大学高等数学教学课件第二章4导数的应用

1、第四节导数的应用 函数的单调性的判别学习重点函数极值及最值的确定方法曲线凹凸向的判别及拐点的确定函数的单调性 yxoabyoabx函数单调递增，则函数单调递减，则由Lagrange中值定理：于是有函数单调性的判别定理函数单调性的判别定理（1） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递增的。（2） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递减的。设函数 在 上连续，在 内可导，则例1 求函数 的单调区间解 因为令得驻点当 时，不存在列表：000 所以，函数在 及 内单调递增，在 内单调递减。续例1：求函数的单调区间的一般方法：（1）求函数的一阶导数；（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（

2、3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；（4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。 小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在的点可将单调区间分开。例5 证明不等式证明 令则所以，当 时，不等式 成立。证明：证（1） （2）函数的极值极值的概念：如果函数 在点 的某邻域内有定义，对于该邻域内任意异于 点的 ，都有 ，则称为函数的一个极小值；如果有 ，则称 为函数的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点称为函数的极值点。 由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称之为函数的极大、极小

3、值。例如-13 函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性（1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值； 如函数Y=x 在区间 1，2 内既无极大值，也无极小值。（2）可以缺少其一； 如 y=x2 在区间 -1，2 内，只有极小值。（3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数；（4）极值一定在区间内部取得。函数的极值说明极值存在的必要条件（费马定理） 如果函数 在点 处可导，且在点 处有极值，则导数为零的点称为函数的驻点。函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。函数的极值点是驻点或导数不存在的点。费马定理的逆定理不成立。极值存在的第一充分条件设函数 在点 的某个邻域内可导（

4、点 可除外）则 在点 处取得极大值；则 在点 处取得极小值；则 在点 处无极值；极小值-1/2极大值0+0_不存在+(1,+)1(0,1)0(-,0)单调增区间为(-,0)和(1,+)单调减区间为(0,1)f (0)=0为极大值；f (1)=-1/2 为极小值 o1练习解极值存在的第二充分条件例1 求函数 的极值解 因为所以，函数有驻点而所以所以，函数有极大值 ，有极小值 。 注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必须用第一充分条件判别。函数的最大值与最小值由极小值的特性，可知：极小值 最小值；极大值 最大值 已有结论：如果函数在

5、a,b上连续，则函数在该区间上一定有最大值和最小值。求函数最值的一般步骤与方法（1）求函数的导数；（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存 在的点；（3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。例2 求函数 在 上的最值。解 因为令得而所以函数 在 上的最大值是最小值是例3（应用题）某细菌群体的数量N(t)是由下列函数模型确定： 其中t是时间，以周为单位。试问细菌的群体在多少周后数量最大，其最大数量的多少？解 因为令得（舍去负值）由问题的实际意义，可知 时，细菌群体的数量最大，其数量为

6、 一般地，对于实际应用问题，如果可以判断目标函数的最值存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，则该驻点即为最值点。曲线的凹凸向及拐点 yxoabyoabx 定义 如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方，则称该曲线弧是（向上）凹的（concave)； 如果曲线弧总位于它的每一点的切线的下方，则称该曲线弧是（向上）凸的(convex)凹弧凸弧凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflection point)。 凹凸弧的判别定理定理 设函数 在区间 上具有二阶导数 ，则在该区间上：（1）当 时，曲线弧 是向上凹的；（2）当 时，曲线弧 是向上凸的。解 函数的定义域为 例1 求曲线 的凹凸区间及拐点。令

7、得列表因为所以，曲线在 及 内是向上凹的，在 内是向上凸的，有拐点 及 。解 函数的定义域为 例1 求曲线 的凹凸区间及拐点。令得因为例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。 解 因为 所以，当 时， ，当 时，所以，曲线在 内是向上凹的，在 内是向上凸的。有拐点 。 小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，是可能的拐点；这类点可能将凹凸区间分开，但不是绝对分开。如曲线 ，在 内是向上凹的，虽然但 不是拐点。微分法作图 曲线的渐近线：如果曲线 上的点M沿曲线离坐标原点无限远移时，点M与某一条直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线 的一条渐近线。 （1）若 或 则 为曲线的垂直渐近线。 （2）若 或 则 为曲线的水平渐近线。 （3）若 ，则 为曲线的斜渐近线。 微分法作图函数的微分法作图的一般步骤：（1）求出函数f(x)的定义域，确定图形的范围；（2）讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；（3）找出渐近线，确定图形的变化趋势；（4）计算函数的一阶、二阶导数，并找出使一阶或二阶导数为 零的点，及一阶或二阶导数不存在的点；（5）将上述点插入到定义域，列表讨论函数的单调性、曲线的 凹凸向，确定函数的极值和曲线的拐点；（6）适当选取一些辅助点，