2022年优质课：任意角的三角函数教学设计

1、任意角的三角函数教学设计 福建师大附中 张春晓一、教学内容解析 三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型,在其它学科领域也有着广泛的应用 . 任意角的三角函数是函数的下位概念,它建立在数学 扩张 . 1中函数概念的基础上,是对锐角三角函数概念的引入锐角三角函数的概念,目的是为了讨论三角形中的边角关系,定义侧重于从几何的角度,在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系. 而引入任意角三角函数的概念,是为了讨论周期变化现象,定义侧重于从代数的角度,以单位圆为工具,得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系 . 在弧度制下,是数集到数集的映射 . 本节课是在学习完“ 任意角和弧度制” 后

2、的第一节新授课,教材中对任意角的三角函数的定义有两种单位圆定义法和终边定义法 . 从讨论任意角的三角函数作用看,单位圆定义法显得更为简洁直观,为后续讨论三角函数性质埋下伏笔；从数学史进展看,单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用 . 因此,本教学设计从同学已有的反映周期现象变化的日常体会动身,以数学实际应用为线索,完成任意角的三角函数的建构过程 . 二、教学目标学问与技能： 懂得任意角三角函数的定义,树立映射观点, 正确懂得三角函数是以实数为自变量的函数 . 过程与方法： 经受单位圆定义法,培育合情推测的才能,体会函数模型的作用 . 情感、态度与价值观：通过同学积极参加学问“ 发觉”

3、 与“ 形成” 的过程,加深对数学概念本质的懂得,感悟数学概念的严谨性与科学性 . 重点 : 任意角三角函数的定义 . 难点： 任意角三角函数概念的建构过程 . 三、教学流程1复习通过对任意角的概念的学习,你认为它与中学角的概念有什么区分？设计意图对任意角概念的懂得是学习本节课的基础.2创设情境、引出主题问题： 已知摩天轮的中心离地面的高度为h , 它的直径为 2r ,逆时针方向做匀速转动,转动一周需要 0360秒,如现在你坐在座舱中,从初始位置点A 动身,求相对于地面的高度h 与时间 t 的函数关系式 . 师：让我们一起分析一下,在整个运动过程中,高度h 是怎样变化的 . P师生：开头高度h

4、 先慢慢增高至最高点,再慢慢降低至最低点,再慢慢上升,OMA最终回到初始位置；其次周,第三周, ,周而复始,出现周期现象. 设计意图以解决实际问题为背景,引入任意角三角函数概念,突出讨论问题的“ 周期性” 特点. 师：我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢？让我们先从特别情形入手. 例如,过了20s 后,人距离地面的高度是多少？生：hh 0rsin200. 师：你能对这个式子做一说明吗？1 生：h 表示水平位置OA 距离地面的高度,rsin 200表示 P 距离水平位置 OA 的高度,即hh 0|MP|. ,师：假如过了40 s 呢？对上面式子做怎样修改？师生：将0 20 换成0 40 ,即：

5、hh 0rsin400. 一般地,过了 t 秒呢？猜想 : hh 0rsint师：这样猜想合情, 但合理吗？随着摩天轮的转动,POA 从最初的锐角被推广到了任意角. 对任意角sin该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容,任意角的三角函数. 设计意图为引出任意角的三角函数做预备,根据从特别到一般地策略来探究,让同学感受到接下来学习新学问的必要性. 3概念生成师：当 P 在水平但位置 OA 上方时,h h 0|MP|；当 P 在水平位置 OA 下方时,h h 0-|MP|,即：h h 0|MP|与 h h 0 r sin t 相比较,要想两者和谐统一,必需有：r sin t |MP|,即：si

