五页，创作于2022年6月由定义知：1. 连续型随机变量的分布函数F(x) 是连续函数.2. 对f(x)的连续点，有 由此 F(x)与f(x)可以互推。第十八张，PPT共四十五页，创作于2022年6月概率密度函数的性质1.2.这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.o f (x)xy第十九张，PPT共四十五页，创作于2022年6月3 f (x)xoyx1x2第二十张，PPT共四十五页，创作于2022年6月 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的

8、极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度. 若x是 f(x)的连续点，则：=f(x)4. 对 f(x)的进一步理解:P79中第二十一张，PPT共四十五页，创作于2022年6月 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. f (x)xo第二十二张，PPT共四十五页，创作于2022年6月若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 .在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.第二十三张

9、，PPT共四十五页，创作于2022年6月连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因为需要指出的是:由于连续型随机变量的分布函数是连续函数， 从而P( X = a )=0. 第二十四张，PPT共四十五页，创作于2022年6月 P( X = a )=0的充分必要条件是F( x )是连续函数。任意aR。由此得，1) 对连续型 r.v X,有第二十五张，PPT共四十五页，创作于2022年6月2) 由P(X=a)=0 可推知而 X=a 并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0, 不能推出由P(B)=1, 不能推出 B=S第二十六张，PPT共

10、四十五页，创作于2022年6月下面给出几个r.v的例子. 由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v的概率规律就得到了全面描述. f (x)xo第二十七张，PPT共四十五页，创作于2022年6月解：例1. 设r.v X 的密度函数为 f (x)求 (1) A , (2) F(x) , (3)（1）由性质2， A=2.第二十八张，PPT共四十五页，创作于2022年6月对x 1， F (x) = 1求 F(x).解：F(x) = P(X x) = (2)第二十九张，PPT共四十五页，创作于2022年6月即(3). 第三十张，PPT共四十五页，创作于2022

11、年6月大家一起来作下面的练习.求 F(x).例2 设由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.第三十一张，PPT共四十五页，创作于2022年6月=01F(x)第三十二张，PPT共四十五页，创作于2022年6月对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出 f (x)，请看下例.即第三十三张，PPT共四十五页，创作于2022年6月例3 设r.vX的分布函数为(1) 求X取值在区间 (0.3,0.7)的概率； (2) 求X的概率密度.解: (1) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4 (2) f(x)=注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被

12、积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 没意义的点处，任意规定 的值.第三十四张，PPT共四十五页，创作于2022年6月几种重要的连续型随机变量均匀分布（1）若 r.vX的概率密度为：则称X服从区间 a, b 上的均匀分布，记作：X U(a, b)第三十五张，PPT共四十五页，创作于2022年6月它的实际背景是： r.v X 取值在区间a, b 上，并且取值在a, b中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则 X 具有a,b上的均匀分布.分布函数为: f(x)0, 满足概率密度性质。 第三十六张，PPT共四十五页，创作于2022年6月若XU a, b, (x1, x2)为a,

13、b的任意子区间，则 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；第三十七张，PPT共四十五页，创作于2022年6月例4. 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.解：依题意， X U ( 0, 30 ) 以7:00为起点0，以分为单位第三十八张，PPT共四十五页，创作于2022年6月 为使候车时间X少于

14、 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.所求概率为：从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.第三十九张，PPT共四十五页，创作于2022年6月例5. 设K在0，5上服从均匀分布， 求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率。解： KU0，5， 有实根等价于0，即 16K216（K+2）0， K1，or K2故方程有实根的概率为：P( K1) +P( K2) =第四十张，PPT共四十五页，创作于2022年6月 区间( 0, 1)上的均匀分布U(0,1)在计算机模拟中起着重要的作用. 实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从 ( 0, 1)上均匀分布的随机数. 它是由一种迭代过程产生的. 严格地说，计算机中产生的U (0,1) 随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为伪随机数.第四十一张，PPT共四十五页，创作于2022年6月 如取n足够大，独立产生n个U(0,1)随机数，则从用这 n 个数字画出的频率直方图就可