2013年gct数学基础讲义第六部分第四章线性方程组

1、 第四章 线性方程组 求解线性方程组的问题被认为是数学中最重要的问题之一。统计表明，在科学及其工程应用中，有超过75%的问题会涉及线性方程组，更有大量复杂的数学模型是靠化简为线性方程组来解决的。在这一章中，我们将前面已建立起来的矩阵和向量理论作为数学工具，讨论线性方程组的求解方法，并介绍解的结构。 4.1 线性方程组的基本概念 4.1.1 线性方程组的一般形式 含 个方程，个未知量的线性方程组的一般形式为： （4.1）其中 为未知量， 和 为常数.称（4.1）为 型线性方程组. 如果 ，则称（4.1）为齐次线性方程组；若存在 ，则称（4.1）为非齐次线性方程组。 例1 下列方程都是线性方程组

2、（1） （2） （3）其中，（1）和（3）是非齐次线性方程组,（2）是齐次线性方程组。 型线性方程组的解是由 个数组成的 元向量 ，它满足方程组中的个方程。 例2 22型线性方程组的一般形式为：其中每一个方程都表示平面上一条直线，一个 型线性方程组中两直线在平面上的位置有下列三种情形： （1）两直线相交于一点，则相交点就是方程组的唯一解； （2）平行，则该方程无解； （3）重合，则直线上任何一个点都是方程组的解。 例3 33型齐次线性方程组的一般形式为： ,其中每一个方程都表示一个以向量 为法矢量，过原点的平面，而且第 个方程可用内积表示为： ，其中 。 因此 型的齐次线性方程组的解是一个与向

3、量 均正交的向量 。（1）若 不共面，则方程组只有零解；（2）若 共面但不共线，则垂直于 的向量均是解，这些解彼此平行；（3）若 共线，则以 为法向量的平面上的所有向量都是解，即解向量组成一个平面。 在实际中，我们有许多方程组在形式上不相同，但解都是一样的，如例2中，两直线重合时，一条直线所给出的方程组与两条直线给出的方程组形式不同，但解一样 。 定义4.1 设有 型线性方程组（I）和型线性方程组（II），若（I）和（II）的解向量集合相等，则称（I）和（II）为等价的线性方程组。4.1.2 线性方程组的矩阵表示用矩阵乘法， 型线性方程组（4.1）可表示为 （4.2）称 为线性方程组（4.1）

4、的系数矩阵； 为 线性方程组（4.1）的增广矩阵.（4.1）的解是使矩阵等式（4.2）成立的 维向量 . 矩阵的初等变换是使矩阵得以化简的基本运算，它对方程组的影响在于： 定理4.1 设矩阵 和矩阵 是初等变换下等价的矩阵，即存在可逆矩阵 ，使 则线性方程组 和 是等价的线性方程组. 证 设向量 是方程组 的任一个解，有 ，两边左乘矩阵 ，则有即 也是 的一个解. 反之， 任取 的一个解，两边左乘则有 ，即 .所以 是 的一个解. 因此， 和 同解，故为等价的线性方程组。 对 型的线性方程组 ，当 为可逆矩阵时，可借助于矩阵运算求解：4.1.3 线性方程组的向量表示 设矩阵 A=aijmn是线

5、性方程组（4.1）的系数矩阵，用Ai记 A 的第 i 列，即 则 型线性方程组可表示为 （4.3） （4.3）式是线性方程组的向量表示.（4.3）揭示了线性方程组（4.1）的解是组合系数 ，方程组有解则等价于 是 的列向量的线性组合，从而向量组 和向量组 等价。更重要的，它在理论上可以 得到如下结果： 定理4.2 设 型线性方程组为 ，则有 （1） 有解的充要条件是增广矩阵的秩和系数矩阵的秩相等，即 . （2） 有唯一解的充要条件是 证（1）必要性：已知 有解，则由（4.3）式 是 的列向量的线性组合，从而 的列向量组 等价于向量组 ，故两者的秩相等，即 。 充分性：已知 ，即秩 =秩 ,又

6、， 所以 的极大线性无关组是的极大线性无关组。故 是 的线性组合，即 有解。 （2） 必要性：已知 有唯一解，则由（1） ，且有唯一解向量 ，使 .反之 ，则向量组 线性相关，存在不全为0的数 ，使 。从而 ， 故向量 也是 的解，与 的解惟一矛盾. 故 . 充分性： 时，方程组 有解，故 线性相关，而 线性无关。由定理3.2 , 可由 惟一的线性表示，从而 有唯一解。 4.2 Gauss消元法 Gauss消元法是求解 型线性方程组的实用而有效的方法，让我们首先看看Gauss消元法的基本思想。 在中学代数中，已学过用加减消元法解二元或三元一次方程组，现在把它推广到求解一般 型线性方程组中去。

