常微分方程的起源与发展

1、常微分方程的起源与发展第2O卷第3期2006年6月高等函授(自然科学版)JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)Vo1.20No.3June2006文章编号:10067353(2006J030034(12J一03常微分方程的起源与发展张良勇,董晓芳(燕山大学理学院.河北秦皇岛066004)摘要:常微分方程是l7世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.本文从常微分方程的起源谈起.分四个时期介绍其发展过程.关键词:常微分方程;起源;发展中图分类号:NO9文献标识码:A许多有关微分方程的教材都会提到发现海王星

2、的故事.海王星的发现是人类智慧的结晶,也是微分方程巨大作用的体现,体现了数学演绎法的强大威力.1781年发现天王星后,人们注意到它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结果不符.于是有人怀疑万有引力定律的正确性;但也有人认为,这可能是受另外一颗尚未发现的行星吸引所致.当时虽有不少人相信后一种假设,但缺乏去寻找这颗未知行星的办法和勇气.23岁的英国剑桥大学的学生亚当斯承担了这项任务.他利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分方程,来求解和推算这颗未知行星的轨道.1843年1O月21日他把计算结果寄给格林威治天文台台长艾利,但艾利不相信”小人物”的成果,置之不理.两年后,法国青年勒威耶也开始从事

3、这项研究.1846年9月18日,他把计算结果告诉了柏林天文台助理员卡勒,23日晚,卡勒果然在勒威耶预言的位置上发现了海王星.对于数学,特别是数学的应用,微分方程所具有的重大意义主要在于:很多物理与技术问题可以化归为微分方程的求解问题.本文以此为契机,阐述常微分方程发展过程中所经历的四个重要时期及微分方程的应用意义.1常微分方程的经典阶段以通解为主要研究内容就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的着作一样,常微分方程最早的着作出现在数学家们彼此的通信中,而且通信中所提到的解法可能仅仅是对某个特例的说明.所以现在很难确切地说是谁首先得到某些概念或结论的.1676年,莱布尼茨在给牛顿的信中第一次提出

4、”微分方程”这个数学名词.常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的.其雏形的出现甚至比微积分的发明还早.纳皮尔发明对数,伽利略研究自由落体运动,笛卡儿在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等等,实际上都需要建立和求解微分方程.牛顿和莱布尼茨在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性,实际上是解决了最简单的微分方程f(z)的求解问题.此外,牛顿,莱布尼茨也都用无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程.最早用分离变量法求解微分方程的是莱布尼茨.他用这种方法解决了形如ydx/dy一,(z)g()的方程,因为只要把它写成dx/f(x)一g(z)dy/y,就能在两边进行积分.但莱布尼茨并没有建立一般

5、的方法.l691年他把自己在这方面的工作写信告诉了荷兰科学家惠更斯.同年他又解出了一阶齐次方程一厂(y/x):他令一咄,代入方程就可以使变量分离.1693年,惠更斯在教师中明确提到了微分方程,而莱布尼*收稿日期:20060426作者简介:张良勇(1980一).男,r.q:It,-#1人.燕山大学理学院硕士研究生.主要从事常微分方程方面的研究工作.34第2O卷第3期2006年6月高等函授(自然科学版)JournalofHigherCorresp()ndenceEducation(NaturalSciences)VO1.2ONO.3June2006茨同年则在同一家杂志的另一篇文章中,称微分方程为特

6、征三角形的边的函数,并给出了线性方程dy/dxp(Lz)Y+q(Lz)的通解表达式:rrY()=打(1q()Jpd+f),J其中c是任意常数.1740年,欧拉用自变量代换z把欧拉方程线性化而求得“.Lz一+1Lz一171n-Iy+十anyoU工UL_,卜_1的通解,其中a(i一1,2,州)是常数.通解与特解的概念是1743年欧拉定义的,同时欧拉还给出恰当方程的解法和常系数线性齐次方程的特征根解法.微分方程的解有时也称该方程的积分,因为求微分方程解的问题在某种意义上正是普通积分问题的一种推广.1694年,瑞士数学家约翰?伯努利在教师上对分离变量法与齐次方程的求解做了更加完整的说明.他的哥哥雅科布

