八常微分方程初值问题的数值解2解析

1、八常微分方程初值问题的数值解2解析Runge-Kutta法的根本思想2Runge-Kutta法的根本思想3二、二阶龙格库塔方法三、三阶龙格库塔方法四、四阶龙格库塔方法解：例2：用经典的Runge-Kutta方法求解下列初值问题 。经典的四阶Runge-Kutta公式： 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321同保存5位的准确值完全一致： 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0954 1.1832 1.2649

2、1.3416 1.4142 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321二、高阶和隐式Runge-Kutta方法注：对于显式N级R-K方法，最多只能得到N级方法； N 1,2,3,4 5,6,7 8,910,11, N N-1 N-2已经证明N级R-K方法的阶 具有下列关系：假设要得到N阶以上方法，那么使用N级隐式R-K方法N级隐式R-K方法的一般形式：N级隐式R-K法可以达到2N阶(1)一级二阶的隐式中点方法：(2)二级四阶的隐式R-K方法：三、变步长方法根本思想：根据精度自动地选择步长对于经典Runge-Kutta方法：Ste

3、p1:设从 出发，以 为步长，经过一步计算得到Step2:取 为步长，再从 出发，经过两步计算得到记如果 ，则将步长折半进行计算，直到 为止此时取 为最终结果；如果 ，则将步长加倍进行计算，直到 为止此时将步长折半一次计算，得到的为最终结果。一、收敛性 /*Convergence*/3 单步法的收敛性、相容性和绝对稳定性对于初值问题 的一种单步法 产生的近似解，如果 对于任一固定的 ，均有 ，则称该单步法是收敛的。类似地可以定义隐式单步法、多步法4的收敛性设初值问题（*）对应的下列单步法是 阶的，且函数 满足对 的Lipschitz条件，即存在常数则该单步法是收敛的，且证明：记由截断误差的定义

4、因为单步法是 阶的：满足其中二、绝对稳定性 /*Absolute Stibility*/计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响首先以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播:设实际计算得到的点 的近似函数值为 ，其中 为精确值， 为误差如果 ，则误差是不增的，故可认为是稳定的例如：对于初值问题精确解为而实际求解的初值问题为精确解为在 处的误差为可见误差随着 的增加呈指数函数增长如果初值问题为精确解为实际求解的初值问题为精确解为在 处的误差为可见误差随着 的增加呈指数函数递减当 时，微分方程是不稳定的；而 时，微分方程是稳定的。上面讨论的稳定性，与数值方法和方程中 有关实验方程：对单步法 应用实验方程，如果 ，当 时，则称该单步法是绝对稳定的，在复平面上复变量 满足的区域，称为该单步法的绝对稳定域，它与实轴的交集称为绝对稳定区间。若单步法是 阶的，则由实验方程可得：例3：分别求Euler法和经典的R-K法的绝对稳定区间。解： Euler公式：将其应用于实验方程绝对稳定域：当 时，绝对稳定区间：经典的R-K公式：当 时，