三角函数和平面向量

1、 三角函数和平面向量三角函数一、本章知识结构解三角形一正弦定理-余弦定理三角形面积公式二、高考要求1理解角的有关概念，并能进行弧度与角度的互换。2掌握三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的图象和性质，会用五点法作函数y=Asin（ex+（图象。3掌握两角和与差的正弦、正弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、正弦、正切公式，并会用公式进行三角函数式的化简和求值、证明。4掌握正弦、余弦定理，并能应用解三角形。5掌握平面向量有关知识，如向量的坐标运算、平面向量的数量积、向量垂直的条件、夹角公式等，会用向量方法解决简单问题。常考点：1）三角函数的定义；2）同角三角函数的基本函数关系式；3）三角函数的图象

2、和性质；4）三角恒等变换；5）正弦、余弦定理的应用；6）解三角形；7）平面向量的概念及运算；8）平面向量的基本定理及坐标表示；9）平面向量的数量积。易考点：1）三角函数的图象和性质；2）三角恒等变换；3）正弦、余弦定理的应用；4）解三角形；5）平面向量的基本定理及坐标表示；6）平面向量的数量积。必考点：三角函数的图象和性质，三角恒等变换，解三角形，平面向量的数量积。三、热点分析1三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一。近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等。高考对三

3、角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容；二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，仍是探索拓展、综合应用的热点考查题型，以三角函数为载体的立意新颖的应用性试题将备受命题者的青睐，一般出现在前两个解答题的位置。无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%。2平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一。高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%。对平面向量基本概念、平面向

4、量的加减运算、平面向量的基本定理的考查仍以客观题的形式呈现，对向量平行、向量垂直、数量积问题应多加重视，这在未来高考中仍是命题的重点和热点。近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义；二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用。四、三角函数的复习建议1.要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念头脑中要有一根弦：角的范围已经扩展了，系列角如何表示，相关角如何表示。2在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式

5、进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取3单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，利用三角函数线进行求角和解三角不等式，有时候会更简单。4要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，或者换元后成为一个初等函数式（换元后注意定义域的确定），进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性5函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调区间的两个函数值才能由它的单调性来比较大小，要注意单调区间是一个连续区间。6三角函数很好地体现了对称性和周期性的关系，要把这种关系拓展到一般函数。对称性用处：对称轴和最值对应,

6、对称点和零点对应.7熟练三角函数图象的作图方法，注意定义域有限制的作图训练。通过作图去体验和巩固图象间的变换关系。8熟悉公式的记忆和运用（1）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；（2）两角和差的正弦、余弦、正切公式的正面运用和逆用；（3）倍角公式以及变形，体会降幂和和差化积的意图；（4）合一变形:asinx+bsinx=丫石莎“口十）。但要控制难度，限制在是特殊角的范围内。提醒:一些常见的变形技巧:(1)化切为弦；(2)遇公因式提取公因式;(3)凑角(不要盲目用一些公式展开,关键是看已知角和所求角有没有特殊关系。比如相差180度,90度等)9关注三角函数在三角形中的应用，结合平面几何的性质寻找边

7、角关系，要特别重视正弦定理和余弦定理在解三角形中的计算，掌握三角形面积公式的多种计算方法。三角函数这部分内容在高考中的难度要求是不高的，所以在复习的时候要控制难度，但由于公式多，性质复杂，变形有一定的技巧，所以要花较多的时间加强训练，学习时注意化归思想和数形结合思想的渗透，注意易错点。五、平面向量的复习建议1透彻理解向量的概念。向量概念的两大要素“方向和长度”使向量既有“形”又有“数”的特征，既联系几何又联系代数，是高中数学重要的知识网络交汇点，是数形结合的重要载体。要抱着这样的观点去学习向量知识。2先从向量的几何特征进行学习，包括向量相等，向量共线的概念，平面向量的基本定理，以及向量的加减、

8、实数与向量的积、向量的数量积等运算的几何表示，目的是给向量建立一个系统的几何体系。3向量的坐标运算使得几何问题可以通过代数运算加以解决，在对向量的几何特征掌握透彻的前提下，理解记忆相关公式。如：向量共线、垂直的充要条件，向量的数量积运算，线段定比分点公式、平移公式等。4向量的数量积运算是平面向量的重要内容，它与实数之间积的运算既有区别又联系，要辨别清楚。向量的数量积运算是采取几何运算公式还是坐标运算公式，要甄别清楚；两个公式同时运用，又可构造出一个等式。要会灵活应用向量的数量积公式求向量的模和两点间的距离。5要把平面几何的性质、定理迁移到平面向量来，使得平面向量的几何推导成为可能，但题目的难度

