新高考一轮复习人教A版 7.1　基本立体图形 学案

1、PAGE PAGE 12第七章 立体几何7. 1基本立体图形1. 利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2. 知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 3. 能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图. 【教材梳理】1. 棱柱、棱锥、棱台几何体棱柱棱锥棱台图形定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多

2、面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体结构特征底面互相平行且全等；侧面都是平行四边形；侧棱都相等且互相平行底面是一个多边形；侧面都是三角形；侧面有一个公共顶点上、下底面互相平行且相似；各侧棱延长线交于一点；各侧面为梯形分类按底面多边形的边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱按侧棱与底面的关系：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，否则叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体按底面多边形的边数：三棱锥、四棱锥、五棱锥正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥按底面多边形的边数：三棱台、四棱台、五棱台正棱台：由正棱

3、锥截得的棱台2. 圆柱、圆锥、圆台、球圆柱圆锥圆台球图形定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体结构特征母线互相平行且相等，并垂直于底面轴截面是全等的矩形侧面展开图是矩形母线相交于一点轴截面是全等的等腰三角形侧面展开图是扇形母线延长线交于一点轴截面是全等的等腰梯形侧面展开图是扇环截面是圆面简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体. 其构成形式

4、主要有：由简单几何体拼接，或由简单几何体截去或挖去一部分. 3. 立体图形的直观图(1)概念：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，立体几何中通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面. 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段. 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. 画几何体的

5、直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变. 4. 简单几何体的表面积与体积(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积几何体圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l其中r，r为底面半径，l为母线长. (2)柱、锥、台、球的表面积和体积几何体名称表面积体积(S是底面积，h是高)柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底Veq f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下Veq f(1,3)(S上S下eq r(S上S下)h球(R是半径)S4R2Veq f(4

6、,3)R3【常用结论】5. 常见四棱柱及其关系6. 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积是原图形的eq f(r(2),4)倍，即S直观图eq f(r(2),4)S原图形. 7. 几个与球有关的切、接常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq r(a2b2c2)2R. (2)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Req r(3)a；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Req r(2)a. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“”. (1)

7、有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. ()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥. ()(3)侧面都是矩形的直四棱柱是长方体. ()(4)用斜二测画法画平面图形的直观图时，原图形面积S与其直观图面积S的关系为Seq f(r(2),4)S. ()(5)锥体的体积等于底面积与高之积. ()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). (教材习题改编)三棱锥的四个面中，下列说法不正确的是 ()A. 不能都是直角三角形B. 可能都是锐角三角形C. 可能都是等腰三角形D. 可能都是钝角三角形解：正方体中三棱锥AA1B1C1的各面都是直角三角形，故A不正确；正四面体，四个面中，都是等边三角形

8、，故B，C正确；三棱锥的四个面中，可能都是钝角三角形，即D正确. 故选A. 用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是 ()A B C D解：由斜二测画法知D正确. 故选D. (2021全国新高考卷)已知圆锥的底面半径为eq r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ()A. 2 B. 2eq r(2) C. 4 D. 4eq r(2)解：设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于半圆的弧长，则l2eq r(2)，解得l2eq r(2). 故选B. 考点一空间几何体的结构特征(2021海南中学期末)下列说法正确的是 ()A. 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边

9、形的多面体是棱柱B. 三棱锥的三个侧面都可以是直角三角形C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥解：对于A，如图1符合条件但却不是棱柱；对于B，在图2所示的正方体中，三棱锥B1BCD的三个侧面都是直角三角形，故B正确；对于C，如图3，其侧棱不相交于一点，故不是棱台；对于D，如图4，以直角三角形的斜边AB为轴旋转得到的是两个同底的圆锥. 故选B. 【点拨】 解决此类问题的基本方法：定义法：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系

10、或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；反例法：学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可. 【多选题】给出下列命题，其中正确的是 ()A. 圆柱的母线与它的轴可以不平行B. 圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形C. 在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线D. 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的解：结合圆柱、圆锥和圆台的结构特征可知，BD正确. 故选BD. (2020全国新高考卷卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球(球心

11、记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面. 在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为 ()A. 20 B. 40 C. 50 D. 90解：画出截面图如图所示，其中CD是赤道所在平面的截线，l是点A处的水平面的截线，依题意可知OAl. AB是晷针处所在直线，m是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得mCD，根据线面垂直的定义可得ABm. 由于AOC40，mCD，所以OAGAOC40，由于OAGGAEBAEGAE90，所以BAE