7、Gauss消元法的基本思想是对线性方程组进行初等变换，简化未知量的系数，把其变形为与原方程组同解且易直接求解的阶梯形方程组。定义4.2 对线性方程组施行的下列三种变换： （1）互换两个方程的位置； （2）用一个非零数乘某一个方程； （3）把某个方程的若干倍加到另外一个方程上.称为线性方程组的初等变换，用上述三种初等变换将一个线性方程组化成增广矩阵是阶梯形的线性方程组的过程称为Gauss消元法。 用矩阵表示Gauss消元法，则为：对线性方程组 的增广矩阵 施行行初等变换化为行阶梯形或行标准型 ，即（行阶梯形或行标准型），则由定理4.1，方程组 等价于方程组 而CX=d作为增广矩阵的行阶梯形，特别

8、是行标准型，它对应的线性方程组是很容易求解的。 例4 用Gauss消元法求解下列非其次线性方程组： （1） （2） （3） 解 把Gauss消元法步骤直接作用到增广矩阵上作初等变换， （1） 这时可以看到 ，但 ，即故线性方程组（1）无解.（2） ,行标准行对应的线性方程组为： ,其解为： ，即 .（3） 的行标准形对应方程 ， ，其解为： ，即 为任意常数。 从例4中，可注意到如下几点： （1）如果增广矩阵的行标准形矩阵中含有如下行： ，则线性方程组无解。 （2）当 时，线性方程组的解不唯一，而且有无穷多个解. 这时方程组的解中有 个自由未知量，它的一种合适取法是：根据行标准形，第 列是对应

9、线性方程组中未知量 前面的系数，取每一个首位等于1以外的列对应的未知量作为自由未知量，便可写出解来。当 是自由未知量时， 是任意常数均可满足的恒等式，故 可取任意常数。 （3）从方程组的解向量表示中，可以看到，非齐次线性方程组的一般解（通解)是 个确定的常向量的线性组合，再加上一个常向量解。 例5 用Gauss消元法求解下列齐次线性方程组。 解 因为齐次线性方程组的增广矩阵 行初等变换结果为 ，所以只需对系数矩阵进行行初等变换： ，有一个自由未知量，取 ，对应解为， 即 4.3 齐次线性方程组解的结构 型线性方程组的矩阵形式和向量形式分别为 ， 齐次线性方程组总是有解的， 就是它的一个解. 设

10、 表示齐次线性方程组所有解组成的集合，即 ， （4.3） 齐次线性方程组的解满足以下基本性质： 定理4.3 设 是齐次线性方程组 的两个解，则 和 的线性组合 也是 的解. 证 已知 ， 。对 和 的任意线性组合 ，有 ，故 是 的解。 定理4.3说明，任取 ，则，从而齐次线性方程组的解集合 是一个向量空间，称 为 的解空间。这使得我们可用空间的结构来研究 的解集合的结构. 定义4.3 齐次线性方程组 的解空间 的基称为该方程组的基础解系，故若 为 的基础解系，则有：（1） ，即 是 的解；（2） 线性无关；（3）方程组 的任何一个解 都可表示为的 线性组合，即 （4.4）称（4.4）为方程组

11、 的通解公式.下面我们确定解空间 的维数. 定理4.4 设 型齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为 ，则 的解空间 的维数： 。 证明 设 ，则 的列向量 的秩为 ，不妨设 的列向量组的极大线性无关组为 ，则其余 列向量为它们的线性组合，即 将它写成则由4.1.3的讨论，我们得到了 的 个解： （4.5）由于矩阵 的秩为 ，因此线性无关。 由定理3.6，行初等变换不改变列的线性关系，则有 ，其中 ， 为 维基本向量，行标准形矩阵 对应的方程组，当 个自由未知量取为 时，其一般解表达式为 。 由定义 为 的基础解系，故 。 推论1 型齐次线性方程组 的任意 个线性无关的解 都是 的基础解系. 当 时

12、， ，即 ，这时齐次线性方程组的唯一解为 ，即零解。等价地，我们有： 推论2 型线性方程组 有非零解的充要条件是 . 从定理4.4的证明中，我们可得到求基础解系的方法。（1） 时，把 的列向量的极大线性无关组以外的 个列向量写成其极大线性无关组的线性组合，由这些组合系数可以得到基础解系中的解（4.5）. （2）求出 通解的向量组合形式，即得基础解系. 例6 求齐次线性方程组 的基础解系和通解。 解 对方程组系数矩阵 作行初等变换，将化为行标准形有 . 方法1 从 的行标准形得到结论： 的4个列向量 中极大线性无关组为 。 ，即得 ，得到解向解向量。 ， 即 ，得到解向量 。从而，方程组的基础解