7、?伯努利发表了关于等时J司题的解答,虽然莱布尼茨已经给出了这个问题的一个分析解.微分方程教材中所见到的伯努利方程,最初就是雅科布?伯努利于1695年提出的.1696年莱布尼茨证明:利用变量替换Y卜,可以将方程化为线性方程(与的一次方程).同年,雅科布?伯努利实际上用分离变量法解决了这一方程,约翰?伯努利给出了另一种解法,还提出了常系数微分方程的解法.17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段,以求通解为主要研究内容.在这一阶段,还出现了许多精彩的成果.例如1694年,莱布尼茨发现了方程解族的包络,1718年泰勒提出奇解的概念,克莱罗和欧拉对奇解进行了全面研究,给出从微分方程本身求得奇解的

8、方法,参加奇解研究的数学家还有拉哥朗日,凯莱和达布等人.2常微分方程的适定性理论阶段以定解问题的适定性理论为研究内容1685年,伟大的数学家莱布尼茨向数学界推出求解方程(黎卡提方程的特例)dy/dx一.27+Y的通解的挑战性问题,且直言自己研究多年未果.这个方程虽形式简单,但经150年几代数学家的全力冲击仍不得其解.1841年法国数学家刘维尔证明意大利数学家黎卡提1724年提出的黎卡提方程dy/dx(Lz)Y十q(Lz)Y十r(Lz)的解一般不能通过初等函数的积分来表达,从而让大家明白了不是什么方程的通解都可以用积分手段求出的.由于碰了黎卡提方程的钉子,从18世纪下半叶到19世纪,人们从求通解

9、的热潮转向研究常微分方程定解问题的适定性理论,此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段.19世纪2O年代,柯西建立了柯西问题dyf(x,y)l(z.)一Yo解的存在唯一性定理.1873年,德国数学家李普希兹提出着名的”李普希兹条件”,对柯西的存在唯一性定理作了改进.在适定性的研究中,与柯西,李普希兹同一时期,还有皮亚拿和比卡,他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法,皮亚拿在仅仅要求f(x,)在(z.,Y.)点邻域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性.后来这方面的理论有了很大发展,这些基本理论包括:解的存在及唯一解,延展性,解的整体存在性,解对初值和参数的连续依赖性和可微性,奇

10、解等等.这些问题是微分方程的一般基础理论问题.3常微分方程的解析理论阶段以解析理论为研究内容19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段,这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论,运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到极其重要的一些特殊函数.1816年贝塞尔研究行星运动时,开始系统地研究贝塞尔方程z+xy+(z一n)Y一0,这个方程的特殊情形早在1703年雅科布?伯努利给莱布尼茨的信中就已提到.后来丹尼尔?伯努利和欧拉也都讨论过这一方程,傅立叶与泊松也讨论过它.贝塞尔得到了此方程的两个基本解-厂(z)和-厂一(z),J(z)称为第一类贝塞尔函数或,阶贝塞尔函数,J一(z

11、)称为第二类贝塞尔函35第2O卷第3期2006年6月高等函授(自然科学版)Journalof进而得到了系数C2的表达式,C2三0.1818年,贝塞尔证明了J(z)有无穷个零点.1824年,贝塞尔给出递推公式xJ抖1(z)一27(z)+-,1(z)一0.后来有众多数学家和天文学家得出贝塞尔函数的数以百计的关系式和表达式.1944年,剑桥大学出版了G.N.Watson的巨着贝塞尔函数教程,是贝塞尔函数研究成果的集成.由此可见,贝塞尔为微分方程解析理论做出了巨大贡献.在解析理论中另一个极重要的内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果.1784年他出版的代表作行星外形的研究中研究了勒让德方程(

12、zX)一2xy+n(n+1)一0,给出了幂级数解的形式.与此同时,厄米特研究了方程一2xy+Ay一0,X(一.,+.),得到了其幂级数解.当是非负偶数即为着名的厄米特多项式.切比雪夫在研究方程(1一X)一xy+声Y=0(声是常数)时,得出lXl1时的两个线性无关解(基本解),且证明当是非负整数时,此方程有一个解为次多项式,此多项式即为着名的切比雪夫多项式.另外,在常微分方程的解析理论研究中,也有数学王子高斯的成果.1821年,他研究了高斯几何方程z(1一z)+y一(口+p+1)z)Y一一0,得到级数解F(a,p,y;z)一1+竺!竺垒z1?2?y(y+1)一.这个级数称为超几何级数.同时他还建

