数字电路与逻辑设计

1、第1章 数字逻辑之逻辑代数 本章重点：识别基本逻辑符号，尤其是同或、异或符号。掌握逻辑代数的基本规则和定理理解最大项、最小项的意义及相互关系。和每种变量取值组合对应的最小、大项。熟练掌握公式法化简、卡诺图化简。熟练掌握真值表、逻辑函数、卡诺图三者之间的转化。掌握逻辑函数与逻辑图的相互转化关系。 掌握将函数转化为：与或（与非与非）圈1合并，或与（或非或非）圈0合并，与或非式圈0合并。2.1 逻辑代数 2.1.1 逻辑变量与逻辑函数 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大写字母A、B、 C、表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。逻辑0和1本身并没有数值意义，它们并不代表数量的大小，而仅仅

2、是表示事物二元存在状态。逻辑函数描述具有二元状态的事件之间的逻辑关系，逻辑函数随逻辑变量变化而变化，但自变量、函数取值都为0和1。 数字电路的输入、输出具备二元关系，因此可以用数字电路来实现逻辑函数。2.1.2 三种基本逻辑函数与运算(逻辑乘) 与运算(逻辑乘)表示：只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才能发生。与逻辑可以用逻辑表达式（范例）表示为F=AB 意义：输入都为一时，输出才为一。 图 2-1 二极管与门 0.3v0.3v导通0.3v导通0.3v3.6v导通0.3v截止3.6v3.6v导通3.6v导通表 2-1 与逻辑运算真值表 A BF0 00 11 01 10001所谓真

3、值表，就是将自变量的各种可能的取值组合（与关系）与函数的结果一一对应列出来的表格形式。真值表与逻辑表达式是等价的，二者可以相互转化。图 2-2 与门的逻辑符号 2. 或运算(逻辑加) 当决定一事件结果的一个或几个条件具备时，结果发生。这种因果关系称为逻辑加（或）。 或逻辑可以用逻辑表达式表示为F=A+B 意义：输入有一，输出就为一 图 2-3 二极管或门 0.3v0.3v截止0v截止0.3v3.6v截止3.6v导通3.6v3.6v导通3.6v导通表 2-2 或逻辑运算真值表 A BF0 00 11 01 10111图 2-4 或门的逻辑符号 3. 非运算(逻辑非) 非运算(逻辑反)的意义是函数

4、值为输入值的反。其逻辑表达式为 通常称A为反变量，A为原变量。 图 2-5 三极管非 0.3v截止5v3.6v饱和0.3v图 2-6 非门逻辑符号 4 .复合逻辑运算和复合门 1. 与非、 或非、 与或非逻辑运算与非逻辑运算是与运算和非运算的组合， 即 或非逻辑运算的特点是当且仅当A、B全零F才为一。 与非逻辑运算的特点是当且仅当A、B全一F才为零。或非逻辑运算是或运算和非运算的组合， 即 与或非逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即 课堂思考：如何作出它们的真值表。(a) 与非门； (b) 或非门； (c) 与或非门 2. 异或和同或逻辑运算 异或逻辑的特点是：当两个输入变量相异时，输出为1

5、； 相同时输出为0。 异或逻辑的真值表如表2-5所示， 其逻辑表达式为 A BF0 00 11 01 10110表 2-5 异或逻辑真值表 同或逻辑与异或逻辑相反，它表示当两个输入变量相同时输出为1；相异时输出为0。 同或逻辑的真值表如表2-6所示，其逻辑表达式为 F = A B表 2-6 同或逻辑真值表 A BF0 00 11 01 11001 异或门和同或门的逻辑符号(a) 异或门； (b) 同或门 1课后复习：熟练掌握各种基本逻辑关系的运算规则。2.1.3逻辑函数的两种标准形式 最小项和最小项表达式 最小项是全部输入变量构成的乘积项。其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次且只能一次

