数字信号处理第二章

1、1数字信号处理课件 第 2 章雷博2上节内容回顾 序列ZT的定义及收敛域的确定 序列逆ZT的求解 留数法3本节主要内容逆ZT求解 部分分式展开法 长除法ZT的性质ZT求解线性常系数差分方程4逆Z变换：从X(z)和收敛域还原出序列x(n). 2.1.3 逆Z变换实质：求X(z)的幂级数展开式各项的系数。5 部分分式展开法用于求序列的Z变换为下述有理分式形式时的逆Z变换。 2部分分式展开法 若假定序列为因果序列，则一定有NM。当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式6 可按留数定理求得各系数Ak(k=0,1,N)如下，为了方便通常利用X(z)/z的形式求取7例2-1-5 已

2、知 求X(z)的原序列。 解：将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式由求系数Ak的公式求得 因为X(z)的收敛域为 ，为因果序列，从而求得 8部分分式展开法特点： 适合于单阶极点的情形； 熟记常用序列的ZT.9 按定义Z变换为z-1的幂级数，只要在给定的收敛域内将X(z)展开成幂级数形式，则级数中的系数就是原序列x(n)。 3长除法(幂级数展开法) 在具体进行长除法时，要根据收敛域，先确定序列是左边序列还是右边序列，对于左边序列Z变换为z的正幂级数，分子分母多项式应按升幂排列展开，对于右边序列，Z变换为z的负幂级数，分子分母应按降幂排列进行展开。 10例 2-1-6 用长除法求 的逆Z

3、变换。 解：由收敛域知，这是一右边序列，用长除法将其 展开成z的负幂级数，将分母多项式按降幂排 列所以11例 2-1-7 用长除法求Z变换 解 由于收敛域 为环域，知x(n)必为双 边序列, 将X(z)部分分式分解 上式括弧中的第一项对应于右边序列，用长除法将其展开成z的负幂级数，将分母多项式按降幂排列，第二项对应于左边序列，用长除法将其展开成z的正幂级数，将分母多项式按升幂排列。的逆Z变换x(n)12对右边序列 由此求得右边序列为 对左边序列 由此求得左边序列为 综上可得 13长除法的特点： 简单 很难得到封闭公式解14利用已知的幂级数展开式求序列的逆Z变换。如下例所示。 例2-1-8 求以

4、下Z变换的逆Z变换 x(n)解：由于收敛域为 ,知序列应为因果序列，利用 的幂级数展开式 故有 及 用 代入上式，因因此x(n)为15一些常用序列的Z变换 见课本P51页16 2.1.4 Z变换的性质与定理1. 线性性 Z变换是一种线性变换，满足叠加原理。如果序列x(n)和y(n)的Z变换分别用X(z)和Y(Z)表示，即则17 例 2-1-9 求序列 的z变换，并确定其收敛域。解：由z变换的线性性，有182.序列的移位如果则n0为正(右移),为负(左移)19例2-1-10 设求 的z变换和收敛域。解：由于由移位特性所以203.序列乘指数序列(z域尺度变换)证明214.序列的反褶5.序列的共轭若

5、 则若 则226.微分性质证明即23例 2-1-11 利用微分性质求下面z变换的逆z变换x(n).解：首先将X(z)对z进行微分得根据微分性质，有但所以247.初值定理 如果x(n)为因果序列，它的初值可由下式求得这是因为258.终值定理 若x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有26证：对因果序列 x(n)=0, n1，这样允许对上述等式的两端取z1的极限27289.卷积定理若则其中29证明：30 由于Y(z)=X(z)H(z)，所以Y(z)的收敛域是X(z)和H(z)的重叠部分，一般来说要比原来的小，但如果其中一个Z变换在收敛域边界上

6、的极点被另一个的零点所抵消，则收敛域会扩大。 卷积定理是离散时间信号与系统分析中最重要的定理之一。按照卷积定理，显然有31例 2-1-12 设 ， ， , 用卷积定理求 解： 由于按卷积定理得由于收敛域为 ， 可知序列必定是因果序列。用围线积分求逆Z变换得32在围线内有两个极点z=a和z=1，从而求得3310.序列相乘（复卷积定理）若则同时有 其中C是在v平面上 与 公共收敛域中绕原点的一条闭合曲线，v的收敛域满足 以及 将此两个不等式相乘即得34若序列都是因果序列，则由于 ，则有现证明 按Z变换定义得 35例 2-1-13 已知 用复卷积定理求 解 由于 按复卷积定理有 36 在v平面中，被

7、积函数有2个极点，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收敛域为故只有一个极点v2=b在围线积分内。用留数定理求得3711.帕斯维尔定理(Parseval) 若则且其中C为在由下述不等式确定的收敛域内，绕原点的一条闭合曲线。 38 证明: 按序列的共轭性质式有 则由复卷积定理有 由于假设条件规定 ,因此 =1在收敛域内。因此可令z=1，有 帕斯维尔定理实际上能量守恒定理在Z域中的反映。39 2.5.5 时域离散系统 差分方程的Z变换解法 利用Z变换将差分方程变成了代数方程； 单边Z变换的移位特性清楚给出了输出与输入及初始状态之间的关系。40 当输入序列x(n)为因果序

8、列时，线性时不变系统的常系数差分方程描述为1零状态响应的解法 在系统初始状态为零，即y(n)=0(n0)时，对上式两边取双边Z变换，由Z变换的移位特性可得41于是 由于常系数的差分方程中的系数ak和bk是已知的，按上式可求得H(z)，这样由Z变换的卷积定理，当x(n)给定时就可由下式求得响应y(n)，这就是差分方程的零状态响应的Z变换解法。42 当系统的初始状态不为零时，除了考虑零状态响应外还必须考虑零输入响应。这时差分方程的Z变换解法需使用单边Z变换。 由于序列移位的单边Z变换与双边Z变换不同，下面先说明单边Z变换的移位特性。 2初始状态不为零的解法 43设 则这就是序列移位后的单边Z变换。 4