2022年二用数学归纳法证明不等式

1、第四节数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式（其次讲）导学案 一、 学问回忆 关于正整数 n 的命题 相当于多米诺骨牌 , 我们可以采纳下面方法来证明其正确性：1 0. 验证 n 取 时命题 即 n n 时命题成立 归纳奠基）；2 0. 假设当 时命题成立,证明当 n=k1 时命题 归纳递推） . 30. 由 1 0、20 知,对于一切 n n 的自然数 n 命题！结论）要诀 : 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 .二、 新知探究 ：.探究：用数学归纳法证明不等式sinnnsin.nN例 1 证明贝努力（ Bernoulli）不等式：假如 x 是实数, 且 x 1,且 x 0,n N*

2、,n2求证： 1+xn1+nx.例 2 证明 : 假如n n 为正整数 个正数a1,a 2,a 的乘积a a 1 2a n1, 那么它们的和a 1a 2a n .三、 巩固训练 ：1. 证明 :111121nN n2.2 232n2n2. 当n2时, 求证:1111n23n四、 课后作业与训练 ：1、已知 fn=2n+73n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使 m 整除 fn,就最大的m 的值为 13 2,1B.26 5 3,C.36 117D.6 A.30 2、.观看以下式子：11111 2 22222 32 3424 就可归纳出 _ 15 6_. N3、求证：n11n12n2,n3n

3、4、已知,S n1111,nN, 用数学归纳法证明：23nS 2 n1nn2 , nNn2nN*25、.求证：用数学归纳法证明n 22参考答案 : 1. 关于正整数n 的命题 相当于多米诺骨牌, 我们可以采纳下面方法来证明其正确性：1 0. 验证 n 取第一个值时命题成立 即 n n 时命题成立 归纳奠基）；2 0. 假设当 n=k 时命题成立,证明当n=k1 时命题也成立 归纳递推） .30. 由 1 0、20 知,对于一切 n n 的自然数 n 命题都成立！ 结论）要诀 : 递推基础 不行少 , 归纳假设 要用到 , 结论写明 莫忘掉 .探究当n1时, 上式左边 sin右边 , 不等式成立

4、 . ksin. 设当nk k 1时, 不等式成立 , 即有 sink那么 , 当nk1时, sink1= 例 1证明 :1当 n=2 时,左 1x2=1+2x+x2 x 0, 1+2x+x21+2x=右,n=2 时不等式成立（2）假设 n=kk2时,不等式成立,即 1+xk1+kx当 n=k+1 时,由于 x 1 ,所以 1+x0,于是左边 =1+xk+1 右边 =1+k+1x1. 由于 kx2 0,所以左边右边,即1+xk+11+k+1x这就是说,原不等式当n=k+1 时也成立依据 1和2,原不等式对任何不小于2 的自然数 n 都成立 .例 2 证明 : 当n1时, 有a 11,命题成立

5、. 设当 n kk 时,命题成立,即如k 个正数a a , , , k a 的乘积aa 1 2a k1, 那么它们的和a 1a 2a kk. 那么当nk1时, 已知k1个正数a a2,a k,ak1满意a a2a ak1如k1个正数a a2,a k,a k1都相等 , 就它们都是1. 其和为k1, 命题成立 . 如这k1个正数a1,a2,ak,ak1不全相等 , 就其中必有大于1 的数 , 也有小于 1 的数 否就与a a2a ak11冲突 . 不妨设a 11,a 21.3 , 由于5 43故不等式成立 . 课堂练习 1 证:1 当 n=1 时, 左边 =115 , 右边 =212242222

6、假设 n=k kN k2时命题成立 ,即111121.2 232k2k就当 n=k+1 时, 1111k122112232k21kk1221k1122111211k112k11.kkk kkk即当 n=k+1 时, 命题成立 . 由1、2原不等式对一切nN n2都成立 . n2时,不等式成立2（1） 当n2时,左式1112172右式当22（ ）假设当 nk2 时,不等式成立,即1111k23kk1就当nk1 时,左式11111123kkk1k k11k k1k1k1右式k1k1k1当nk1 时,不等式成立；由（ ）（2）可知,对一切nN,且n2,不等式都成立；课后作业与训练1解析： f1=36

7、,f2=108=336,f3=360=10 36 f1,f2,f3 能被 36 整除,猜想 fn 能被 36 整除 . 证明： n=1,2 时,由上得证,设 n=kk 2时,fk=2k+7 3 k+9 能被 36 整除,就 n=k+1 时,fk+1 fk=2k+9 3 k+12k+7 3 k=6k+27 3k2k+7 3 kk 2k=36k+5 3 k2=4k+20 3fk+1 能被 36 整除f1 不能被大于36 的数整除, 所求最大的m值等于 36. 答案： C 1k152、解析：113即 1 112211112221 1115, 即 1 112212222112232311归纳为111n

8、122 n1nN* 22321n1答案:111n122n1nN* 22321 n13. 解析:a 23 a 13313235同理,2a 11732a 33a233335,a 43435,a53535,猜想ann35a28910答案:3、3 、83 、93n35710111153证明：（ 1）当 n=2 时,右边 =34566 ,不等式成立（2）假设当nk k2,kN*时命题成立,即k11k23 k6就当nk1时,1111111k11k123 k3 k13 k23 kk11k121113 k121113 k3 k3 k35113 k1213k1 163 k3 k5131313k1163 k3 k

9、3 k5313k1 15.63 k6所以就当nk1时,不等式也成立n2,n* N 均成立由（ 1）,（ 2）可知,原不等式对一切4. 证明：（1）当 n=2 时,S 22111111312,命题成立1k234122（2）假设当nk k2,kN*时命题成立,即S 2 k1111232k2就当nk1时,S 2 k11111k 211k 21221123k 2k1k2112k12111k11211112kk 222kkk 2,N*都成立1kk 22111k11k21.2k22所以就当nk1时,不等式也成立由（ 1）,（2）可知,原不等式对一切n2,n* N 均成立5、证明：（ 1） 当 n=1 时,1 222 1 ,不等式成立；当 n=2 时,2 222 2 ,不等式成立；当 n=3 时,2322 3 ,不