6、。 n个变量有2n个取值组合。一个取值组合对应一个最小项，组合只有带入其对应的最小项逻辑运算结果才为1，带入其他最小项逻辑运算结果都为0。n个输入变量有2n个最小项。 表 2-8 三变量逻辑函数的最小项 最小项也可用代号mi表示。其下标i为取值组合所表示的十进制数；最小项具有以下性质： n变量的全部最小项的逻辑和恒为1， 任意两个不同的最小项的逻辑乘恒为0 2. 最小项表达式标准与或式 如果在一个与或表达式中，所有与项均为最小项， 则称这种表达式为最小项表达式，或称为标准与或式、标准积之和式。 它也可以简写为 非标准与或式向标准与或式的转化。标准与或式能够清楚表明那些输入组合可以使函数为1，那

7、些可以使函数为0。逻辑函数与真值表的相互转化 将真值表中使函数为1的所有输入组合所对应的最小项相或便可得出标准与或式。它表明那些输入组合使函数值为1。 将真值表中使函数为0的所有输入组合所对应的最小项相或，便可得出反函数的标准与或式。它表明那些输入组合使函数值为0。 A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101011显而易见，一个逻辑关系的原函数最小项表达式和反函数最小项表达式是互补的。 2.4.2 最大项和最大项表达式 1. 最大项 最大项是全部输入变量的或项，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次且只能一次。一个取值组合对应一

8、个最大项，组合只有带入其对应的最大项逻辑运算结果才为0，带入其他最小项逻辑运算结果都为1。 n个变量可以构成2n个最大项。表 三变量逻辑函数的最大项一个取值组合可以对应一个最大项和一个最小项。最大项也可用代号Mi表示(见表2-10)。其下标i为对应的取值组合所表示的十进制数；2. 最小项与最大项之间的关系 1. 一个取值组合所对应的最小项与最大项的下标是相同的。 它们之间互为逻辑非关系。 最大项具有以下性质： n变量的全部最大项的逻辑乘恒为0， n变量的任意两个不同的最大项的逻辑和必等于1，即 3. 最大项表达式标准或与式 在一个或与式中，如果所有的或项均为最大项，则称这种表达式为最大项表达式

9、，或称为标准或与式、标准和之积表达式。将真值表中函数为0所对应的所有最大项相与便可由真值表得到该函数的最大项表达式。它表明那些输入组合使函数为0。表 2-11 真值表 A B C F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11 1 0 0 1 1 0 0 一个逻辑关系的原函数的最大项表达式和反函数的最小项表达式是等价的（包含相同输入组合）。2.1.4 逻辑函数与逻辑图的相互转化 用逻辑符号及其连线表示基本单元电路及其组合称为逻辑图。逻辑图也是逻辑函数的一种表示方式。用逻辑符号及其连线来代替逻辑函数中的逻辑运算，就可得到函数的逻辑图。绘出 Z=AB+BC+C

10、A的逻辑图。Z=(A B)C2.2 逻辑代数的基本定律和规则 2.2.1 基本定律 交换律 AB=BA A+B=B+A结合律 (AB)C=A(BC) (A+B)+C=A+(B+C)分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C) 3. 逻辑代数中的特殊定律反演律 (De Morgan定律)： 还原律： 目的：便于物理实现逻辑表达式。方法：与或式两次取反。最简与或式转化为与非与非式例1. 2.2.2 三个重要规则 1. 代入规则代入规则的实质是将表达式视为变量参与运算。 2. 反演规则 对于任意一个逻辑函数，将其运算符“”换成“+”， “+”换成“”，常量“0”换成“1”，“1”

11、换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则所得到的结果就是原函数的反函数，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。注意： 运算顺序是按“先与后或”。原式的与运算变或运算后，或表达式用括号括起来，保证运算次序在变换前后不变。 “长”非号不变，里面的表达式作变化。 若则若则例2：用反演规则求反函数 3. 对偶规则 对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式F中所有的算符“”换成“+”, “+”换成“”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”， 而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是F的对偶式，记为F(或F*)。 必须注意，与反演规则相同，由原式求对偶式时，运算的顺序不能改变， 且式中的”长”非号也

