新教材北师大版高中数学必修二全册期末复习知识点梳理

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档 1 任意角与弧度制【知识梳理】一、角的概念(1)角的概念角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形角的表示：如图AOB中，O表示顶点，OA表示始边，OB表示终边(2)在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角，旋转生成的角，又常叫做转角引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以化为()，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和二、象限

2、角平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，这时角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限角第一象限角：|k360k36090，kZ；第二象限角：|k36090k360180，kZ；第三象限角：|k360180k360270，kZ；第四象限角：|k36090k360，kZ三、终边相同的角设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为S|k360，kZ四、角的度量单位角的度量角度制弧度制规定周角的eq f(1,360)为1度的角，用度作为单位来度量角称为角度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角它的单位符号

3、为rad，读作弧度换算3602 rad180 rad(eq f(180,)57.3057181 rad1eq f(,180) rad0.017 45rad五、弧度数的计算六、一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系度0130456090弧度0eq f(,180)eq f(,6)eq f(,4)eq f(,3)eq f(,2)度120135150180270360弧度eq f(2,3)eq f(3,4)eq f(5,6)eq f(3,2)2七、扇形弧长公式及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，为其圆心角，则度量单位类别为角度制为弧度制扇形的弧长leq f(|n|r,180)l|r扇形的面积Seq f

4、(|n|r2,360)Seq f(1,2)lreq f(1,2)|r2 2 单位圆与诱导公式【知识梳理】sin cos -sin cos -sin cos sin -cos -sin -cos cos -sin cos sin 正弦、余弦函数的诱导公式二、诱导公式的记忆方法(1)“变”与“不变”是指互余的两个角的三角函数名改变. 三、应用诱导公式求三角函数值的过程上述过程可称为“负化正,大化小,化至锐角再求值”,充分体现了化未知为已知的数学思想.精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档 3 正弦、余弦函数图像与性质【知识梳理】一、五点法画正弦函数的图像正弦函数y=sinx，x0，2的图象中

5、，五个关键点是： (0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)二、利用单位圆中正弦线描点画出正弦函数在 0，2上的图像三、正弦函数的性质（1）定义域：R（2）值域：1，1当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1（3）周期性正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2奇偶性 ysinx为奇函数（5）单调性正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.四、余弦函数的图像由能得到余弦函数的图像余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移个单位长度而得到五

6、、五点法画余弦函数的图像余弦函数y=cosx，x0，2的图象中，五个关键点是： (0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)六、余弦函数的性质（1）定义域：R（2）值域：1，1当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1（3）周期性余弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小余周期是2（4）奇偶性 ycosx为偶函数（5）单调性余弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档4 正切函数图像与性质【知识梳理】一、正

7、切函数的定义 根据函数的定义，比值 是角 的函数，我们把它叫作角 的正切函数，记作二、正切函数的图象与性质(1)图象：如图所示正切函数ytanx的图象叫做_正切曲线_.(2)性质：如下表所示.函数性质ytanx定义域eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(x_f(,2)k_，kZ)值域R周期_奇偶性_奇函数_单调性增区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k，f(,2)k)(kZ)减区间无三、正切函数的诱导公式tan(k)tan (kZ) tan()tan tan()tan tan()tan taneq blc(rc)(avs4alco1(f

8、(,2)eq f(1,tan ) taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(1,tan )精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档1 平面向量的概念及其线性运算【知识梳理】一、向量的概念及其表示(1)向量的概念：既有大小，又有方向的量(2)向量的表示：有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作eq o(AB,sup6()，线段AB的长度也叫作有向线段eq o(AB,sup6()的长度，记作|eq o(AB,sup6()|.向量的表示(3)向量的模：|eq o(AB,sup6()|(或|a|)表示向量eq o(AB,sup6()的

9、大小，即长度(也称模)二、四种重要的向量(1)长度为零的向量叫作零向量，记作0或eq o(0,sup6() ，它的方向与任一向量平行(2)与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0.(3)长度相等且方向相同的向量叫作相等向量，向量a与b相等，记作ab.规定所有的零向量相等(4)如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这些向量平行或共线，a与b平行或共线，记作ab.三、向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示： 规定：零向量与任一向量，都有 说明：共线向量的加法： 不共线向量的加法：如图（1），已知向量，求作向量.作法：在平面内任取一点（如图（2）

10、，作，则 . （1） （2）四、向量加法的法则（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 表示：（2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则 则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行 四边形法则。 五、向量的加法运算律交换律：结合律：相反向量与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。 说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。 （2）性质：；七、向量的减法求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示八、向量减法的法则 已知如图有，求作（1）三角形法则：在平面内任取一点，作，则说明：可以表示为从的终点指向

11、的终点的向量（，有共同起点）（2）平行四边形：在平面内任取一点，作 ，则 精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档2平面向量基本定理应用【知识梳理】平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使，其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。(1) 我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底，的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一，是被，唯一确定的数量二、平面向量基本定理唯一性设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1ay1

12、bx2ay2b，则精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档3 平面向量的数量积【知识梳理】1两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq o(OA,sup14()a，eq o(OB,sup14()b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角(2)特例：当0时，向量a，b同向当时，向量a，b反向当eq f(,2)时，向量a，b垂直，记作ab.2平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.3投影向量设a，b是两个非零向量，

13、eq o(AB,sup14()a，eq o(CD,sup14()b，过eq o(AB,sup14()的起点A和终点B，分别作eq o(CD,sup14()所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq o(A1B1,sup14()，这种变换为向量a向向量b投影，eq o(A1B1,sup14()叫做向量a在向量b上的投影向量4.平面向量的运算性质： （2）.0 * *，（0） 5向量数量积的运算律(1)abba. (2)(a)b(ab)a(b) (3)(ab)cacbc.6.平面两向量数量积的坐标表示（1）设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j

