二元一次不等式(组)与平面区域（第一课时）教学设计黄金土

1、PAGE PAGE 7二元一次不等式(组)与平面区域（第一课时）教学设计黄金土【教材分析】1 教学背景分析 相等的反面就是不等，要全面了解事物，必须从正、反两方面分析。在学习上，往往反面的内容更多，同样不等的内容比相等的内容更丰富。正面的内容了解了探求反面是符合人的认知规律的。 本节课在人教版的必修 5 的第三章不等式的第三大节的第一课时，按教材的编排，最快也得到高一第二学期结束前或高二才能学到。但按照人的认知规律，只要学生有直线方程、函数和一元不等式的基础，学习此内容不会有困难。我们选此内容在高一第一学期直线方程学完之后上，是对教材内容重组和教学改革的一个尝试。 通过探究二元一次不等式的解集

2、的几何意义，了解不等式是刻画区域的重要工具，进而介绍二元一次不等式（组）所表示的平面区域。通过本节课的学习为后面寻求 “ 最优解 ” 的线型规划问题奠定基础。 在本节课的学习过程中，使学生体会到数形合一是数学的本质，数形结合是理解数学问题的重要数学思想，发展学生应用数学的意识；同时让学生进行数学探究，体验知识的形成、应用过程，尝试运用特殊到一般，再由一般在回归到特殊的解决问题的思维方法。 学生在之前的学习中已经学习了函数、直线方程、不等式的一些知识，并且知道了二元一次方程的解在平面直角坐标系中的图像是一条直线，一元不等式的解在数轴上可以表示。通过类比的思维方式就可引入本节的教学。【教学目标】1

3、知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域.2过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；培养学生观察以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。3情态与价值：通过本节课教学着中培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”取研究“数”，培养学生观察、联想、猜想、归纳等数学思想；培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新。【重点难点】教学重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），会画二元一次不等式（组）表示的平面区

4、域。教学难点：如何确定不等式表示的哪一侧区域.【方法手段】启发式教学教 具：多媒体、实物投影仪【教学过程】 教学环节教学内容和手段师生活动设计意图一、创设情景引出问题 在现实和数学教学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同数学模型来刻画和研究它们，前面我们学习了一元二次不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系的模型，现看一个实际例子：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可以带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12，从个人贷款中获益10，那么，信贷部应该如何分配资金？问题1：如果你是信贷部的主管，你该如何分配资金？教师引导,问题

5、分解：1.题目中存在不等关系，该用什么模型刻画资金的分配问题？2.把题目中的不等关系表示出来，你打算从哪里入手？3.如何将文字语言转化为数学语言，列出不等式？把实际问题 数学问题：设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。（把文字语言 符号语言）（资金总数为25 000 000元） （1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上） 即 （2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值） （3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：教师：这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画他们呢？学生：设用于企业的贷款资金为x元，

6、用于个人的贷款资金为y元，则当然x,y还应该满足其他的不等条件。现由师生共同分析日常生活中三位实际问题来引发思考，再引出问题，为即将讲授的新知识做好铺垫和知识储备二、讲解新课：（一）.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义: 问题2：你能试着给二元一次不等式和二元一次不等式组下定义吗？ 教师引导，类比于一元一次不等式（组）和二元一次不等式（组）的定义。 （1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（二）.二元一次不等式和二元一次不等式组的解集: 1二元一次不等式的解集是

7、满足二元一次不等式的有序实数对（x，y）构成的集合。也就是直角坐标系内的点构成的集合。2. 二元一次不等式组的解集：是每个二元一次不等式解集的交集。（三）二元一次不等式（组）解集的表示方法: 1.回忆：在数轴上一元一次不等式（组）的解集怎么表示呢？是数轴上的区间。2.探究:问题3：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？ 教师引导：有序数对（x，y）可以看作平面直角坐标系内的点，而二元一次不等式的解集有点的坐标构成，这些点又构成什么图形呢？ 我们先研究具体的二元一次不等式x-y6的解集所表示的图形。 问题4：在平面直角坐标系中，x-y=6表示什么图形？教师引导：x-y=6即y=