12、OAG40，也即晷针与点A处的水平面所成角为BAE40. 故选B. 【点拨】 课程标准要求考生认识柱、锥、台、球的结构特征，并能描述现实生活中的简单物体结构，高考常与数学文化结合考查，体现数学之美，也体现生活中处处有数学. (2020全国卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥. 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ()A. eq f(r(5)1,4) B. eq f(r(5)1,2)C. eq f(r(5)1,4) D. eq f(r(5)1,2)解：如图，E为CD的中点，O为正方形

13、ABCD的中心，连PO，PE，OE，则PO平面ABCD. 设CDa，PEb，则POeq r(PE2OE2)eq r(b2f(a2,4)，由题意PO2eq f(1,2)ab，即b2eq f(a2,4)eq f(1,2)ab，化简得4(eq f(b,a)22eq f(b,a)10，解得eq f(b,a)eq f(1r(5),4)(负值舍去). 故选C. 考点二空间多面体的面积、体积命题角度1空间多面体的面积(2020上海市通河中学高二月考)侧面是正三角形的正四棱锥，体积为eq f(r(2),6)，则它的全面积是_. 解：如图，PABCD为正四棱锥，设底面边长为a，过P作PGBC于G，作PO底面AB

14、CD，垂足为O，连接OG. 在RtPOG中，PGeq f(r(3),2)a，POeq r(f(3a2,4)f(a2,4)eq f(r(2),2)a，因为体积为eq f(r(2),6)，即eq f(1,3)a2eq f(r(2),2)aeq f(r(2),6)，则a1. 所以正四棱柱的全面积为4eq f(r(3),4)a2a21eq r(3). 故填1eq r(3). 【点拨】 求解多面体的表面积，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，通过建立未知量与已知量间的关系进行求解. (2020上海市宜川中学高二期中)如图1

15、所示的正方体的棱长为1，沿对角面(图中阴影部分)将其分割成两块，重新拼接成如图2所示的斜四棱柱，则所得的斜四棱柱的表面积是_. 解：由拼接规律得：斜四棱柱的上下两个底面为矩形，长为1，宽为eq r(2)；左右为两个正方形，边长为1；前后为两个平行四边形，相邻两边长为1与eq r(2)，一个内角为45，从而斜四棱柱的表面积是21eq r(2)21221eq r(2)sin4542eq r(2)，故填42eq r(2). 命题角度2空间多面体的体积如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为 ()A. eq f(r

16、(2),3) B. eq f(r(3),3) C. eq f(4,3) D. eq f(3,2)解：如图，过A，B两点分别作AM，BN垂直于EF，垂足分别为M，N，连接DM，CN，可证得DMEF，CNEF，则多面体ABCDEF分为三部分，即多面体的体积VABCDEFVAMDBNCVEAMDVFBNC. 依题意知AEFB为等腰梯形. 易知RtDMERtCNF，所以EMNFeq f(1,2). 又因为BF1，所以BNeq f(r(3),2). 作NH垂直于BC，则H为BC的中点，所以NHeq f(r(2),2). 所以SBNCeq f(1,2)BCNHeq f(r(2),4). 所以VFBNCeq

17、 f(1,3)SBNCNFeq f(r(2),24)，VEAMDVFBNCeq f(r(2),24)，VAMDBNCSBNCMNeq f(r(2),4). 所以VABCDEFeq f(r(2),3)，故选A. 【点拨】 求空间几何体体积的常用方法为公式法、割补法和等积变换法(等体积法)：割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积. 等积变换法：特别地，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”. (2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型. 如图

18、，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm，3D打印所用原料密度为0. 9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 解：由题意得，S四边形EFGH464eq f(1,2)2312 (cm2)，因为四棱锥OEFGH的高为3 cm，所以VOEFGHeq f(1,3)12312 (cm3). 又因为长方体ABCDA1B1C1D1的体积为V2466144 (cm3)，所以该模型体积为VV2VOEFGH14412132 (cm3)，其质量m0. 9132118.