12、保持不变。 通过对偶规则，可以将或与式转变为与或式。 对偶规则满足还原律 例3 用对偶规则求反函数2.2.3 化简必用公式 吸收律 1 在逻辑代数中，如果两个乘积项只包含一个互补的因子（变量）， 而其它因子都相同，那么这两个乘积项称为相邻项。 吸收律1说明，两个相邻项可以合并为一项， 消去互补量。 例4：消去互补变量请问是不是相邻项？ 吸收律 2 A+AB=A 该公式说明，在一个与或表达式中，如果某一乘积项的部分因子(如AB项中的A)恰好等于另一乘积项(如A)的全部， 则该乘积项(AB)是多余的。 例5：吸收律 3该公式说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项(如 )取反后是另一个乘积项(如

13、）的因子，则此因子 是多余的。在公式法化简中，常常要合并一些乘积项，在括号内化简。例6：代入规则例7：吸收律 4 证： 推论： 证： 该公式及推论说明，在一个与或表达式中，如果两个乘积项中的部分因子互补(如AB项和AC项中的A和A)，而这两个乘积项中的其余因子(如B和C)都是第三个乘积项中的因子， 则这个第三项是多余的。出现冗余因子的项，可能为其他某两个乘积项的第三项。 根据吸收律4推论反演律代入规则去掉“长”非号，得到一般与或式吸收律4例8：例9: 吸收律4之配项法 吸收律4配项吸收律3吸收律4吸收吸收律4配项吸收律4吸收吸收律4吸收操作要领：对乘积项都是“短小精干”或者没有明显的可以合并或

14、吸收的式子考虑用配项法。先增加一个第三项，用第三项吸收其他乘积项，起到以退为进的目的。例10：公式法化简的基本策略：视野开阔，首先利用吸收律1合并相邻项（变量数相同的两个乘积项）或者利用吸收律2，3寻求用变量数少的乘积项吸收变量数多的乘积项；其次用分配律合并尽可能多的乘积项，在括号内部化简。第三考虑用吸收律4直接吸收或者先配项后吸收。 如果情况复杂，先从某个点入手试探性化简几步，发现做不下去或者没有进一步化简的可能，寻求其他途径。2.6 逻辑函数的卡诺图化简 2.6.1 从真值表到卡诺图的转化 如果将真值表转换为方格的形式，将输入变量分为两组（按循环码规则排列）分别确定方格的列取值和行取值，这

15、种方格图称卡诺图。卡诺图中的方格对应一个最小项。方格的取值即为原真值表中该最小项对应的函数。卡诺图较真值表能够清楚地反映出最小项之间的逻辑相邻,可以方便的进行函数的化简。 A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101011循环码11111000三变量K图 四变量K图 2.6.2 逻辑函数的卡诺图表示法 1. 逻辑函数的最小项表达式在卡诺图上，将最小项对应的方格填1，其余的方格填0(或不填)。反之任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1的那些方格所对应的最小项之和。 例11： 用卡诺图表示函数000111101111111100000000

16、2. 给出逻辑函数的最大项表达式在卡诺图上，将最大项对应的方格填0，其余的方格填1(或不填)。反之任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填0的那些方格最大项之积。 10101011 K图具有如下特点： n变量的卡诺图有2n个方格，对应表示2n个最小（大）项。 卡诺图中任何几何位置相邻的2n个最小（大）项，在逻辑上都是相邻的。 所谓几何相邻，一是相接，即紧挨着； 二是相对，即任意一行或一列的两头；三是相重， 即对折起来位置重合。 卡诺图中最小项的合并规则 在卡诺图上将几何位置相邻的最小项圈（1的格子）起来称为卡诺圈。卡诺圈中的最小项可以合并。两个相邻最小项合并为一项，消去一个互补变量。合并后的与项由圈