9、要有所控制。如：在平行四边形ABCD中，AB=AD若则(AB+AD)-(AB-AD)=0即菱形模型。AB+AD=AB-AD若AB丄AD，则即矩形模型。在AABC中,OA2=OB2=OC2是AABC的外心;AB+AC定过BC的中点；通过MBC的重心;OA+OB+C二0是AABC的重心OA-OB二OB-OC二OC-OA,O是AABC的垂心.入(也+竺)|AB|IACeR）通过AABC的内心;rb-b-fc-a-OA+b-OB+c-OC=0则O是AABC的内心;S二丄fAB2-AC2-(ABAC)2AABC26适当训练以平面向量为背景的解析几何问题。解析几何题中往往以向量的形式来揭示几何条件，有的要

10、懂得看出几何特征，有的是利用坐标运算直接转化为数的关系。在解析几何中也经常利用向量解决有关角度和垂直，以及点分线段的问题，会使得问题简单化。多训练一些这样的题目，就不会感到畏惧了。三角函数和平面向量做为高中数学的两个重要分支，内容繁杂，需要用心学习，把基础知识和基本技能练扎实，并且适当地提高能力，要把握好学习这两部分内容的度。典例分析例1（1）已知sinacosa二v2,ae（0,兀）,则tana二（）A-1B一2C.21(2)若tan0+tan0=4，则sin20=()111A.B.C.543D1Dn4.n(3)(2012江苏文)设a为锐角，若cos(a+)=，则sin(2a+)的值为651

11、2（4）（2012广东）已知函数f（x）=2cos（rnx+；）（其中w0,xeR）的最小正周期为10n。6求w的值；设a、卩e0,n,f（5a+5兀）二一6,f（5卩一5兀）二16，求cos（a+卩）的值。_235617【经验之谈】1三角函数式的化简与求值的原则：化为同名同角，常用的技巧有：切割化弦降幂、异角化同角，高次化低次。2三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换，特别是用“1”的代换，如仁cos2x+sin2x等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x二（sin2x+cos2x）=1+cos2x；配凑角：a=（a+卩）-卩，卩=了咅-土尹等。3降次与升次。即倍

12、角公式的变形。，亠亠1八asina+bcosa4化弦（切）法尤其齐次式形如：（5+dcosa。5.引入辅助角。asin0+bcos0=.a2+b2sin(0+p)。思考题(1)(2012山东)若e,sin20=洛，则sine=()84B.53D.4（2）（2012江西临川）已知Q是第二象限角,其终边上一点P（皿），且cosa=寻x，B.-4（3）（2012北京海淀）若tana二2，则cos(2a兀、+2）=则sin(a+与)=(J10D.4(2012江西文)已知f(x)=sin2(x+才)，若a=f(lg5),b=f(lg|)，则()a+b=1D.a-b=1A.a+b=0B.a-b=0C.例2

13、（1）（2012课标全国）已知0,的取值范围是（)r15r13A.24B.24C.函数f（x）=sinx+）在（万,兀）上单调递减，则0,1D.（0,22(2)(2012河南郑州)设函数f(x)=cosx+p)-j3sinx+p)y=f（x）的最小正周期为兀，且在（0,才）上为增函数y=f（x）的最小正周期为兀，且在（，才）上为减函数c.y=f（x）的最小正周期为2兀，且在（0,兀）上为增函数 6 D.y=f(x)的最小正周期为2兀，且在(0,兀)上为减函数(3)(2012山东)已知向量m二(cos,l),n二(、；3Asinx,20)，函数f(X)=mn的最大值为6。求A；将函数y=f(x)

14、的图像向左平移二个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的2，纵坐标不变，得到函数y=g的图像。求g(x)在0,54上的值域。(4)(2012北京文)已知函数f(xL(血XC0S力血2X。sinx求f(x)的定义域及最小正周期；求f(x)的单调递减区间。【经验之谈】1已知函数图像求函数y=Asin(x+申)(A0,e0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，再由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定P，但由图像求得的y二Asingx+申)(A0,w0)的解析式一般不唯一，只有限定p的取值范围，才能得出唯一解，否则9的值不确定，解析式也就不唯一。2.研究函数y

