会计自考线性代数串讲

1、2011 年 1 月讲解一、简短前言自考 365 的学员朋友们好！现在，对2011 年 1 月高等教育线性代数（经管类）试题分析讲解。讲解之前，提出两点希望：一是，希望学员朋友们在收看本次串讲之前，能够对来；知识进行一次比较全面的复习，做到有备而二是，希望学员朋友们在此之前，能够独立地做完本套试题，检查知识掌握的情况，带着问题参加本次串讲的学习，可以达到事半功倍的效果。说明：本次串讲所用是线性代数（经管类），2006 年 9 月第一次印刷。二、分数分布总体印象总的说来，本套试题的选择题与填空题比较常规，计算题略偏，与以往试题比较别题目不太常规。整套试题充分体现出线性代数的特点：理论上要求比较高

2、，计算量比较大，个别题目比较繁琐。难度分析如果粗略的将试题难度划分为易、中、难三个等级，本套试题的难易程度为：易：16 分，中：44 分，难：12 分及繁：18 分。可见，本套试题在难度的处理上，还算比较合理，能够得到普遍认可。分数分布分数分布约为：第一章行列式：13 分，第二章矩阵：23 分，第三章向量空间：21 分，第四章线性方程组：24 分，第五章特征值与特征向量：15 分，第六章实二次型：4 分。用柱状图直观表示如下三、试题详解2011 年 1 月高等教育线性代数（经管类）试题说明:在本卷中,AT 表示矩阵 A 的转置矩阵,A*表示矩阵 A 的伴随矩阵,E 是行列式,r（A）表示矩 A

3、 的秩.矩阵,|A|表示方阵 A 的一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分,共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设行列式 A.12C.36，则行列式B.24D.48答疑118120101正确，故选择 B。提示：行列式性质总结，5 类 8 条：（分类总结（1）保值性质：（i）行列式转置其值不变；法）（ii）某行（列）的 k 倍加到另一行（列）上其值不变；（2）零值性质：（iii）一行（列）元素全为零其值为零；（iv）两行（列）对应元素成比例其值为零；变号性质：（v）两行（列）对调其值变号；运算性

4、质：（vi）常数乘行列式某行（列）乘该常数；（vii）某行（列）元素由二数和组成，可化为二行列式之和。（5）降阶性质：（viii）某行（列）各元素与自身的代数乘积之和其值不变；某行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数乘积之和其值为零。2.设矩阵 A，B，C，X 为同阶方阵，且 A，B 可逆，AXB=C，则矩阵 XA.B.C.D.答疑118120102正确A，B 可逆，且 AXB=C，故选择 A。提示：矩阵乘法的性质：矩阵乘法结合律：（AB）C=A（BC）；矩阵乘法分配律：（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC；数乘结合律：k（AB）（kA）BA（kB），k 为任意实数；矩阵乘法

5、不满换律，即一般 ABBA。3.已知, 则矩阵A.AE C.A+E答疑B.AE D.A+E118120103正确已知，故选择 C。提示：（1）逆矩阵的定义：设 A 是 n 阶方阵，若存在一个n 阶方阵B，使得 AB=BA=E则称矩阵 A 可逆，且 B 为A 的逆矩阵；（2）只要 AB=E 或 BA=E，则。4.设，是向量，则A.，一定线性无关B.，一定线性相关C.一定可以由，线性表示D.一定可以由，线性表示答疑正确118120104B线性相关性中“线性相关”的判定方法总结如下：含零向量的向量组线性相关；向量个数大于向量维数的向量组线性相关；向量组部分相关，整体必相关；向量组中向量分量行列式为零

6、，向量组线性相关；向量组中向量分量矩阵的秩小于向量个数，向量组线性相关；相关向量组的截短向量组必相关；7.以向量组中向量分量为系数矩阵的线性方程组有非零解，向量组线性相关。以上只是针对“线性相关”一个问题进行的跨章节的总结。朋友们可用效仿此法，对如何判定向量组的“线性无关”的判定方法进行跨章节的总结，便于和灵活运用。5.设 A 是 n 阶方阵，若对任意的 n 维向量 x 均满足 Ax=0，则A.A=0C.r（A）=nB.A=ED.0r（A）n答疑正确提示：118120105根据线性方程组的判定方法，排除 B，C，D，只能选择 A.线性方程组解的判定方法：（1）行列式法：法则；（2）矩阵法：系数

