2018年高考数学专题36圆的方程热点题型和提分秘籍理

1、PAGE PAGE - 17 -专题36 圆的方程1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。2初步了解用代数方法处理几何问题的思想。热点题型一 求圆的方程例1、 (1)若圆心在x轴上、半径为eq r(5)的圆O位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是()A(x5)2y25或(x5)2y25B(xeq r(5)2y25C(x5)2y25D(x5)2y25(2)如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x2y50，y20，xy40，则该三角形的外接圆方程为_。解析：(1)设圆心坐标为(a,0)(a0)，因为圆与直线x2y0相切，所以eq r(5)eq f(|a20|,r(5)，解

2、得a5，因此圆的方程为(x5)2y25。(2)因为三角形的三边所在的直线方程分别为x2y50，y20，xy40，解方程组可得三个顶点的坐标，分别设为A(1,2)，B(2,2)，C(3,1)。因为AB的垂直平分线方程为xeq f(3,2)，BC的垂直平分线方程为：xy10，解方程组eq blcrc (avs4alco1(xf(3,2),xy10，)得eq blcrc (avs4alco1(xf(3,2),yf(1,2)，)即圆心坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(1,2)，半径req r(blc(rc)(avs4alco1(1f(3,2)2blc(rc)(avs4a

3、lco1(2f(1,2)2)eq f(r(10),2)，因此，所求圆的方程为eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)2eq f(5,2)。即x2y23xy0。【提分秘籍】1求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值。2确定

4、圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上。(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上。(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线。提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质。 【举一反三】 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21D(x3)2(y1)21热点题型二 与圆有关的最值问题例2、已知实数x，y满足x2y24x10，求：(1)eq f(y,x)的最大值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最值。解析：(1)设eq f(y,x)k，得ykx，所以k为过

5、原点的直线的斜率。又x2y24x10表示以(2,0)为圆心，半径为eq r(3)的圆，如图所示。当直线ykx与已知圆相切且切点在第一象限时k最大。此时：|CP|eq r(3)，|OC|2。RtPOC中，POC60，ktan60eq r(3)。eq f(y,x)的最大值为eq r(3)。 (3)方法1：eq r(x2y2)表示圆上一点到原点距离，其最大值为2eq r(3)，最小值为2eq r(3)。(x2y2)max(2eq r(3)274eq r(3)，(x2y2)min(2eq r(3)274eq r(3)。方法2：由x2y24x10得(x2)2y23设eq blcrc (avs4alco1

6、(x2r(3)cos,yr(3)sin)(为参数)，则x2y2(2eq r(3)cos)2(eq r(3)sin)274eq r(3)cos。当cos1时，(x2y2)min74eq r(3)，当cos1时，(x2y2)max74eq r(3)。【提分秘籍】 与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如eq f(yb,xa)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题。(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题。(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。【举一反三】 设P(x，y)是圆(x2)2y21上的任意点，则(x5)2(y4)

7、2的最大值为()A6 B25C26 D36解析：因为圆(x2)2y21的圆心坐标为(2,0)，该圆心到点(5，4)的距离为eq r(252042)5，所以圆(x2)2y21上的点到(5，4)距离的最大值为6，即(x5)2(y4)2的最大值为36。答案：D热点题型三 与圆有关的轨迹问题 例3设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。解析：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)，f(y,2)，线段MN的中点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(

8、x03,2)，f(y04,2)。因为平行四边形的对角线互相平分，故eq f(x,2)eq f(x03,2)，eq f(y,2)eq f(y04,2)，从而eq blcrc (avs4alco1(x0 x3,y0y4。)N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24。因此所求P点的轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点：eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,5)，f(12,5)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(21,5)，f(28,5)(点P在OM所在的直线上时的情况)。【提分秘籍】求与圆有关的轨迹问题的四种方法【举一反三】 已知圆x2y24上一定点A(2,0

9、)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点。(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求PQ中点的轨迹方程。解析：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)。P点在圆x2y24上，(2x2)2(2y)24。故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21。(2)设PQ的中点N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连结ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2所以x2y2(x1)2(y1)24。故PQ中点N的轨迹方程为x2y2xy10。 1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的

10、横坐标的取值范围是 .【答案】【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为2.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）A2 B C D【答案】A【解析】【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率故选A1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，故选A1.【2015高考新课标2，理7】

11、过三点，的圆交y轴于M，N两点，则( )A2 B8 C4 D10【答案】C【解析】由已知得，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C2.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或【答案】D3.【2015高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以

12、答案应填：4.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由得， 圆的圆心坐标为；（2）设，则 点为弦中点即， 即， 线段的中点的轨迹的方程为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，又直线：过定点，当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点1（2014福建卷）设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆eq f(x2,

13、10)y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5eq r(2) B.eq r(46)eq r(2) C7eq r(2) D6eq r(2)【答案】D【解析】设圆心为点C，则圆x2(y6)22的圆心为C(0，6)，半径req r(2).设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则eq f(xeq oal(2,0),10)yeq oal(2,0)1，即xeq oal(2,0)1010yeq oal(2,0)，|CQ|eq r(1010yeq oal(2,0)（y06）2)eq r(9yeq oal(2,0)12y046)eq r(9blc(rc)(avs4alco1(y0f(2,3)sup12(