15、=Asin(wx+9)的性质关键把wx+p作为一个整体，求单调性时，注意w的正负。求三角函数的周期，通常应将函数式化为“三个一”的形式，即只有一个函数名，角度唯一，次数为一次，然后借助于常见函数的周期来求解。思考题(2012浙江)把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平衡1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是()(2012陕西)函数f(x)=Asin(wx：)+1(A0,w0)的最大值为3,其图像相邻两6兀条对称轴之间的距离为-。求函数f(x)的解析式；设ag(0,壬),f(y)二2，求a的值。(3)(2012山东文)函数y二2sin

16、(；)(0 x0求函数y=f(x)的值域;若f(x)在区间-2込上为增函数，求的最大值。例3(1)(2012上海)在AABC中，若sin2A+sin2BBC，3b=20acosA，则sinA:sinB:sinC为()A.4：3：2B.5：6：7C.5：4：3D.6：5：4兀(3)(2012江西)在AABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知A二，兀兀bsin(+C)-csin(+B)=a.44求证：BC=；若a=，求AABC的面积。(4)(2012江苏)在AABC中，已知aBAC=3BABC.求证：tanB=3tanA；J5若cosC=，求A的值。【经验之谈】本考点知识是高考必考内容，

17、重点考查正弦、余弦定理、面积公式，主要是“知三求三”问题，关键是边角互化，化为同一种形式。思考题(1)(2012天津)在AABC中,内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b二5c,C二2B，则cosC=()A.25B.25c土25D.24252)2012重庆)设AABC的内角A，BC的对边分别为a,b,c，且35则c=cosA=一,cosB=,b=3，513(3)(2012课标全国)已知a,b,c分别为AABC三个内角A，B，C的对边，acosC+、：3asinCbc二0求A；若a=2，AABC的面积为p3,求b,c(4)(2012浙江文)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b

18、,c，且bsnA二、.；3acsB求角B的大小；若b=3,sinC=2sinA，求a,c的值。例4（2012.福建厦门）如图6-1,从山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆，其中PN的长为a米,NM的长为2a米，在P处测得M，N的仰角分别为45，30。，在N处测得M的仰角为30。求此山的高度；试求平面PMN与水平面所成角的余弦值。【经验之谈】求解该类问题时应注意以下两点：1熟悉方位角、方向角等基本概念，熟悉“上北下南，左西右东”等基本的作图常识；2筛选有用信息，作出示意图（或已知示意图，结合图理解题意），将题目转化为成解三角形问题。思考题（1）某人在塔的正东沿着南偏西60。的方向前进40米后，

19、望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最在仰角为30。，求塔高。（2）2012年8月20日，渔政船甲、乙同时收到我国南海黄岩岛上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40。方向距渔政船甲70km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20方向的B处,两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30km到达D处，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙（渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙），此时B、D两处相距42km，问渔政船乙要航行多少千米才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救

20、？例5（2012浙江）设a,b是两个非零向量（）若|a+b=|a|_|b|,贝临丄b若a丄b,则a+b=|a|b若|a+b=|aHbl，则存在实数九，使得b=九a若存在实数九，使得b=Xa，则|a+b=问一0|(2)(2012大纲全国)AABC中，AB边的高为CD,若CB=a,CA=b,ab=0,a=h|b|=2，则AD=()1223344A.=a一二bB.=a一：bc.匚a一匚bD.二a一二b3335555(3)(2012广东)若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则BC=()A.(-2,-4)B.(2,4)c.(6,10)D.(-6,-10)【经验之谈】灵活运用向量的几何意义及基本定理

21、是向量的基本功、其常见的技巧有：1灵活选取有公共点的两个不共线向量为基底；2.注意共线向量定理的应用；3充分利用首尾相连的向量表示等量关系；4善于把一个向量通过拆、凑、加、减表示多种形式。思考题(2012安徽)在平面直角坐标系中，点0(0,0),P(6,8),将向量OP绕点O按逆时针方3兀H向旋转才后得向量OQ，则点Q的坐标是()A.(-7、：2-叮2)B.(7：22)C.(4J6,2)D.(4、6,2)(2012山东济南一模)已知A,B,C是平面上不共线的三点，0是AABC的重心，动一111点P满足OP=3(2OA+2OB+2OC)，则点P一定为三角形ABC的()A.AB边中线的中点B.AB