7、矩阵 A 满秩，方程组 Ax=0 有惟一零解；系数矩阵 A 降秩，方程组 Ax=0 有无穷多解；但不是任意解。6.设 A 是 n 阶方阵，r（A）n，下列关于A.Ax0 只有零解线性方程组 Ax0 的叙述正确的是B.Ax0 的基础解系含 Ax0 个解向量C.Ax0 的基础解系含 nr（A）个解向量 D.Ax0 没有解答疑正确提示：118120106根据线性方程组解的结构，选择 C。线性方程组解的结构定理（P112，定理 4.1.1，（1）：设 A 是 mn 矩阵，r（A）r，（1）Ax=0 的基础解系中解向量个数为 nr；（2）Ax=0 的任意nr个线性无关解向量都是它的基础解系。7.设 ，是

8、非线性方程组 Ax=b 的两个解，则A. +是 Ax=b 的解B. 是 Ax=b 的解C.3 2是 Ax=b 的解D.2 3是 Ax=b 的解答疑118120107正确，是 Ax=b 的两个解，即 A =b，A=b，可以验证，A（3-2）=3b-2b=b，故选择 C。8.设 A.20 C.28答疑为矩阵 B.24 D.30118120108的三个特征值，则正确根据定理 5.1.2，故选择 B。提示：定理 5.1.2：设是 n 阶方阵的全体特征值，则必有，这里，称 tr（A）为 A 的迹。9.设 P 为正交矩阵，向量 ， 的内积（ ， ）2，则（P，P ）A.B.-2C.D.2答疑1181201

9、09正确根据正交矩阵的性质：（P，P）（ ， ）2，故选择 D提示：（1）内积的基本性质：对于任取 k，lR， ， ，rR n，有对称性（， ）（ ， ）；线性性（k， ）（k ， ）k（ ， ），（ + ，r）（ ，r）+（，r）；正定性（， ）0，其中（ ， ）0 当且仅当 0；不等式，其中等号当且仅当 ， 线性相关时成立。（2）正交矩阵的基本性质：设 A 为 n 阶正交矩阵，则有以下结论：； A 的伴随矩阵必是正交矩阵； 对任意 n 维向量，都有内积等式。10.二次型的秩为A.1答疑B.2118120110C.3D.4正确故选择 A。，所以二次型的矩阵的秩1，则二次型的秩1，提示：关于二

10、次型的秩：中没有二次型秩的定义，只有二次型的矩阵的秩的定义（P170，定理6.1.2，惯性定理），实际上，二次型的矩阵的秩就是二次型的秩；二次型的秩的求法：）根据惯性定理的矩阵形式：对于任意一个n 阶对称矩阵 A，一定存在 n 阶可逆矩阵 R 使得，其中，即初等阵乘积，所以，可以通过对 A 施行相同的行、列初等变换化为对角阵，则r 即为此二次型的秩；）存在正交矩阵P，使得为二次型的秩。，即求 A 的特征值，其中非零特征值的个数即二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确。错填、不填均无分。11. 行列式，则 k.答疑118120111正确0，所以

11、 k3 或 k1，故填写 3 或1.提示：行列式求值方法： 二、三阶行列式，可以用直接展开方法计算； 三阶及其以上的行列式可先用行列式的保值性质化简，化为对角阵，行列式的值等于主对角线元素的乘积； 高阶矩阵也可先化简，后降价，再计算。12. 设答疑，k 为正整数，则118120112.正确，即 A 右称 A 时，相当于 A 的第二列乘 1 加的第一列上的初等列变换，所以，故填写。提示：关于初等变换的两种方法： 直接对矩阵施行行、列三种初等变换：）交换两行、列；）非零常数乘一行、列；）一行、列乘常数加到另一行、列上； 用初等阵乘矩阵，：行变换，右乘：列变换； 初等阵：阵施行一次初等变换得到的矩阵

12、。13.设二阶可逆矩阵 A 的逆矩阵，则矩阵 A.答疑118120113正确设则又，所以，即，解得，所以，故填写。提示：求逆矩阵有两种方法：行列式法，矩阵法。本题正问题难。本题采用行列式法。的是求逆矩阵的逆问题，一般地逆问题比14.设向量 （6，2，0，4）， （3，1，5，7），向量 满足，则 .答疑118120201正确，（9，3，15，21）（12，4，0，8）（21，7，15，13）故填写（21，7，15，13）。15.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 只有零解，则 r（） . 答疑 118120202正确 可知 r（A）n。提示： 注意，线性方程组的系数矩阵 A 的行数 m 表示方程