14、2)50)，当y0eq f(2,3)时，|CQ|有最大值5eq r(2)，则P，Q两点间的最大距离为5eq r(2)r6eq r(2).2（2013新课标全国卷）已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.【解析】解：由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1

15、r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M, N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为eq r(3)的椭圆(左顶点除外)，其方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2 eq r(3).若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则eq f(|QP|,|QM|)eq f(R,r1)，可求得Q(4，0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得eq

16、 f(|3k|,r(1k2)1，解得keq f(r(2),4).当keq f(r(2),4)时，将yeq f(r(2),4)xeq r(2)代入eq f(x2,4)eq f(y2,3)1，并整理得7x28x80.解得x1，2eq f(46 r(2),7).所以|AB|eq r(1k2)|x2x1|eq f(18,7).当keq f(r(2),4)时，由图形的对称性可知|AB|eq f(18,7).综上，|AB|2 eq r(3)或|AB|eq f(18,7).3（2013重庆卷）如图19所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率eeq f(r(2),2)，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A

17、，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQPQ，求圆Q的标准方程图19【解析】解：(1)由题意知点A(c，2)在椭圆上，则eq f(（c）2,a2)eq f(22,b2)1，从而e2eq f(4,b2)1.由eeq f(r(2),2)得b2eq f(4,1e2)8，从而a2eq f(b2,1e2)16.故该椭圆的标准方程为eq f(x2,16)eq f(y2,8)1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0

18、 xxeq oal(2,0)8eq blc(rc)(avs4alco1(1f(x2,16)eq f(1,2)(x2x0)2xeq oal(2,0)8(x4，4)设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取得最小值又因x1(4，4)，所以上式当x2x0时取得最小值，从而x12x0，且|QP|28xeq oal(2,0).因为PQPQ，且P(x1，y1)，所以eq o(QP,sup6()eq o(QP,sup6()(x1x0，y1)(x1x0，y1)0，即(x1x0)2yeq oal(2,1)0.由椭圆方程及x12x0得eq f(1,4)xeq oal(2,1)

19、8eq blc(rc)(avs4alco1(1f(xeq oal(2,1),16)0，解得x1eq f(4 r(6),3)，x0eq f(x1,2)eq f(2 r(6),3)，从而|QP|28xeq oal(2,0)eq f(16,3).故这样的圆有两个，其标准方程分别为eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2 r(6),3)eq sup12(2)y2eq f(16,3)，eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2 r(6),3)eq sup12(2)y2eq f(16,3).4(2013年高考江西卷)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_解析

20、：由已知可设圆心为(2，b)，由22b2(1b)2r2得beq f(3,2)，r2eq f(25,4).故圆C的方程为(x2)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(3,2)2eq f(25,4).答案：(x2)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(3,2)2eq f(25,4)1过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)242已知圆C：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值为()A8 B4C6 D无法确定解析：圆上存在关于直线xy

21、30对称的两点，则xy30过圆心eq blc(rc)(avs4alco1(f(m,2)，0)，即eq f(m,2)30，m6。答案：C3当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过点C，则以C为圆心，半径为eq r(5)的圆的方程为()Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0Dx2y22x4y0解析：将已知直线化为y2(a1)(x1)，可知直线恒过定点(1,2)，故所求圆的方程为x2y22x4y0。答案：C4点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21解析：设圆

22、上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则eq blcrc (avs4alco1(xf(4x0,2),yf(2y0,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(x02x4,y02y2。)因为点Q在圆x2y24上，所以xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)4，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21。答案：A5过圆x2y24外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则ABP的外接圆方程是()A(x4)2(y2)21Bx2(y2)24C(x2)2(y1)25D(x2)2(y1)25解析：设圆心为O，则O(0,0)，则以OP为直径的圆为ABP的

23、外接圆。圆心为(2,1)。半径req f(|OP|,2)eq r(5)。圆的方程为(x2)2(y1)25。答案：D6在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A5eq r(2) B10eq r(2)C15eq r(2) D20eq r(2)7若实数x，y满足x2y22x4y0，则x2y的最大值为_。解析：方程可化为(x1)2(y2)25，表示以(1，2)为圆心，eq r(5)为半径的圆，设x2ym，则圆心到直线x2ym0的距离deq f(|5m|,r(5)0，eq r(5)，解得m的最大值为10。答案：108圆心在直线2xy70上的

24、圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C的方程为_。解析：圆与y轴交于A(0，4)，B(0，2)，由垂径定理得圆心在y3这条直线上。又已知圆心在2xy70上，eq blcrc (avs4alco1(y3,2xy70，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2,y3，)即圆心C(2，3)，半径r|AC|eq r(22342)eq r(5)，所求圆C的方程为(x2)2(y3)25。答案：(x2)2(y3)259圆心在原点且圆周被直线3x4y150分成12两部分的圆的方程为_。解析：如图，因为圆周被直线3x4y150分成12两部分，所以AOB120。而圆心到直线3x4y150的距离deq f(15,r(3242)3，在AOB中，可求得OA6。所以所求圆的方程为x2y236。答案：x2y23610已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(tR)的图形是圆。(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围。解析：(1)由(xt3)2(y14t2)2(t3)2(14t2)216t49，r27t26t10，eq f(1,7)t1。(2)req r(7t26t1)