22、边中线的三等分点(非重心)C.重点D.AB边的中点abAc(、例6(1)已知M点和wc，满足而=OA+x(阿nB+押花)，G&R)，则动点M一定过AABC的()A.内心B.垂心C.重心D.中心(2)已知0是AABC所在平面内的一点A、B、C所对的边分别为a,b,c，若aOA+bOB+cOC=0，则0是AABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心【经验之谈】向量的几何表示是高考的热点问题，特别是三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的规律如下：11PG=3(PA+PB+PC)oG为AABC的重心，PA+PB+PC=0oP为AABC的重心；九(aB+AC),九w0,+8)是BC边上的中线

23、AD上的任意向量，过重心；1一AD二2(AB+AC)，即已知AD是AABC中BC边的中线。.PA-PB=PB-PC=PCPAoP为AABC的垂心。3|ab|pc+|bc|pa+CAPB=0oP为AABC的内心。ABAC向量九（+）（九丰0）所在直线过AABC的内心（是ZBAC的角平分线所在直线）IABAC|*b*11.(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=(OC+OA)CA=0oOA=OB=OCoOA2=OB2=OC2oO为AABC的外心。IFNA+NB+NC=0思考题（1）已知点O、N、P在AABC所在平面内，且OA=OB=OC,PAPB=PBPC=PCPA，则点o、N、P依次是AABC的

24、()A.重心、外心、垂心C.外心、重心、垂心B.重心、外心、内心D.外心、重心、内心（2）（2012山东烟台二模）ABAC已知非零向量A&AC和BG满足（|+_lABIAC)BC=0,且ACBCACBC=，则AABC为（A.等边三角形C.非等腰三角形B.等腰非直角三角形D.等腰直角三角形点E是AB边上的动点，则DECB的N分别是边BC、CD上的点，且满足BM=图，则AMAN的取值范围是|CDI例7（1）（2012北京）已知正方形ABCD的边长为1,值为；DEDC的最大值为/,兀（2）（2012上海）在平行四边形ABCD中，ZA=，边AB、AD的长分别为2、1,若M、（3）（2012安徽）若平面

25、向量a,b满足|2a-b|3，则ab的最小值是【经验之谈】1数量积的定义是高考的一个热点，其运算的结果是数量，要把握这类问题，首先要理解向量数量积的定义，掌握数量积的计算公式和数量积的坐标公式；掌握数量积的几何意义及其应用；另外，应熟练掌握数量积的性质和运算律。2求向量的模是高考的重点，求向量的模通常转化为求向量的数量积，也就是用已知向量的数量积把所求向量的模表示出来，这是高考经常出现的题型。3求向量的夹角是高考的一个难点，要熟练掌握求两个向量夹角的基本公式。思考题且a丄c,b/c,则|a+b=(1)(2012重庆)设x,ygR,向量a=(x,l)b=(1,y)c=(2,-4)A.*5B.*1

26、0C.2*5D.10(2)(2012北京东城)若向量a,b满足|a|=1,|b|=、.：2，且a丄C+b)，则a与b的夹角为A.B.C.3kTD.5兀6(3)(2012江苏文)如图7-1,在矩形ABCD中，AB=a/2BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上,*f若ABAF2，则AEBF的值是.例8(2012辽宁锦州)向量a=(2,2)，向量b与向量a的夹角为，且a-b=-2(1)求向量b；C(2)若t=(1,0)，且b丄t,c=(osA,2cos2)，其中a、B、C是AABC的内角，若AABC厶的内角A、B、C依次成等差数列，试求|b+c|的取值范围。【经验之谈】向量平行和垂直的命题方向有

27、两个：一是利用已知条件去判断向量平行或垂直；二是利用向量平等或垂直的条件去确定参数的值。常用结论有：(1)向量平行(共线)的充要条件：若a=(x,y),b=(x,y)，1122a/boa=Xboxy-yx=0；1212(2)向量垂直的充要条件：若a=(x,y),b=(x,y)，1122a丄boab=0ola+b|=a-b|oxx+yy=01212思考题设AABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A、B、C的对边长，向量m=(2sin(A+C),-J-,n二(cos2B,2cos2一1)，且向量m,n共线。求角B的大小；若BABC=12,b=2刀，求a,c(其ac)三角函数2)D答案3)17迈5