13、组中方程的个数，列数 n 表示未知数的个数，即“元”数； 线性方程组解的判定：a）系数矩阵的秩增广矩阵的秩未知数的个数，有唯一解； b）系数矩阵的秩增广矩阵的秩0；二阶子式，解得；三阶子式，解得，故填写。提示：二次型正定的判定:（1）二次型正定它的实对称阵正定；实对称阵 A 正定实对称阵 A 正定实对称阵 A 正定实对称阵 A 正定A 的特征值全为正数；A 合同于阵；A 的正惯性指数等于 A 的阶数；A 的 n 个顺序主子式全大于零。三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21.计算答疑。118120208正确解：22.设矩阵 答疑正确，对参数矩阵 A 的秩。118120

14、209解：因此，当=3 时，秩（A）1；当 =-5 时，秩（A）2；当 -5 且当 3 秩（A）3.提示：矩阵的秩的求法：（i）用定义，即用行列式：非零子式的最高阶数矩阵的秩；（）用初等变换：对矩阵施行行初等变换将矩阵化为，则（根据：P71，定理 2.6.1）。23.求解矩阵方程。答疑正确118120210解：设方程的矩阵形式为 AX=B，则 A 为 33 阶矩阵，B 为 32 阶矩阵，所以 X 为 32 阶矩阵；再设所以，方程组（I），增广阵为同理，（II）也无解。所以，矩阵方程 AX=B 无解。，（I）无解；解：由于所以 A 可逆，且故原矩阵方程变为：快解：因为行列式，矩阵不可逆，所以，此

15、方程无解。提示：见 15 题提示。24.求向量组通过该极大无关组表示出来。的一个极大线性无关组，并将其余向量答疑118120211正确梯矩阵如下解：构造矩阵，对此矩阵施行初等行变换，化为阶所以，此向量组的一个极大无关组为。提示： 注意极大无关组的求法，出现第三个矩阵时已经得到 求组中向量用极大无关组表示时，本题给出了求法。；25.求答疑线性方程组118120301的一个基础解系及其通解。正确系数矩阵，对此矩阵施行初等行变换，化为阶梯矩阵如下所以，方程组的基础解系所含解向量为，其通解为，其中，为任意常数。26.求矩阵答疑的特征值和特征向量。118120302正确设，则，解得 A 的特征值为；当时

16、，解方程组，解得，当时，解方程组，解得。所以，A 的特征向量为。提示： 本题属于特征情况：二重特征值的特征向量只有一个； 注意计算技巧：适当化简，避开一元三次方程的求解难题。四、证明题（本题 6 分）27.设向量线性无关，证明：线性无关。答疑118120303正确证明：设为 k 个常数，令即因为线性无关，所以，若使上式成立，当且仅当解此方程组，只有惟一零解。所以，若成立，当且仅当，因此，向量组线性无关。四、简单总结1.强调全面复习从本套试题的分数分布不难看出，试题涉及到各章的内容，总地看来，内容所占分数比较平均。所以，希望考生朋友们一定要全面复习，千万不要随意取舍，以免影响成绩。尤其是本套试题

17、分数比较少的二次型内容，在以往的试题中曾经占高分的第二位。纵观一套试题的内容影响全面复习。2.注意归类试题清楚表明全面复习的重要性，且不可因对出现在不同章节中的同类内容进行归类总结（见题目的提示），对类似内容进行异同对比，是全面地、准确地掌握学习过的概念、理论和方法，是比较准确并运用于解答问题的有效方法，朋友们在自己的学习和复习中不妨试一试。其实，知识首先要，使其成为自己头脑里的内容，其次是在不断应用过程中消化、加深理解，最后，这些东西才能够成为自己的，成为自己可以运用自如的知识。可以肯定地说，在这个过程中方法上的收获超过在知识上的收获，这才是学习数学的真谛。3.适当选作习题线性代数的特点之一是计算量大，因此，在前一定要自己动手选作一定数量的习题。本次串讲由于时间及篇幅限制，没有配例题和习题，请学员朋友们自己去选择。练习题尽量从试题中选取，这些题目比较接近“”，练习的效果比较好，至于某些模拟题，只能