新教材2021-2022学年人教A版选择性必修第二册 -　变化率问题 学案

1、51导数的概念及其意义51.1变化率问题新课程标准解读核心素养1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想数学抽象2.体会极限思想数学抽象2020年珠穆朗玛峰(简称珠峰)新测高度8 848.86米，是世界第一高峰，是很多登山爱好者的终极之地很多人为了征服这座山峰，每年都会向它发起挑战，但到现在为止能顺利登顶的人并不多当山势的陡峭程度不同时，登山队员的攀登的难度也是不一样的问题你知道如何用数学知识来反映山势的陡峭程度吗？知识点一平均速度与瞬时速度1平均速度：物体的位移与所用时间的比值，通常指物体在某一时

2、间段的速度若物体运动的位移与时间的关系式是sf(t)，函数f(t)在t0与t0t之间的平均速度是eq f(f（t0t）f（t0）,t).2瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度若物体运动的位移与时间的关系式是sf(t)，当t趋近于0时，函数f(t)在t0与t0t之间的平均变化率eq f(f（t0t）f（t0）,t)趋近于常数，我们把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度即eq o(lim,sdo4(t0) eq f(s,t)eq o(lim,sdo4(t0) eq f(f（t0t）f（t0）,t).eq avs4al()从物理的角度看，瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点，即让时间

3、段t，tt或者tt，t中的时间间隔|t|无限趋近于0，此时时间段t，tt或者tt，t内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度 一物体按规律s(t)2t2运动，则其在时间段1，2内的平均速度为_，在t3时的瞬时速度是_解析：由题意知，在1，2内的平均速度为eq f(s,t)eq f(222212,21)6，此物体在t3时的瞬时速度为eq o(lim,sdo4(t0) eq f(s,t)eq o(lim,sdo4(t0) eq f(s（3t）s（3）,t)eq o(lim,sdo4(t0) eq f(2（3t）2232,t)eq o(lim,sdo4(t0) eq f(2（t）212t,t)eq

4、o(lim,sdo4(t0) (2t12)12.答案：612知识点二曲线的割线与切线1割线与切线的关系如图所示，当点Pn(xn，f(xn)沿着曲线无限接近点P(x0，f(x0)时，割线PPn无限趋近于一个确定的位置这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线2割线斜率与切线斜率的关系割线PPn的斜率是kneq f(f（xn）f（x0）,xnx0)，当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率k，即keq o(lim,sdo4(x0) eq f(f（x0 x）f（x0）,x)(xxnx0)eq avs4al()对曲线在某点处的切线理解的三个注意点曲线在某点处的切线：与该点的位置有

5、关；要根据割线是否有极限位置来判断与求解如割线有极限位置，则在此点有切线，且切线是唯一的；如割线不存在极限位置，则曲线在此点处无切线；曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个交点 过曲线yf(x)eq f(x,1x)图象上一点(2，2)及邻近一点(2x，2y)作割线，则当 x0.5时割线的斜率为_，在点(2，2)处的切线斜率为_解析：割线的斜率keq f(y,x)eq f(f（2x）f（2）,x)eq f(f（2.5）f（2）,0.5)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2.5,12.5)f(2,12)eq f(2,3).eq o(lim,sdo4(x0) eq f(y,

6、x)eq o(lim,sdo4(x0) eq f(f（2x）f（2）,x)eq o(lim,sdo4(x0) eq f(f(2x,1（2x）)（2）,x)eq o(lim,sdo4(x0) eq f(1,1x)1，故切线斜率为1.答案：eq f(2,3)1求物体运动的平均速度例1(链接教科书第61页练习2题)某质点沿曲线运动的方程为f(x)2x21(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x1到x2的平均速度为()A4B8C6 D6解析由题得该质点从x1到x2的平均速度为eq f(f（2）f（1）,21)eq f(81（21）,1)6.故选D.答案Deq avs4al()求物体运动的平均速度

7、的三个步骤第一步，求时间的变化量xx2x1；第二步，求位移的变化量yf(x2)f(x1)；第三步，求平均速度eq f(y,x)eq f(f（x2）f（x1）,x2x1). 跟踪训练质点的运动规律为st23(t表示时间，s表示位移)，则在时间3，3t中，质点的平均速度等于()A6t B6teq f(9,t)C3t D9t解析：选A平均速度为eq o(v,sup6()eq f(（3t）23（323）,3t3)6t，故选A.求物体运动的瞬时速度例2(链接教科书第61页练习1题)某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度解eq f