13、立了公式36F(a,JB,y,1)一/(7)二/(7-a-f1),并指出对a,JB,y的不同值,此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数.19世纪方程解析理论中一个重点成果是关于奇点的富克斯理论.他看到着名的贝塞尔方程,勒让德方程和高斯几何方程等,如果表成形如Y+声(z)+(z)Y一0的形式,则系数有奇异性.于是富克斯深入研究这种齐次线性方程在奇异点邻域内解的性质,他把X改成z,在复平面上讨论此种方程,得出许多成果.随后,经GeoryFrobenlus,斯图姆和刘维尔各自相应的研究,丰富了方程解析理论的内容.1877年,Hill研究二阶方程dx/dt+O(t)x一0,其中口()

14、以27c为周期,用他研究的结论证实月球近地点的运动是周期性的,开创了周期系数方程的研究,庞加莱也参与了Hill方程的研究,并在Hill工作的启发下开创了微分方程定性研究的新时代.4常微分方程的定性理论阶段以定性与稳定性理论为研究内容早在19世纪,庞加莱开创了微分方程定性理论研究,李雅普诺夫则开创了微分方程运动稳定性理论的研究.到了2O世纪是微分方程的定性理论阶段.自从1841年刘维尔证明黎卡提方程dy/dxX+Y不存在初等函数积分表示的解之后,研究方程的方法有了明显变化,数学家们开始从方程本身(不求解)直接讨论解的性质.法国数学家们研究的三体问题就不能用已知函数解出,从而运动的稳定性问题就不可

15、能通过考察解的性态而得到.庞加莱终于找到了从方程本身找出答案的诀窍,1881年到1886年,他在(Jour.deMath)杂志上用同一标题关于由微分方程确定的曲线的报告发表了4篇论文,他说:”要解答的问题是动点是否描出一条闭曲线?它是否永远逗留在平面某一部分内部?换句话说,并且用天文学的话来说,我们要问轨道是稳定的还是不稳定的?”从1881年起,庞加莱独创出常微分方程的定性理论.此后,为了寻求只通过考察微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法,他从非线性方程(下转第39页)第2o卷第3期2006年6月高等函授(自然科学版)JournalofHigherCorrespondenceEduca

16、tion(NaturalSciences)Vo1.2ONo.3June2006又A一IAIAB一IBIB-,故PAPB,即AB.2.9设A是”阶可逆的,则A可表示成A的多项式证A的特征多项式厂()一iAXEi一(一1)”(十l十十一l十,).因为A可逆f(0)一一(一1)iAi0,所以f(A)=A十1A一十十,.A十anE一0.一(A一十.A一十十一.E)AEA一一(A一十.Az十十,r.E).又AA=IA;E,所以A=jA1A_.=(一1)”(A十“IA十十”E).本文通过对伴随矩阵性质的讨论和研究,揭示了伴随矩阵更丰富,更深刻的内涵,灵活地运用这些性质有助于拓宽解决线性代数问题的思路.参考

17、文献Elq毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳M.武汉:华中科技大学出版社,2000.3:128.2李启文.谢季坚.线性代数内容,方法与技巧M.武汉:华中科技大学出版社.2003.7:325326.(上接第36页)出发,发现微分方程的奇点起关键作用,并把奇点分为四类(焦点,鞍点,结点,中心),讨论了解在各种奇点附近的性状,同时还发现了一些与描述满足微分方程的解曲线有关的重要的闭曲线如无接触环,极限环等,同时,庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题,成为动力系统理论的开端.美国数学家伯克霍夫以三体问题为背景,扩展了动力系统的研究.另一位常微分方程定性理论的主要创始人是挪威数学家班迪克逊,从1900年起,他开始从事由庞加莱开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作,1901年发表着名论文由微分方程定义的曲线.常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫创立的运动稳定性理论.1892年李雅普诺夫的博士论文关于运动稳定性的一般问题给出了判定运动稳定性的普遍的数学方法与理论基础.关于李雅普诺夫意义下的稳定性和伯克霍夫意义下的极限集的表现形式是多姿多彩的.到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性