勾股定理的十六种证明方法

1、勾股定理的十六种证明方法集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-勾股定理的几种证明方法我们刚刚学了勾股定理这重要的知识，老师告诉我们，勾股定理的证明方法非 常得多，其数量之大足可以撰写出一部书来，我对知识的探求欲望被激发了出来，随即到网络上查找了勾股定理的证明方法，现在我收集到了几种。【证法1】（课本的证明）国的一些资料上发现，勾股定理在西方被称为毕达格拉斯定理。它的面积等于+ b旗【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三一队一队-ab t 、 人一 一rr -角形的面积等于2 .把这四个直角三角形拼成

2、如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、CM点在一条直线上，C、G、。三点在一条直线上.VRtAHAERtAEBF, AZAHE=ZBEF.VZAEH+ZAHE=90o,AZAEH+ZBEF=90o.AZHEF=180o-90o=90o.四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2.RtAGDHgRtAHAE, AZHGD=ZEHA.VZHGD+ZGHD=90o,AZEHA+ZGHD=90o.又VZGHE=90o, AZDHA=90o+90o=180o./. ABCD是一个边长为a+b的正方形，(a + b )2 = 4 xL ab + c 22. a 2 + b 2

3、= c 2.这个证明对我来讲也很好理解，它利用了全等三角形的性质和因式分解的 知识，这对于我们初二的学生来说，是能够领会的。【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（ba），以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角-上，-ab ,、e 人,一三角形的面积等于2 .把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.VRtADAHRtAABE,AZHDA=ZEAB.VZHAD+ZHAD=90o，AZEAB+ZHAD=90o，.ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.VEF=FG=GH=HE=b-a,ZHEF=90o.EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于G-a）2.4 x ab + G

4、 a ）2 = c 22.a 2 + b 2 = c 2.赵爽的证明课本上也给出了，它不仅仅是单纯的对勾股定理的证明，更体 现了我国古人在知识探求上的不懈努力和卓越成就。【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）则每个直角三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形-”一1 ab ，、 一 -,使C、E、B三点DbaA b E a B角形的面积等于2 .把这两个直角三角形拼成如图所示形状， 在一条直线上.RtAEAD些RtACBE,ZADE=ZBEC.VZAED+ZADE=90o,ZAED+ZBEC=90o.ZDEC=180o-90o=90o.A DEC是一个等腰直角三角形，

5、1 c 2它的面积等于2 .又 VZDAE=90o, ZEBC=90o,.ADBC.一 1 (a + b)2ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2(a + b* = 2 x ab + c 2.222 .a 2 + b 2 = c 2.就连美国总统也给出了一种证明，这难道不能说明勾股定理的普遍性么？ 其中还有一个故事。1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在 散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员。他走着走 着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什 么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个 小孩走去，想搞

6、清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用 树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小 男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和 4,那么斜边长为多少呢？ ”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩乂问道：“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长乂是多少？ ”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上 7的平方.”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？ ”伽菲尔德一时 语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜 心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道 理，

7、并给出了上面介绍的简洁的证明方法。【证法5】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、8三点在一条直线上，连结 BF、CD.过 C 作 CLXDE， 交AB于点M，交DE于点L.VAF=AC，AB=AD，ZFAB=ZGAD，AAFABAGAD，1 a 2.A FAB的面积等于2 ，A GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，.矩形ADLM的面积二a 2.同理可证，矩形MLEB的面积二b2.正方形ADEB的面积二矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积c 2 = a 2 + b 2， 即 a 2 + b 2 = c 2.欧几里德的经典证明方 法！ !【

8、证法6】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt A ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长 为c,过点C作CDXAB，垂足是D.在AADC和AACB中，VZADC=ZACB=90o，ZCAD=ZBAC，.AADCsAACB.AD : AC=AC : AB，即 AC2 = AD AB.同理可证，ACDBsAACB，从而有BC2= BD AB.AC2 + BC2 =（AD + DB） AB = AB2，即| a2 + b2 = c2.这个证明非常好啊，郑梁成天和我讲相似三角形，这也是妙处之所在啊!【证法6】（利用反证法证明）AB AD + AB BD如图，在Rt A ABC中

9、，设直角边AC、BC的长 度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD AB，垂足是D.AB 2 = AB AB = AB（AD + BD）二假设 a2 + b2。c2，即假设 AC2 + BC2。AB2， 则由可知 AC2 主 AB AD，或者 BC2 主 AB BD .即 AD： AC尹AC： AB,或者 BD： BC尹 BC： AB.在AADC和AACB中，VZA=ZA,.若 AD： AC尹AC： AB,贝UZADCZACB.在ACDB和AACB中，ZB=ZB,.若 BD： BC尹BC： AB,贝UZCDB尹ZACB.又VZACB=90o,.ZADC尹90o,ZCDB尹90o.这与作法CDAB矛盾.所以，AC2 + BC2主AB2的假设不能成立.a 2 + b 2 = c 2.与上题有异曲同工之妙！从上面的六种证明里面，我们不难看出：每一种定理都凝聚了前人的努力 与智慧，每一种定理都少不了前人对知识的不懈探究，每一种定理都蕴藏了前 人独特的智慧因此我们今天学习勾股定理，不但要学会利用它进行计算、 证明和作图，更要学习和了解它的