8、(s,t)eq f(s（1t）s（1）,t)eq f(（1t）2（1t）1（1211）,t)3t，eq o(lim,sdo4(t0) eq f(s,t)eq o(lim,sdo4(t0) (3t)3.物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.母题探究1(变设问)若本例条件不变，试求该物体的初速度解：求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度eq f(s,t)eq f(s（0t）s（0）,t)eq f(（0t）2（0t）11,t)1t，eq o(lim,sdo4(t0) (1t)1.物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2(变设问)若本例条件不变

9、，试求该物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又eq f(s,t)eq f(s（t0t）s（t0）,t)(2t01)t，eq o(lim,sdo4(t0) eq f(s,t)eq o(lim,sdo4(t0) (2t01t)2t01.则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.eq avs4al()求瞬时速度的步骤(1)求物体运动位移与时间的关系ss(t)；(2)求时间变化量t，位移变化量ss(t0t)s(t0)；(3)求平均速度eq f(s,t)；(4)求瞬时速度eq o(lim,sdo4(t0) eq f(s,t). 曲线的切线

10、问题例3(链接教科书第64页练习2题)(1)已知曲线方程为yxeq f(1,x)，则该曲线在点x1处的切线斜率为_；(2)求曲线f(x)x21在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程(1)解析y(1x)eq f(1,1x)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,1)x1eq f(1,1x)xeq f(x,1x)，eq f(y,x)eq f(xf(x,1x),x)1eq f(1,1x)，斜率keq o(lim,sdo4(x0) eq f(y,x)eq o(lim,sdo4(x0) eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,1x)112.答案2(2)解显然点P(1，2)

11、在曲线上，keq o(lim,sdo4(x0) eq f(f（1x）f（1）,x)eq o(lim,sdo4(x0) eq f(（1x）21（121）,x)eq o(lim,sdo4(x0) eq f(（x）22x,x)eq o(lim,sdo4(x0) (x2)2.故切线方程为y22(x1)，即y2x.eq avs4al()1过曲线上一点求切线方程的步骤2求过曲线yf(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的步骤(1)设切点(x0，f(x0)；(2)利用所设切点求斜率keq o(lim,sdo4(x0) eq f(f（x0 x）f（x0）,x)；(3)用(x0，f(x0)，P(x1，y1)表示

12、斜率；(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k；(5)根据点斜式写出切线方程；(6)将切线方程化为一般式 跟踪训练求曲线yeq f(4,x2)在x2处的切线方程解：yeq f(4,（x2）2)eq f(4,22)eq f(4,（x2）2)1eq f(（x）24x,（x2）2)，eq f(y,x)eq f(x4,（x2）2)，keq o(lim,sdo4(x0) eq f(y,x)eq o(lim,sdo4(x0) eq f(x4,（x2）2)eq f(4,4)1.又x2时yeq f(4,22)1.切线方程为y11(x2)，即xy30.1某物体的运动方程为yx2，在x0到x0 x之间的平均变化

13、率为k1，在x0 x到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()Ak1k2Bk1k2Ck1k2 D不确定解析：选Dk1eq f(f（x0 x）f（x0）,x)eq f(（x0 x）2xeq oal(2,0),x)2x0 x，k2eq f(f（x0）f（x0 x）,x)eq f(xeq oal(2,0)（x0 x）2,x)2x0 x.因为x可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定2一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为s(t)eq f(1,8)t2，当t2时，此木块在水平方向的瞬时速度为()A2 B1C.eq f(1

14、,2) D.eq f(1,4)解析：选Cseq f(1,8)(2t)2eq f(1,8)22eq f(1,8)44t(t)24eq f(1,8)(t)24teq f(s,t)eq f(1,8)teq f(1,2)eq o(lim,sdo4(t0) eq f(s,t)eq o(lim,sdo4(t0) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)tf(1,2)eq f(1,2).故当t2时，此木块在水平方向的瞬时速度为eq f(1,2) m/s.故选C.3(多选)已知物体做自由落体运动的方程为ss(t)eq f(1,2)gt2，当t无限趋于0时，eq f(s（1t）s（1）,t)无限趋于9.8 m/s，那么下列说法不正确的是()A9.8 m/s是在01 s这一段时间内的平均速度B9.8 m/s是在1 s到(1t)s这段时间内的速度C9.8 m/s是物体在t1 s这一时刻的瞬时速度D9.8 m/s是物体从1 s到(1t)s这段时间内的平均速度解析：选A