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1、 第四节 二次型定义4.1设 是一个n维向量, 是n阶对称矩阵, n元函数 称为二次型, A称为二次型的系数矩阵. 例1计算二次型 解: 例2写出 形式的二次型. 解: 定义4.2只含平方项 没有交叉项的二次型 称为标准型即 对称矩阵A , 存在正交矩阵P, 是A的特征值. 定理4.1A是n阶对称矩阵,则存在一个正交变换 将二次型 变换为 标准型 例3将二次型 变换为标准型. 解: 标准特征向量 标准特征向量 例3将二次型 变换为标准型. 解: 令 P可将A对角化, 作正交变换 得标准型是正交矩阵，几何意义设A是二阶可逆对称矩阵， c是一个常数则 表示平面上的一条圆锥曲线，如：椭圆双曲线当A是

2、对角矩阵时， 是在标准位置下的圆锥曲线A不是对角矩阵， (例3)椭圆通过正交变换，找到主轴向量在坐标系 下，椭圆方程是例3将二次型 变换为标准型. 解: 作可逆变换 得标准型得标准型二次型的分类二次型 是一个n元实值函数, 对定义域中 每个点 可求出函数值 例4判断下列二次型函数值的正负情况. 解: 有时正， 有时负. 定义4.3一个二次型Q是: 正定的, 如果对所有 有 负定的, 如果对所有 有 不定的, 如果既有正值,又有负值. 定理4.2(二次型与特征值) 设A是n阶对称矩阵,则二次型是：正定的, 当且仅当A的所有特征值是正数, 负定的, 当且仅当A的所有特征值是负数, 不定的, 当且仅当A既有正特征值,又有正特征值. 证: 由定理4.1, 存在正交变换 使 是A的特征值. 的符号由特征值符号决定. 例5二次型是正定的吗？解: 特征值 正定的. 定理4.3A是n阶对称矩阵,二次型是

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