8、 x-6，是直线方程，画出直线，直线上点的坐标（x，y）满足方程x-y=6。问题5：二元一次不等式x-y x-6的解集与y= x-6的解集有什么关系 ？ 满足x-y6的点在哪个区域呢？教师引导：取几个特殊点代入设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y6，请同学们完成下面的表格：横坐标x-3-2-10123点P的纵坐标点A的纵坐标并思考：当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y6有什么关系？直线x-y=6右下方点的坐标呢？学生思考、讨论、交流，归纳总结：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y6的解为坐标的

9、点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y6。因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y6表示直线x-y=6右下方的区域；如图（2）直线x-y=6叫做这两个区域的边界。由特殊例子推广到一般情况：3结论：二元一次不等式Ax+By+C0（0表示直线的哪一侧区域，C0时，常把原点作为特殊点。教师借助现代化教学手段演示一个平面内的一条直线和一个点的阿位置关系共有三种：在直线上；在直线的斜上方；在直线的斜下方；师生共同探讨，找出论证办法教师演示作图过程，学生积极思考，得出一般性的结论讲授新知识，突出重点，突破难点。在课堂教学中，把握讲授与学生自主学习，猜想于探究量

10、与度，引导学生经历、体验新知的发现、生成、应用的过程，让学生亲自参与和体验操作、尝试、猜想等探究活动三、讲解范例：例1：画出不等式x+4y4表示的平面区域。（让学生按照总结的方法，在坐标系中画出不等式x+4y4表示的平面区域，教师检查学生画图的情况。）师启发：“你们是怎么画出图像的？谁能总结一下画图的过程？”解：先画直线（画成虚线）.取原点（0，0），代入+4y-4,0+40-4=-40,原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。变式1、画出不等式所表示的平面区域。变式2、画出不等

11、式所表示的平面区域。例2 用平面区域表示.不等式组的解集。分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。变式1、画出不等式组表示的平面区域。变式2、由直线，和围成的三角形区域（包括边界）教师在精讲例题时，展示规范的板书和推理过程。教师工整的板书，规范的画图给学生以很好的榜样作用。此处教师可以提问学生，让学生说解题思路

12、，并且到黑板画出图形。精心设计经典例题，透彻分析解题思路，使新知内化。同时充分发挥教师的板演作用，努力使基本知识、基本技能的教和学落到实处四、课堂练习：1画出不等式+2y40表示的平面区域.解：先画直线+2y4=0(画成虚线)，取原点(0，0)，代入2y4，因为02040，所以，原点在+2y40表示的平面区域内，不等式2y40表示的区域如图所示.2画出不等式组表示的平面区域 选题意图：考查不等式组表示的平面区域的画法解：不等式+y60表示在直线+y6=0上及右上方的点的集合，y0表示在直线y=0上及右下方的点的集合，y3表示在直线y=3上及其下方的点的集合，5表示直线=5左方的点的集合，所以不

13、等式组表示的平面区域如图所示说明：不等式组表示的区域应注意其边界线的虚实教师巡视与点拨、倾听与关注学生的解答情况。及时展示学生中比较好的解答情况巩固加深对新知识的理解，熟练掌握不等式平面区域的画法，为线性规划做好准备五、课堂小结 ：（1）二元一次不等式表示平面区域：是直线某一侧所有点组成的平面区域。（2）二元一次不等式组表示平面区域：是各个不等式所表示平面区域的公共部分（3）判断方法：直线定界，特殊点定域。师生共同总结或者由教师引导学生让学自己总结总结重点，画龙点睛六、课后作业3.3节课后练习【教学反思】本节课先由一个实际问题引出二元一次不等式（组）的一些基本概念，再从一个具体的一元二次不等式不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式（组）的解集表示的区域及确定的方法，一次激励学生的探究精神和科学态度。这样对学生掌握知识的来龙去脉和提高解决实际问题的能力是十分有益的本节课激发了学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生