28、02兀(4)【解析】由已知得兰=10兀,.g=f(x)=2cos(】x+),556TOC o 1-5 h zr，-.5、c1/5、ccf(5a+一)=2cos(5a+)+=2cosB.3536又f3+5)=-6,f(5P-5)=175617sina=3,cosB=517cosa=4,sinP=1517.cos(a+B)=cosacosB-sinasinB=4x-3x兰=517517思考题(1)D2)B一51385(4)C例2(1)A(2)BA(3)【解析】f(x)=m-n=p3Asinxcosx+cos2x20,由题意知A=6.兀由得f(x)=6sin(2x+)6将函数y=f(x)的图像向左平

29、移12个单位后得到y=6sin2(x+)+126兀=6sin(2x+3)的图像;42 6 再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的丄，纵坐标不变,2得到y=6sin(4x+亍)的图像.兀因此匕g(x)=6sin(4x+).因为xe0,養,所以4x+e7)243_36_故g(x)在0,竺上的值域为L3,6_24_(4)【解析】由sinx丰0,得x丰k兀(keZ)故f(x)的定义域为LeR|x丰k兀,keZ因为f(x)=(sinx-cosx)-cos2x=2cosx(sinx-cosx)=sin2x一cos2x一1=J2sin(2x-：)-1,2兀所以f(x)的最小正周期T二韦二兀函数y=sinx的单

30、调递减区间为2册+上,2册+3(keZ),得k兀+匹xk兀+匹(keZ).883兀7兀所以f(x)的单调递减区间为k兀+,k兀+(keZ)._88_思考题(1)A【解析】.函数(x)的最大值为3,/.A+1=3,即A=2函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为:.最小正周期T二兀.g二2故函数f(x)的解析式为y二2sin(2x-；)+1./f()=2sin(a)+1=2,即卩sin(a)=,2662TOC o 1-5 h z兀兀兀兀又0a，.一,.26633)A3i(4)【解析】f(x)=4(coswx+sinwx)sinwx+cos2wx22=2、3sinxcosx+2sin2x+cos2wx

31、sin2wx=v3sin2wx+1.因为-1sin2wx0)在每个闭区间-上-,+w4ww4w3kk)+L22w4ww4w依题意知对某个keZ成立，此时必有k=0,3兀兀TOC o 1-5 h z24w于是兀兀- HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 4w11解得w-，故w的最大值为66例3（1）C（2）D HYPERLINK l bookmark94 o Current Document 兀兀【解析】由b叫+C）-c叫+B）=a应用正弦定理，得兀兀sinBsin(+C)一sinCsin(+B)=sinA，44.J2迈&2J2J2sinBCsinC

32、+cosC)sinCCsinB+、cosB)=22222整理得sinBcosCcosBsinC=1,即sin(BC)=1.3兀由于0B,C兀兀1所以AABC的面积S=besinA=/2sin兀sin=/2cossin=88882【解析】证明：因为AB-AC=3BA-BC，所以AB-AC-cosA=3BA-BC-cosB,即AC-cosA=3BC-cosB.由正弦定理知竺=匹,sinBsinA从而sinBcosA=3sinAcosB,又因为0A+B0,cosB0,所以tanB=3tanA.因为cosC=于，0C0,故tanA二1,所以A二一.4思考题（1）A兰5【解析】由acosC+、.：3as

33、inC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+、3sinAcosC-sinB=0因为B二兀AC,所以J3sinAsinCcosAsinC-sinC二0由于sinC丰0.所以sin(A-)=1.2兀又0A兀，故A二一.31一AABC的面积S二besinA=訂,故be二4.bsinB2a而a2=b2+e2-2becosB及正弦定理sinA得b二3及余弦定理b2二a2+e2-2aecosB,得9二a2+e2ae,所以a二J3,e二2、：3例4【解析】过M作MA垂直过P的水平面于A,过N作NB垂直过P的水平面于B,则MA/NB，连接AB，PA,PM,PB,过N作NH丄MA于H依题意得：四棱锥PABNM的底面ABNM为直角梯形，ZNPB二30。，ZMPA二45。，ZMNH二30。,NB=NPsin30。二-a,MH2-NM=a,23山高MA=MH+HA=MH+NB二一a米.2以A为原点，AB、AM分别为y,z轴建立直角坐标系，不妨设a二1,则,0).3訂3),PN_133：3M(00S),N(,七),P(4PM=(3,4npm=0设平面MNP的一个法向量n二(x,y,z),则一nPN=0,TOC