振动和波授课课件

1、振 动 和 波12一、弹性介质和波源（机械波产生的条件）6 波的基本概念二、物体的弹性和波速6.2 波的周期性和波速一、波长、波速和频率二、纵波和横波三、 波线、波面、波前7 平面简谐波的波函数一、行波方程：右行波和左行波二、 波的能量，能流密度*三、行波动力学方程（不要求仅供参考）6.1 机械波的产生和传播3前 言声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波，它对应一种物质波。波可以是运动状态的传递而非物质的自身运动，也可以是物质本身的运动结果，甚至把波直接看作一种粒子。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，至于光波有时可以直接把它看作粒子光

2、子的运动。机械振动在弹性介质中的传播称为机械波。下面以机械波为例介绍波的一些物理概念。但它们都有类似的波动方程。46.1 机械波的产生和传播一、弹性介质和波源（机械波产生的条件）弹性介质是指由弹性力组合的连续介质。波源波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。波动（或行波)是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。弹性力： 有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。6 波的基本概念5二、纵波和横波：横波振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波振动方向与传播方向相同，如声波。三、波线、波面、波前波线（或波射线)波的传播

3、方向称之为波射线或波线。波面（或相面、波阵面）某时刻介质内振动相位相同的点组成的面 称为波面。任一波例如，水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。波前某时刻处在最前面的波面。6球面波 6.2 波的周期性和波速一、 波长、波速和频率：波长振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离是一个波长。或振动在一个周期中传播的距离，称为波长，用 表示。平面波波面波线波线波面 在各向同性均匀介质中波线与波阵面垂直。7波速单位时间某种一定的振动状态(或振动相位)所传播的距离称为波速 ，也称之相速 。频率单位时间内质点振动的次数波动的频率，等于介质中质点的振动频率。表示波在空间的周期性表示波在时间上的周期性通过

4、波速 联系起来波的周期T：波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间叫做波的周期T。8显然，这里波长远大于媒质分子间距离，即假设弹性媒质是连续的，媒质中一个波长的距离内有无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续的一样。如果波长小到等于或小于分子间距离时，相距约为一个波长的两个分子之间，不再存在其它分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时媒质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传播声波，就是由于这个原因。二、物体的弹性和波速机械波的传播速度完全取决于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和介质的密度,亦即决定于这种波在媒质中传

5、播的机构。9下面将介绍：*描述弹性的物理量弹性模量。S为棒之横截面积1、 杨氏弹性模量Y 弹性势能：为弹性系数或倔强系数。张应力张应变在弹性限度内应力与应变成正比, 比例系数称为材料的弹性模量。102 、 切变弹性模量N 切变时，单位体积的弹性势能：切应力切应变单位体积的弹性势能：113、容变弹性模量Bf 表示正压力S受力面积胁强 胁变容变弹性模量定义为：应变时，单位体积的弹性势能：体应力体应变12可以证明： 对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 T为绳索或弦线中张力;为质量线密度 细长的棒状媒质中纵波波速为Y 为媒质的杨氏弹性模量;为质量密度 各向同性均匀固体媒质横波波速N为媒质的切变弹性模量;

6、为质量密度在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。量纲!13 在液体和气体只能传播纵波， 其波速为：B为媒质的体变弹性模量; 为质量密度 理想气体纵波波速为压缩系数M为气体的质量； R为气体的摩尔常数。T为热力学温度；是气体的比热容比显然波速与温度有关。模量147 平面简谐波的波函数以横波为例说明平面简谐波的波函数。已知O点振动表达式：y表示各质点在y方向上的位移，A是振幅， 是角频率或叫圆频率， 为O点在零时刻的相位。O点运动传到 p点需用 相位落后 ，所以 p点的运动方程：一、行波方程：右行波和左行波下面要用数学表达式描述波线上每一质点在每一时刻的位移，这样的函数 称为行波的波函数。1

7、5定义 为角波数因此下述几式等价也即p点的相位落后于O点相位： 这就是右行波的波方程。相位落后 ，所以 p点的运动方程：16因此下述几式等价：17若这两处相位相同，则有：可见波速就是相位传播的速度18左行波的波函数：也即p点的相位超前于O点相位：所以 p点的运动方程，也就是左行波的波方程： p点运动传到 O 点需用时间： 19一条长线的质量线密度为 今用一水平力 将它张紧，并使其上产生横波向左传播，在t =0的波形如图所示例1：求：振幅，波长，波速和波的周期函数及质元振动 速度表达式解：20注意：质元振动速度与波传播速度的不同。21例 6.4有一平面波在均匀介质中以速度u=20m/s沿直线传播

8、，已知在传播路径上的某点A的振动方程为求：(1) 以A点为坐标原点的波动表达式。(2)以距A点5米处的B点为坐标原点的波函数。(3)B、C两点的相位差。8米5米解：(1)(2)22B点相位落后C点相位与坐标选取无关。8米5米(3)23有一行波： 质元的速度 质量为 的媒质其动能为：以棒内传播纵波为例讨论弹性势能：二、 波的能量，能流密度 媒质中单位体积中的能量 y24单位体积媒质中弹性势能等于弹性模量与应变平方乘积的一半。应变= 代入上式得在 体积内其势能为：动能为：25总机械能为：对于横波，推导过程中只需用切变模量代替杨氏模量，结果相同。定义：能量密度单位体积内的总机械能 定义：平均能量密度

9、（对时间平均)其中26*任意时刻，体元中动能与势能相等， 即动能与势能同时达到最大或极小。 即同相的随时间变化。这不同于孤 立振动系统。* 能量密度随时间周期性变化， 其周期为波动周期的一半。讨论：* 能量密度与振幅平方 、频率平方 和质量密度 均成正比。 波是能量传播的一种形式27波动的能量与振动能量是有区别的。孤立振动系统的质元动能最大时，势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量;而对于波动来说，由于媒质中各部分由弹性力彼此相联，使得振动在其中传播。任一质元总机械能随时间周期性的变化，动能最大时，势能也最大，动能为零时，势能也为零； 波是能量传播的一种形式振动28 极大 能量极小 极小波形振

10、动29对于某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程，周而复始。平均讲来，该体元的能量密度保持不变，即媒质中并不积累能量。因而它是一个能量传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能量沿波速方向传播；30能流 单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。为截面所在位置的能量密度所以，能流为：显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值 能流，能流密度设波速为 u，在 时间内通过垂直于波速截面 的能量:31在一个周期内能流的平均值称为平均能流换句话说，能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。声学中声强

11、就是上述定义之一例 平均能流能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度,通常称为能流密度或波的强度。32借助于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。 平面波和球面波的振幅证明：因为在一个周期内通过和面的能量应该相等所以,平面波振幅相等：33所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为球面波由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：34* 波的吸收实际上，波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。吸收的能量转换为媒质的内

12、能和热。因此，波的振幅要减小、波的强度将减弱，这种现象称之为吸收*三、行波动力学方程将平面波的波函数对时间和空间分别求导，可得下面寻找各种平面波所满足的方程。35左式就是波动方程。它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。因此，若 分别是它的解，则 也是它的解，即上述波动方程遵从叠加原理。波动的动力学方程36*以一维纵波为例讨论波动方程 (不要求，仅供参考）受其它部分的弹性力为 和 质元的动力学方程为： y取棒中任一小质元原长 ，质量为 实际上，这是实验事实的概括：若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。37代入运动方程得结论：任何物理量只要满足上述方程，则它一定按波的形式传播。而且对时间偏导数 前的系数的倒