《线性代数》第一章行列式习题及解答

1、第一章行列式1.1目的要求会求n元排列的逆序数；会用対角线法则计算2阶和3阶行列式；深入领会行列式的定义：掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式：灵活掌握行列式按（列）展开；理解代数余字式的定义及性质；会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解.1.2重要公式和结论1.2.111阶行列式的定义工（T）叽（円肥Hr）尙1211阶行列式D=-1-aitlan2其中PEP,是n个数12.11的一个排列,t是此排列的逆序数，E表示对所有n元排列求和，故共有n!项.12.2行列式的性质行列式和它的转置行列式相等；行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；行列式

2、中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等用该数乘此行列式的任意一行（列）；行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；若行列式的某一行（列）的元素都是两数Z和，则此行列式等于两个行列式之和，%】ai2+bi2%+binailai2仏监把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）対应的元素上去，行列式的值不变.1.2.3行列式按行（列）展开Di=j0ijDi=j0ij设D为n阶行列式，则有X讥Ajk=aHAJi+ClJ2+a沏人加=l2x2+-+allxll=bn的系数行列式DHO,则方程组有唯一解“=纽（尸1,2,，n）,其中。是D中第1D列尤素（即兀

3、的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式.如果线性齐次方程组&內+d才q+”=021x1+22x2+-+a2nxn=0厲內+a心耳+%=0的系数行列式DHO,则方程组只有唯一零解.若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0.1-2.5一些常用的行列式%.几，D)=,则%虬.bmt3范德蒙行列式_/r-laiCl.an上、卜三角形行列式等J：主对角线上的元素的积.%0akk55k%瓦55bnlbnn511Ch11.2.6计算行列式的常用方法1.利用对角线法则计算行列式,它只适用于2、3阶行列式;利用n阶行列式定义计算行列式;利用行列式的性质化三角形法计算行列式;利用行列式按某一行(列)展开

4、定理计算行列式;利用数学归纳法计算行列式；利用递推公式计算行列式；利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式;8利用加边法计算行列式；9.综合运用上述方法计算行列式.13例题分析例1.1排列14536287的逆序数为()(A)8(B)7(C)10(D)9解在排列14536287中，1排在首位,逆序数为0；4、5、6、8各数的前面没有比它们自身人的数，故这四个数的逆序数为0；3的前面比它人的数有2个(4、5),故逆序数为厶2的前而比它人的数有4个(4、5、3、6),故逆序数为4；7的前面比它大的数有1个(8),故逆序数为1:丁是这个排列的逆序数为t=0+0+2+4+l=7,故正确答案为(B).例12

5、下列排列中()是偶排列.(A)54312(B)51432(C)45312(D)654321解按照例1的方法计算知:排列54312的逆序数为9；排列51432的逆序数为7：排列45312的逆序数为8；排列654321的逆序数为15；故正确答案为(C).例1.3卜列各项中，为某五阶行列式中带正号的项是().(A)a/#仏(B)a2la52a4lal5a54(C)azla25a4ial4a52(D)ai5aa22a44a5Z解由行列式的定义知，每一项应取自不同行不同列的五个元素之积，因此(A).(E)不是五阶行列式的项，但(C)应取负号，故正确答案为(D).201311例1.4行列式卩=02-10,

6、2=232102153(A)2,-1(E)1,-1(C)o,2,若D,=D2.则的取值为()(D)0J解按三阶行列式的对角线法则得卩=(/1+1)(21几2=若P=则(2+1)(2-1)2=0,V是久=1厂1,故正确答案为(E).+x2+x3=1例1.5方程组xY+Ax2+x3=1有唯一解，则().比+x2+生=1(A)兄工一1且2-2(B)A/1且免工一2(C)21且几H2(D)7、丰一1且22解由克拉默法则知，当所给非齐次线性方程组的系数行列式不等J：0时，该方程组有唯一解，J：是令行列式TOC o 1-5 h z211121=(2+久)(/1一1)2工011A即21且久北2,故正确答案为

7、(B).例1.6).20062008D=20042006分析刈丁2、3阶行列式的计算，元素的数值较小时，可以直接采用对角线法则进行计算：但元素的数值较人时，一般不宜直接采用对角线法则进行计算，而是用行列式的性质进行计算.解此题是一个2阶行列式，虽然可以直接用对角线法则计算，但因数值较人，计算较繁，因此要仔细观察分析，用行列式的性质求解.“2006200811-220042006|-220082006-2u+1003c.-22=4,0故答案为4.例1712D=343441=(12123).分析如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行人提取第一列（行）的公因子

8、（简称列（行）加法）.解这个行列式的特点是各列4个数的和为10,12342341101010101111111123412341012-13412=103412=1001-2-1412341230-3-2-1各行加到第一行，得是,34124123=101000110012-401-10-4=160.例1.8设/（X）=2x1312-11则*的系数为（),的系数为).分析此类确定系数的题目,首先是利用行列式的定义进行计算.如果用定义比较麻烦时，再考虑用行列式的计算方法进行计算.解从/（X）的表达式和行列式的定义可知，当且仅当/（X）的主对角线的4个元素的积才能得出其系数显然是2当第一行取a13（

9、=1）或（=2）,则含即或的行列式的项中是不出现亍，含钮（=2x）的行列式的项中是不出现J：是含疋的项只能是含ai2,a2l,cin,的积，故的系数为一11234511122例1.9设D=321462221143210(2)+A35=(）,故答案为2,-1.,则(1)A31+a32+a33=(),（3）+人巧+人厶+人55=（）分析此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构充分利用按行（列）展开的计算方法來进行技巧计算.1234511122解人31+人32+人33+2(34+35)=124即(人31+人3二+人33)+2(34+人35)=122=0(第2,3行和同)