17、内没有变化的那些变量按照1为原变量、0为反变量所组成。在原函数的卡洛图中，最小项由为1的小方格代替。四个相邻最小项合并为一项，消去了两个变量，合并后的与项由圈内没有变化的那些变量按照1为原变量、0为反变量所组成。八个相邻最小项合并为一项，消去了三个变量，合并后的与项由圈内没有变化的那些变量按照1为原变量、0为反变量所组成。 00101010001001011）相对位置的的相邻项最容易忽略卡洛图中寻找相邻最小项的注意事项11101011001001110001110000001000000111000001100000111100000110001.相邻项的个数必须是2n个2.只有满足相接，相对

18、/相重才能称为几何相邻。3. 相邻项满足传递性：即任意一项与其余两项相邻。 综上所述： 任何一个合并圈(即卡诺圈)所含的方格数为2n个。 必须按照相邻规则画卡诺圈，几何位置相邻包括三种情况：一是相接，即紧挨着的方格相邻；二是相对，即一行(或一列)的两头、两边、四角相邻；三是相重，即以对称轴为中心对折起来重合的位置相邻。 2m个方格合并，消去m个变量。合并圈越大，消去的变量数越多。 最小项的合并规则，对最大项的合并同样是适用的。只是最大项的合并时将卡诺图中相邻的0格圈在一起。合并后的或项由圈内没有变化的那些变量按照0为原变量、1为反变量所组成。 3. 给出逻辑函数的一般与或式 把使与或式中的乘积

19、项为1的各变量取值组合所对应的方格填1其余的填0(或不填)，就可以得到原函数的卡诺图。（某些项重复，填一次即可。） 把能让与或式中的乘积项为1的各变量取值组合所对应的方格填0其余的填1(或不填)，就可以得到反函数的卡诺图。（某些项重复，填一次即可。） 10010111110110011 0 1 X0 0 1 XX X X 1使两个乘积项为1100101111101100101101000001001103. 给出逻辑函数的一般或与式 使每一个和项为0的各变量取值组合所对应的方格填0其余的填1(或不填)，就可以得到该函数的卡诺图。（某些项重复，填一次即可。）01001000100110000 1

20、 0 010XX1X1XXX1X2.6.4 用卡诺图化简逻辑函数 1. 求最简与或式先将逻辑函数用卡诺图表示，在卡诺图上按最小项的合并规则合并所有1的方格，就可以求得逻辑函数的最简与或式。如果合并所有0的方格，化简得到反函数的最简与或式 先从一个最小项圈，K圈（卡洛圈）应尽量大(对应与项中变量数最少)，“ 圈2找4，圈4找8 ”。找另一个从未被圈过的最小项重复的步骤，直到不能找出新的从未被圈过的最小项为止。任何一个最小项可以多次被圈用，但如果在某个K圈中所有最小项均已被别的K圈圈过，则该圈为多余圈。 化简K圈得到与项，并将它们相或， 便得到最简与或式。 为了保证最简要求，需要以最少的卡诺圈数和

21、尽可能大的卡诺圈覆盖所有填1的方格。10101101011010011010110101101001例12 求 的最简与或式。 函数的最简式可能有不同形式，但与项数和每个与项的变量数应该相同，两者是等价的。例13 求 的最简与或式。 0011011001011100例14：求该卡洛图对应当简与或式。多余卡洛圈 2. 求最简或与式要求出某函数的最简或与式， 可以在该函数的卡诺图上按照最大项的规则合并那些0格的相邻项。这种方法简称为圈0合并， 其化简步骤及化简原则与圈1合并类同。例15 求 的最简或与式。 例16 求 的最简或非或非式。 求函数的与非与非式，先得到与或式，取两次反得到。求函数的或非或非式，先得到或与式，取两次反得到。卡诺图上，对“0”方格对应的所有相邻最大项合并，得到原函数的最简或与式。对“0”方格对应的所有相邻最小项合并，得到反函数的最简与或式。2.7 具有任意项的逻辑函数的化简 2.7.1 非完全描述的逻辑函数 逻辑问题分为完全描述和非完全描述两种。如果对于n输入变量的所有2n组取值，逻辑函数都有确定的值，则称这