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文档简介

1、欧阳语创编时间：2021.03.01创作：欧阳语用法向量证明两平面垂直问题要证两平面相互垂直Z只需找出这两个平面的两个法向 量，证明这两个法向量相互垂直。例1如右图，AABC是一个正三角形，EC丄平面ABC ,BDIICE z 且 CE=CA=2BD , M 是 EA 的中 点。求证：(1) DE=DA;(2 )平面BDM丄平面ECA ;(3 )平面DEA丄平面ECA ;分析(3):建立如图所示右手直角坐标系，不妨 设 CA=2 ,贝U CE=2 , BD=1 z C ( 0 z 0 ; 0 ) , A ,B(0,2,0) ,E(0,0,2) ,D (0,2,1),云=(柘，1，-2),压=

2、(o,o,2)f ed=(o,2,-i) z 分别假设面CEA与面DEA的法向量是兀=(册，x，zj、 石=(勺亠心)，所以得欧阳语创编岳、+ X _2石=0= y/3x2石=obi =04x2 + 力 一 2。= 0 =兀=屈、2y2 - z2 = 0z2 = 2y2不妨取示=（1，-更）、石=（仮1，2）,从而计算得小恳=0 ,所以两个法向量相互垂直，两个平就相互垂直。用法向量求二面角如图，有两个平面a与卩，分别作这两个平 面的法向量恳与恳，则平面a与p所成的角跟法 向量斤与恳所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。例2、如下图，在梯形ABCD中，ADIIBC , AB丄

3、BC ,AB=a , AD = 3a , sinzADC= 5 ,且 PA丄 平面ABCD , PA=a ,求二面角P-CD-A的 平面角的余弦值。分析:依题意，先过C点CE丄AD , 计算得ED=2a z BC二AE=a,建立如图右角直角坐标系，则 P ( 0 , 0 , a ) ,D(0,3a,0),C(aaO), 而= (O,3d,-d) z PC = (ci-a) t 而=(O,3“,O),AC = (,O)取平面ACD的一个法向量兀= (o,o，i),设平面PCD的法欧阳语创编3ay2 -az2 =0,所以得祇2+2-血2=0 =2y2 = x23x2 = 2z2向量是、n2 =(x2,y2,z3) 不妨取恳=(2丄3)3_ 3、/lZ714- 14从而计算得7 fp易得二面

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