10、2113210同理2(A31+Ai2+九3)+(九4+人5)=112131码+錢+A3+码+=321222111故答案为0,0,0.00010020例1.10D=020050020060000000J是+32+人33=0，人34+35=。4512345221112246+厂232146=01133333111111100002007分析当行列式中有较多零元素时,一般可以采用行列式的定义或按行（列）展开来计算.解此行列式刚好只有n个非零元素心卫Cln-lann9故非零项只有_项:（7叽心认验其中uH）(2007-1)(2007-2)因此P=(-l)2007!=2007!此题也可以按行（列）展开來

11、计算.例1.11计算n阶行列式12上，得解法1（行（列）加法）H+11111111H+12111211D产77+1121=(“+1)1121人一心，（7=2,3,）77+11121112因为这个行列式的每一行的n个元素的和都为n+1,所以将第23/-,n列都加到第一列=77+1解法2（加边法）11110211012100112111121-1-11100101010011000-10001解法3（利用行列式的性质）/7+10000001000100012112D”=l111121111000100012-1-1-1111121一厶(7=2,3,/)111100010=+100011+旺儿1+呂

12、儿1+兀儿例1.12计算2=1+冷儿l+x2y21+心儿1+兀儿1+心儿解当d=2时,1+XJ1+51+心1+耳儿1+乜当心3时,=0.(x2-xjy2（兀一人）儿例1.13计算+勺XLx2az0000D产000一Xn-200000_兀Ll其中x；工0(/工1,2,/)解因)=+X=+X=兀(1+),a2呂兀2（1+鱼+刍Xx2归纳推得D”=XXr心（1-+）X兀用数学归纳法证明上式，假设当*=山1时结论成立，即D-=A；耳（1+）.X】兀-1则当k=n时，将D”按第n列展开，得D”=XnDn-l+（一1）an（-兀）（-兀2）（一心_2）（-心_J二兀心+（1）”“（1广乜內兀兀lNt=01

13、+X內兀7兀_兀=X】兀心（1+丄）&X兀即当k=n时结论也成立，故对一切自然数结论都成立.11.1例1.14计算222.22=332.3”n矿n11解（利用范德蒙行列式计算）Dn=n=n(2-1)(3_1)(一1)(3-2)(4_2)(_2)_(/?-1)=川(一1)!(一2)!2!a00aa+p00aa+ft000000+000aa+pP0aa+p000000000a+pa000a+pa0000a+p0000a+p解按第一列把6分成两个行列式的和2=例1.15计算Dn=ag+0=aD“+0p00aa+p00aa+p000000+aP0aa+pP0aa+p000000000a+pa000a+

14、pa0000a+p0000a+p2=PD/?-i(a)当a丰卩时，由(1)(2)得庞寫+0=0卩1+/,则pn-l(2)a-p是脣帀务(b)当a=p时，由(1)得Dn=+alx=(“+l)a,1.例1.16设cibc0,证明:ab+be+cabebb2cac2erbc2=(ab+be+ca)abc111erber=(ab+bc+cci)(c一a)(c一b)(b一a)是，不等式的左边=(c一a)(c-b)(b一a)由于abc0,从而(c一a)0,(c-b)0,(b-a)bc0时,ab+be+caa2bebb2cac2=12x3+，求g(x).02&=sf=l轨nlW陥(x)111,试证：存在（0

15、,1）,使得g）=0.x-33x2-51-3?2x2-13/-17/-117证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零.18.设兀）冒是互异的实数,证明:111xyz=0的充要条件是x+y+z=0.x3/疋1-51319设岡=；，计算九+码的值，其中九（心1,2,3,4）是|4|的代数余子式.Xi+2x2-x3=220.利用克莱默法则求解方程组為一2x2+2“=3.I2石-x2+x3=3x3x21321xsinx221.求极限limgo123Sillxcosx1011第一章参考答案1.4独立作业1.4.1基础训练1.(C)2.(B)3(C)4.(A)5.(B)6.4251709262519092425

16、1200070922000=2000 x425170921=5682000.11b8.解i4n+A2l+A31=1ci1bc=0,故答案为09.解因为在此行列式的展开式中，含有疋的只有主对角线上的元素的积，故答案为-210.解由范德蒙行列式得行列式的值为288916149161491611.491691625162536253649791191113=0.12.xyQx0y_y00y-x0 x0yxQy0 xJ.xyyxyXX13.10300021001-1000000200001-2103002101-1000002=-4x1-100-1-3=-4x-1-3=201xyz1xyz114.解1

17、yu=0y-x-z(y-x)=()_x)(z_x)L1Zxy0z_x-y(z-x)=(x-y)(y-z)(zx)15.16.解5300023000330002530025300053000253002530+02530002530025300253000250002500025解=25+3=665*b2b、-15000a20000-ci20017.解D”=0-a200=(-l)fX000000an000一呂+?1D+儿心+?1兀4+.V1為+儿“2+儿心+儿兀+儿呂+儿无+儿心+儿儿+儿兀+儿心+儿厲+儿X+儿+儿心+儿厲+儿兀+Ji儿一儿儿一儿儿一儿儿一儿儿儿儿一儿儿一儿儿Ji儿儿儿一儿儿一儿儿-儿=0%*bn-20-+anx0-a200=ala2-an+allDll_ia%】18.解01111111X,00/=!10X0010X.000 x20100Xn000兀D=由第八心12/）列的-丄倍加到第一列上去.兀一牡7（牙）11+1111+XX1XLX111+兀111x200111+心110心0111l+x410019.解-xi1+2+玉+巴心x3x4000 x200=xkx2x5x4+x2xx4+xxx4+xYx2x4+xx2x20.解-100=_2(_2)!211/7+11111121.解Dn=12.1n+l21=(”+1)12111.2”+