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东师2020年4月线性代数（高起专）（离线考核）参考答案离线考核线性代数（高起专）满分100分一、计算及证明题（每小题20分，共100分。）1. 设向量组是线性无关的，且，证明：向量组也是线性无关的。证明：设，则有整理，得因为线性无关，所以该齐次线性方程组只有零解，即，所以线性无关。2. 对于任一矩阵，证明：及都是对称矩阵。证明：因为所以及都是对称矩阵。3. 用基础解系表示线性方程组 的全部解。解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换，有所以方程组有无穷多解，其一般解为令，得特解，其导出组的一般解为令，得，则原方程组的全部解为，为任意常数。4. 给定向量组，求：(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大无关组；(3)将其余向量用极大无关组线性表示。解：，则向量组的秩为3，为极大无关组，。5. 给定矩阵，如果能与对角矩阵相似，请求出相似对角矩阵及可逆矩阵。解：，所以的全部特征值为，对于，解齐次线性方程组，其基础解系为。对于，解齐次线性方程组，其基础解系为。对于，解齐次线性方程组，其基础解系为。，满足，

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