13、系为通解 ，为任意常数， 。 方法2 从 的行标准形，取 作为自由变元，对应解为 即 ， 为任意常数。这就是方程组的通解，由解的结构，基础解系为 例7 设有矩阵 ，满足 ，证明： 。 证 设矩阵 的 个列向量为 ，则由矩阵乘法： 因此 当且仅当 ，即 的列向量 是齐次线性方程组 的解向量.从而 ，所以即 . 例8 设 是一个三阶非零矩阵，它的每一列是齐次线性方程组 的解，求 的值和 解 ，的列向量是上面齐次方程组的解，意味着该齐次方程组有非零解。由定理4.4的推论2，得该齐次方程组的系数矩阵 的秩 ，故 ， 即 。又当 时， 故方程组的基础解系只有一个解向量，从而 的三个列线性相关，得 . 例

14、9 设 为 实矩阵，证明： . 证 为 矩阵，则 为 阶矩阵，取齐次线性方程组： 型： ； 型： 。先证 和 为等价的线性方程组。任取 ，即 ，则有 ，即 ，又取 ，即 ，两边左乘 ，得 ，即内积 ，从而 维向量 为零向量，即综上所述，二者的解空间相等，即 从而 由定理4.4， ，这就证得了4.4 非齐次线性方程组解的结构 设 型非齐次线性方程组 。若令其中 ，则得到一个相应的齐次线性方程组 ，称 为非齐次线性方程组的导出方程组。 定理4.2已给出非齐次线性方程组有解的充要条件和解不唯一的充要条件,Gauss消元法显示当线性方程组解不唯一时，一定是有无穷多个解的。这里将从非齐次线性方程组解的性

15、质，给出解的结构。 非齐次线性方程组的解忧如下性质。 定理4.5 非齐次线性方程组 的任意两个解 的差 是它的导出方程组 的解。 证 由题意， ，故 ，从而 是导出组 的解。 值得指出的是非齐次线性方程组 的两个解之和 ，由于 ，从而 不再是方程组的解，即非齐次线性方程组的解的集合已不再是向量空间。这里我们将利用其导出方程组解的结构给出非齐次线性方程组解的结构。 定理4.6 设非齐次线性方程组 有解， 是它的一个解.设 表示 的导出方程 组的解，则非齐次线性方程组 的通解为 （4.6） 证 设 是非齐次线性方程组的任何一个解，则由定理4.5 , 是导出方程组 的解。 由 的任意性，当 取遍 的

16、一切解时，得到 是 的通解，从而有 即 的通解为： 若设 的一个解为 ， 为导出方程组 的基础解系，则非齐次线性方程组的解为 . 这和第二节用Gauss消元法求得的非齐次线性方程组的解的形式相一致。实际上，用Gauss消元法求出的非齐次线性方程组的解就是通解. 例10 求下列非齐次线性方程组的通解和导出方程组的基础解系。 （1） ;（2） . 解 （1）对增广矩阵做行初等变换： ，方程组有解；又 ，解唯一。 的行标准型给出唯一解： ，即 。这题的导出方程组 只有零解 ， 没有基础解系。 （2）对增广矩阵 做行初等变换： ，取 作为自由未知量 ， 即通解为 ， 为任意常数. 导出 组的基础解系为

17、 。 例11 设四维列向量组 中， 线性无关， ， 设4阶矩阵 ，求非齐次线性方程组 的通解. 解 由题意，已知 为 型的线性方程组，导出组 的基础解系含 个线性无关的解 ，由解的结构 的通解 为 .从 ，得 .从而得到导出组 的一个解： ，该解非零从而线性无关，故 的基础解系可以取为 .又 ，等价于 .所以 是方程组 的一个解，因此通解 。 在实际问题中，我们会有许多系数矩阵中含有参数的线性方程组.参数的取值不同，决定方程组有解、无解和是否有有唯一解，下面举例讨论这类问题. 例12 取何值时，线性方程组 （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求其通解。 解 题目所给的 型非齐次线性方程组，解的不同情形对应 的不同取值范围. 首先用Cramer法则解（1）： （1）方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵 的行列式： . 而 ， 故 且 。即 且 时，方程组解唯一. 其他情形则只对应 或者 . （2）当 时， 增广矩阵 ， ，所以方程组无解. （3）当 时，增广矩阵 ， ，方程组有无穷多解，通解为