6、n t MP. r师生小结：当点 P 在圆周上运动时,POA 随之变化,任一个 POA ,对应着唯独点 P ,进而有唯独MP| MP |,得到：sin t . r师：不过这样表述 |MP| 时,仍是不够简洁 , MP 何时取正值,何时取负值？能否用一个量去代替 MP ,使上述表示形式更简洁？它的肯定值与 MP 的长度相等,符号在 OA 上方表示正的,OA 下方表示负的 . 生: 引入直角坐标系,用点 P的纵坐标y来替代| MP | 或 - | MP | . 设计意图 让同学感受到任意角三角函数定义中,坐标系的引入是自然的,有必要的 . 师：接下来, 我们把角 放在平面直角坐标系中,以原点为圆心

7、, 半径为 r 做圆, 与角 的终边交于点 P,假设点 P 坐标为 , x y ,利用我们刚才对上述问题的分析,这里,sin = y . r师：当 是锐角时,此规定与中学规定是否吻合？生：吻合,利用中学对锐角三角函数定义,sin = |MP|, |MP| 即 y , |OP|即 r .|OP|师：三角函数只有这一个吗？生：仍有余弦,正切 . 师：你能仿照正弦给出它们的类似定义吗？生： cosx, tanyrx师：从高中函数定义来看,他们是真正意义上的函数吗？生：是的,任意给定角,其终边唯独确定,终边与圆的交点P 就唯独确定,比值随之唯独确定. sin=y rx师：比值会随着点P 在终边上的变化

8、而变化吗？y生：不会,由相像三角形学问,比值是唯独确定的. 师：很好,任意给定唯独确定比值 . 那假如是任意角呢,我们不妨Px,y|OP|=rcos=x r假设此时终边落在其次象限,终边与圆的交点仍旧是P ,坐标为 , ,Otan=y x2 明显,我们已经不能把 放在一个锐角三角形内,但是我们同样可以发觉,当 给定后,终边唯独确定,其与圆的交点 P 唯独确定,仍旧符合函数的定义 . 师：这种比值形式能进一步简化吗？生：另r=1,就 sin=y , cosx , tanyx师：此时点 P 具有什么特点？生：点 P 即是角终边与单位圆的交点 . 师：它们是函数吗？生：是的,当给定时,点 P 即定,

9、函数值唯独确定. 师：既然是函数,就有三要素,它们的定义域是什么？生：ysin,ycos的定义域均为R ,ytan的定义域是 |k+2,kZ师：很好,我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数. 其实,我们可以发觉,任意角的三角函数是以角作为自变量,以坐标或者坐标的比值为函数值的函数,即从角的集合到实数集的一种对应关系 . 设计意图 这里采纳概念同化的学习方式,让同学懂得定义的合理性,懂得概念的背景和生成过程 .4概念运用例 1. （口算）求以下三角函数值：10 sin 270 ; 2cos3; 3tan3. ,突出4变式：如已知cos1 , 你能写出的一个角吗？例 2. 角的终边经过点P1,

10、3,求它的三角函数值. 22设计意图让同学熟识定义,从中概括出用定义解题的步骤.例 3. 设 sin0 且 tan0 , 确定是第几象限的角. 设计意图通过定义的应用,让同学明白三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律,并从中进一步懂得三角函数的概念,体会数形结合的思想.例 4. 不求值,判定以下三角函数值的符号. 1 0 sin 1060 ; 2 cos 165; 3tan5560. 设计意图引出公式一 sink2 sin, cosk2 cos, tank2 tan函数周期变化的特点,以及数形结合的思想. 5探究发觉在如下列图的单位圆中,角的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边为OP ,就有向线段3 MP OM,AT BS OT OS 分别称为角的正弦线,余弦线,正切线,余切线,正割线和余割线. 图中的x正弦线 MP ,余弦线 OM 均为圆 O 上的弦的一段 . 如 MP 是圆 O 的弦上 PP 的一段,OM 是圆 O 的弦AA上的一段 . 图中正切线AT , 余切线 BS 均为圆 O 上的切线段 . 图中正割线 OT , 余割线 OS 均为圆 O 上的割线段 . 你能否据此给出三角函数名称的一种几何说明,并说明理由？ByS设计意图针对同学素养差异,设计有层次的摸索题,留给同学课后自主探究