14、， 则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 0（2）推导坐标公式： a = x1i + y1j, b = x2i + y2j ab = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2 = x1x2 + y1y2从而获得公式：ab = x1x2 + y1y2（3）长度、角度、垂直的坐标表示 1a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| = 2若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则= 3 cos = 4ab ab = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原

15、则）精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档4 平面向量的垂直平行【知识梳理】一、向量共线的判定定理和性质定理1、判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线2、性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得ba.3、若，则.二、拓展（1）.（2）若，则.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便.（3）两向量相等它们的对应坐标相等.三、 平面向量垂直的坐标形式若向量，则四、平面向量垂直的非坐标形式若向量为两个非零向量，则精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档正弦定理余弦定理在解三角形中的应用【知识梳理】知识要点正弦定理，余弦定理

16、是重要知识点，也是考试常考必考内容，作为概念性知识点，首先介绍定理内容：正弦定理概述：已知三边长分别为，外接圆半径为,则有. 余弦定理概述：已知三边长分别为，外接圆半径为,则有其次介绍定理的应用领域：已知三角形两角与一边，解三角形；已知三角形的两边与其中一边所对的角，解三角形；应用a:b:c=sinA:sinB:sinC.公式的变形应用，如 5.三角形的解的个数讨论情况：精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第四章 三角恒等变换一同角三角函数的基本关系基本关系基本关系式平方关系sin2+cos2=1商数关系sincos=tank+2,kZ二、两角差的余弦公式公式cos()cos cos

17、sin sin 简记符号C()使用条件，为任意角三、两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R两角和的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R四、两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦公式S()sin()sin cos cos sin ，R两角差的正弦公式S()sin()sin cos cos sin ，R五、两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切公式tan()eq f(tan tan ,1tan tan )T()，keq f(,2)(kZ)两角差的正切公式tan() eq

18、 f(tan tan ,1tan tan )T()，keq f(,2)(kZ)六、二倍角公式三角函数公式简记正弦sin 22sin cos S2余弦cos 2cos2sin22cos2112sin2C2正切tan 2eq f(2tan ,1tan2)T2七、半角公式sineq f(,2)eq r(f(1cos ,2)，coseq f(,2)eq r(f(1cos ,2)，taneq f(,2)eq r(f(1cos ,1cos )eq f(sin ,1cos )eq f(1cos ,sin ).八、辅助角公式asin xbcos xeq r(a2b2)sin(x).eq blc(rc)(avs

19、4alco1(其中tan f(b,a)精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第五章 复数知识点1 复数1.概念：形如(a，bR)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，bR)2.复数的分类对于复数【a，b】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b0时，它叫做虚数，当a0且b0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R,是复数集C的真子集，即.3.复数相等的充要条件在复数集C=中任取两个数，【a，b，c，dR】，规定：与相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。4

20、.对于复数的定义要注意以下几点：(a，bR)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式（2）分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数?b0abi为虚数?b0abi为纯虚数?a0且b05.复数的模定义：向量eq o(OZ,sup6()的模叫做复数zabi(a，bR)的模或绝对值.记法：复数zabi的模记为|z|或|abi|.公式：|z|abi|eq r(a2b2).6.共轭复数定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.表示：z的共轭复数用eq xto(z)表示，即若za

21、bi(a，bR)，则eq xto(z)abi.知识点2 复数的加、减运算及其几何意义复数加法与减法的运算法则1.设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则(1)z1z2(ac)(bd)i；(2)z1z2(ac)(bd)i.2.对任意z1，z2，z3C，有(1)z1z2z2z1；(2)(z1z2)z3z1(z2z3).复数加减法的几何意义如图，设复数z1，z2对应向量分别为eq o(OZ1,sup6()，eq o(OZ2,sup6()，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq o(OZ,sup6()与复数z1z2对应，向量eq o(Z2Z1,sup6()与复数z1z2对应.知

22、识点3.复数的乘、除法则复数乘法的运算法则和运算律1.复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3复数除法的法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，且cdi0)是任意两个复数，则eq f(z1,z2)eq f(abi,cdi)eq f(acbd,c2d2)eq f(bcad,c2d2)i(cdi0).知识点4.复数的三角表示三角表示及相关概

23、念一般地，任何一个复数z=a+bi,都可以表示为 r=（cos+icos）的形式其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始，向量所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角r(cos+isin)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。（2)规定：在02范围内的辐角的值为辐角的主值通常记作argz,即0argz2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到，=（cos+isin）（cos+isin） =（cos+isin）（cos+isin） =(cosco

24、s-sinsin) =cos（+）+isin（+）则 (cos+isin)(cos+isin) =cos(+)+isin(+)这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.复数除法运算的三角表示设=(cos+isin),=(cos,+isin),且.因为 (cos+isin)cos(-)+isin(-)=(cos+isin)，所以根据复数除法的定义，有，cos(-)+isin(-这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档 立体几何初步【知识梳理】

25、空间几何体的结构及其表面积、体积1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴、y轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中

26、仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l4.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底Veq f(1,3)S底h台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下Veq f(1,3)(S上S下eq r(S上S下)h球S4R2Veq f(4,3)R3平面的基本性质与推论1.平面的基本性质基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内

27、，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a3.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2).空间中的平行关系1.平行直线(1)平行公理过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.(2)基本性质4(空间平行线的传递性)平行于同一条直线的两条直线互相平行.(3)定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.2.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a，b，aba性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a，a，bab3.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的