21-22版 第3课时　分段函数

1、第3课时分段函数第三章3.1.2函数的表示法1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题.学习目标大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们是按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税等.这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴.导语随堂演练课时对点练一、分段函数求值(范围)问题二、分段函数的图象及应用三、分段函数在实际问题中的应用内容索引一、分段函数求值(范围)问题提示是一

2、个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同.知识梳理分段函数(2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系.注意点：分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集.知f(5)514，(2)若f(a22)a4，求实数a的取值范围.解因为a222，所以f(a22)2(a22)12a23，所以不等式f(a22)a4化为2a2a10，延伸探究1.本例条件不变，若f(a)3，求实数a的值.解当a2时，f(a)a13，即a22，不符合题意，舍去；当2a2x，求x的取值范围.解当x2时，f(x)2x可化为x12x，即x1，所以x2；当2x2x可化为3x52x，即x5，所以2x2x可化为2

3、x12x，则x.综上可得，x的取值范围是(，2).反思感悟(1)分段函数求值的方法先确定要求值的自变量属于哪一段区间.然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值.(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.跟踪训练1(1)已知f(x) 使f(x)1成立的x的取值范围是A.4,2) B.4,2C.(0,2 D.(4,2当x0时，f(x)1即(x1)21，解得x0,2，综上，x4,2.(2)函数f(x) 若f(x0)8，则x0_

4、.二、分段函数的图象及应用例2已知函数f(x)x22，g(x)x，令(x)minf(x)，g(x)(即f(x)和g(x)中的较小者).(1)分别用图象法和解析式表示(x)；解在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图.由图中函数取值的情况，结合函数(x)的定义，可得函数(x)的图象如图.令x22x，得x2或x1.结合图，得出(x)的解析式为(x)(2)求函数(x)的定义域，值域.解由图知，(x)的定义域为R，(1)1，(x)的值域为(，1.反思感悟分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象

5、.(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.跟踪训练2函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的值.解当x1时，设f(x)axb，所以f(x)x2；当1x2时，设f(x)kx2，由4k22得k1，所以f(x)x2；三、分段函数在实际问题中的应用例3国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税

6、前)为A.2 800元 B.3 000元C.3 800元 D.3 750元解析由题意知，纳税额y(单位：元)与稿费(扣税前)x(单位：元)之间的函数关系式为当8004 000时，令0.112x420，解得x3 750(舍).反思感悟分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.跟踪训练3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；(

7、2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解设票价为y元，里程为x公里.由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20.由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：函数图象如图.1.知识清单：(1)分段函数的概念及求值.(2)分段函数的图象及应用.2.方法归纳：分类讨论、数形结合法.3.常见误区：(1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.(2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式.课堂小结随堂演练1234解析D(x)0,1，D(

8、x)为有理数，D(D(x)1.12342.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是12341234解析当x1时，x23，得x1，舍去；课时对点练基础巩固123456789101112131415162.下列图象是函数yx|x|的图象的是12345678910111213141516123456789101112131415163.(多选)设函数f(x) 若f(a)4，则实数a等于A.4 B.2 C.4 D.212345678910111213

9、1415164.设xR，定义符号函数sgn x 则函数f(x)|x|sgn x的图象大致是12345678910111213141516解析由题意知f(x)则f(x)的图象为C中图象所示.1234567891011121314155.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为A.13立方米 B.14立方米C.18立方米 D.26立方米16123456789101112131415由y16m，可知x10.令2mx10m16m，解得x1

10、3.16123456789101112131415166.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成，则A.f(f(1)3B.f(2)f(0)C.f(x)x12|x1|，x0,4D.a0，不等式f(x)a的解集为12345678910111213141516解析因为f(1)0，f(0)3，所以f(f(1)3，A正确；f(0)3,0f(2)3，所以f(2)f(0)，B错误；由题图得，当x0,1时，设解析式为yk1xb1(k10)，x1,4时，设解析式为yk2xb2(k20)，图象经过(1,0)，(4,3)，12345678910111213141516所以解析式为yx1；即f(x)x

11、12|x1|，x0,4，C正确；所以不存在大于零的a，123456789101112131415167.某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元.某单位购买x件(xN*，x15)，设总购买费用是f(x)元，则f(x)的解析式是_.解析当x5，xN*时，f(x)5 000 x；当5x10，xN*时，f(x)(5 000500)x4 500 x；当10 x15，xN*时，f(x)(5 0001 000)x4 000 x.123456789101112131415168.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(

12、x)的解析式是_.12345678910111213141516解析由题图可知，图象是由两段组成，当1x0时，设f(x)axb，将(1,0)，(0,1)代入解析式，当0 x1时，设f(x)kx，将(1，1)代入，则k1.12345678910111213141516(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；12345678910111213141516(2)画出函数f(x)的图象；解函数f(x)的图象如图所示.12345678910111213141516(3)写出函数f(x)的值域.解由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3).1234567891011121314151610.中华人民

13、共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3 000元的部分3%超过3 000元至12 000元的部分10%超过12 000元至25 000元的部分20%某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元.(1)请写出y关于x的函数关系式；12345678910111213141516解由题意，12345678910111213141516(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？全月应纳税所得额税率不超过3 000元的部分3%超过3 000元

14、至12 000元的部分10%超过12 000元至25 000元的部分20%解该职工八月份交纳了54元的税款，5 0001时，f(x)x2x2，当x1时，f(x)1x2，1234567891011121314151612.设函数f(x) 若f(a)a，则实数a的值为A.1 B.1 C.2或1 D.1或2解析由题意知，f(a)a，所以实数a的值是1.13.AQI表示空气质量指数，AQI的数值越小，表明空气质量越好，当AQI的数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地3月1日到12日AQI的数值的统计数据，图中点A表示3月1日的AQI的数值为201.则下列叙述不正确的是12345678910

15、111213141516A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是3月9日C.从3月9日到12日，空气质量越来越好D.从3月4日到9日，空气质量越来越好1234567891011121314151612345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.设xR，则函数y2|x1|3|x|的值域为_.y|y212345678910111213141516解析当x1时，y2(x1)3xx2；当0 x1时，y2(x1)3x5x2；当x0时，y2(x1)3xx2.根据函数解析式作出函数图象，如图所示.由图象可以看出，函数的值域为y|y2.16.如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家，15时回家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：12345678910111213141516(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？解最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？12345678910111213141516解10