19、 8 (g). 故填118. 8. 考点三空间旋转体的面积、体积命题角度1空间旋转体的面积如图，四边形ABCD为梯形，ADBC，ABC90，以A为圆心，AD为半径画一个扇形，则图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积为_. 解：依题意，形成的几何体是一个圆台从上面挖出一个半球，S半球eq f(1,2)4228，又CDeq r(（52）242)5，所以S圆台侧(25)535，S圆台底25. 故所求几何体的表面积S表8352568. 故填68. 【点拨】 求旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 直角梯形绕直角腰旋转一周形成的是圆台，四分之一圆绕半径所在的直线旋转一周，形成的是半球，所

20、以阴影部分绕AB旋转一周形成的是组合体，圆台挖去半球，S表S圆台侧S下底面S半球表. 如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2eq r(2)，AD1，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为_. 解：过点C作CEAD，垂足为E，如图所示. 因为ADC135，所以EDC45，所以CDE是等腰直角三角形，因为CD2eq r(2)，所以ECED2. 又因为AD1，所以AEADDE3. 所以BCeq r(（52）232)3eq r(2). 四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥. 其中圆台的上下底面圆的半径分别为EC，AB，高为AE；圆锥的底

21、面圆的半径为EC，高为DE. 所以所得几何体的表面积S52(25)3eq r(2)22eq r(2)25(eq r(2)1). 故填25(eq r(2)1). 命题角度2空间旋转体的体积(2021湖北省天门中学模拟)已知A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，将四边形ABCD绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积是 ()A. 5 B. 3 C. eq f(5,2) D. eq f(3,2)解：如图，过C作y轴的垂线交y轴于E，则DCE是直角三角形，四边形ABCE是直角梯形，四边形ABCD绕y轴旋转一周所得几何体是一个圆锥和一个圆台的组合体，易求得AB1，BCeq r(2)，CE2，

22、AE1，ED2，DC2eq r(2)，所得旋转体的体积为Veq f(1,3)222eq f(,3)(11222)15. 故选A. 【点拨】 求旋转体体积的一般思路是理解旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量. 求旋转体的体积常用公式法、分割法等，注意相关公式要牢记. 乌鸦喝水的寓言故事，鼓励人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解. 如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3 cm，瓶底直径为9 cm，瓶口距瓶颈为2eq r(3) cm，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为eq f(3r(3),2) cm. 现将1颗石子投入瓶中

23、，发现水位线上移eq f(r(3),2) cm. 若只有当水位线到达瓶口时，乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是(石子体积均视为一致) ()附：圆台体积公式：V圆台eq f(1,3)h(R2r2Rr)，其中h为圆台高，R为圆台下底面半径，r为圆台上底面半径. A. 2颗 B. 3颗 C. 4颗 D. 5颗解：如图所示，AB9 cm，EFGH3 cm，LO3eq r(3) cm，所以A60. 原水位线直径CD6 cm，投入石子后，水位线直径IJ5 cm，则由圆台公式得到，V石子eq f(1,3)MN(CN2IM2CNIM)eq f(91r(3),24) cm3. 同理，空瓶体积是由空

24、瓶圆台加圆柱体得到，即V空瓶V空圆台V圆柱体eq f(1,3)LN(CN2EL2CNEL)EL2KLeq f(63r(3),8)eq f(36r(3),8)eq f(99r(3),8) cm3，则需要石子的个数为eq f(V空瓶,V石子)eq f(f(99r(3),8),f(91r(3),24)eq f(99,8)eq f(24,91)eq f(297,91)(3，4)，则至少需要4颗石子. 故选C. 考点四与球相关的切、接问题命题角度1几何体的外接球(2021全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，ACBC1，则三棱锥OABC的体积为 ()A. eq f(r(2

25、),12) B. eq f(r(3),12) C. eq f(r(2),4) D. eq f(r(3),4)解：如图，ACBC，ACBC1，所以ABC为等腰直角三角形，所以ABeq r(2)，则ABC外接圆的半径为eq f(r(2),2)，又球的半径为1，设O到平面ABC的距离为d，则deq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sup12(2)eq f(r(2),2)，所以VOABCeq f(1,3)SABCdeq f(1,3)eq f(1,2)11eq f(r(2),2)eq f(r(2),12). 故选A. 【点拨】 几何体的外接球问题关键是确定球心位置，主要方法有：将几何体还原或补为正方体或长方体，进而确定球心；几何体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上；球心到各顶点的距离都相等；球心一定在外接球的直径上. (2020全国卷)已知A，B