北师大版必修5高中数学第三章《简单线性规划》word教案1

1、名师精编 优秀教案 4.2 简洁线性规划（ 1）教学目标：1. 明白线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；2. 能依据条件建立线性目标函数；3. 明白线性规划问题的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值 . 教学重、难点：线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解 . 教学过程：（一）复习练习：画出以下不等式表示的平面区域：（1） xy 2x3y30；（2） | 3x4y1|5（二）新课讲解：在现实生产、生活中,常常会遇到资源利用、人力调配、生产支配等问题；1、下面我们就来看有关与生产支配的一个问题：引例： 某工厂有 A、 B两种配件生产甲、

2、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A配 件耗时 1h, 每生产一件乙产品使用 4 个 B配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个A配件和 12 个 B 配件,按每天8h 运算,该厂全部可能的日生产支配是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,又已知条件可得二元一次不等式组：x 2 y 84 x 164 y 12 . （1）x 0y 0（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图,图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表全部可能的日生产支配；（3）提出新问题：进一步,如生产一件甲产品获利2 万元,生产一件乙产品获利3 万元,采用哪种生

3、产支配利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品名师精编优秀教案z2x3y,这样,上述问题x 件,乙产品 y 件时,工厂获得的利润为z , 就就转化为：当xx,y满意不等式（ 1）并且为非负整数时,z 的最大值是多少？z 的直线；3把z22 3,在 y 轴上的截距为3y变形为y2xz,这是斜率为33当 z 变化时,可以得到一族相互平行的直线,如图,由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给定一个点,（例如（ 1,2）,就能确定一条直线（y 2x 8）,这说明,截距 z 可以由平3 3 3面内的一个点的坐标唯独确定；可以看到, 直线 y 2x z与3 3不等式组（ 1）的区域的交点满意不等式组（1）,而

4、且当截距 z3最大时, z 取得最大值；因此,问题可以转化为当直线 y 2x z与不等式组（ 1）确定3 3的平面区域有公共点时,在区域内找一个点 P,使直线经过点 P 时截距 z 最大；3（5）获得结果：由图可以看出,当 y 2x z经过直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点3 3M 4 , 2 时,截距 z 的值最大,最大值为 14,这时 2 x 3 y 14 . 所以,每天生产甲产品 43 3件,乙产品 2 件时,工厂可获得最大利润 14 万元；2、有关概念在上述引例中, 不等式组是一组对变量zx y 的约束条件, 这组约束条件都是关于x y 的一次不等式,所以又称为线性约束条件

5、 ；2xy 是要求最大值或最小值所涉及的变量x y 的解析式, 叫目标函数 ；又由于z2xy 是x y 的一次解析式, 所以又叫 线性目标函数. 一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为 线性规划问题；满意线性约束条件的解 , x y 叫做 可行解 ,由全部可行解组成的集合叫做 可行域 ；在上述问题中, 可行域就是阴影部分表示的三角形区域；其中可行解 5, 2 和 1,1分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解 . x=-3yD-4x+3y=12（三）例题分析：4AO2Cy=-4xB4x+3y=36l:2x+3y=0 x名师精编优秀教案3例 1

6、：设x,y满意约束条件2y44 x3y12（1）求目标函数z4 x3y36x3y的最小值与最大值（2）求目标函数z4x3y24的最小值与最大值解：（1）作出可行域（如图）令z0作直线l:2x3y0 x当把直线向下移动时所对应的z2x3y的函数值随之减小,所以直线经过可行域的顶点B 时,z2x3y取得最小值,顶点B 是直线x3与直线y4的交点,即B,34 当把直线向上移动时所对应的z2x3y的函数值随之增大,所以直线经过可行域的顶点 D 时,z2x3y取得最大值,顶点D 是直线4x3y12与直线4x3y36的交点,由4 x33y12知D3 8,此时顶点B3 ,4和顶点4 xy36D,38 为最优

7、解所以z min23 34 18,zmax233830（2）作直线l0:4x3 y0,把直线向下平移时,所对应的/ z4x3y的函数值随之减小, 即z4x3y24的函数值随之减小, 当直线经过可行域顶点C 时,z/4 x3y取得最小值,即z4x3y24取得最小值y4的x=-3yDl 1:-4x+3y=12l0:-4x+3y=03y36与直线顶点 C 是直线4x交点,由yx436知C 12,4443yAO2BCy=-44x+3y=36代入目标函数z4x名师精编知优秀教案3y24z min84由于直线l0:4x3y0平行于直线x4 y3 04x3y12,因此当把直线0l 向上平移到1l 时,1l

8、与可行域的交点不止一个,而是线段 AD 上的全部点,此时,z max122412x4y3练习：设变量x y满意条件3x5y25,x1（1）求z2xy 的最大值和最小值. （2）求z6x10y 的最大值和最小值. 解：（1）由题意,变量x y 所满意的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组就表示这些平面区域的公共区域；由图知,原点0,0 不在公共区域内,当x0,y0时,z2xy0,即点 0,0 在直线0l ： 2xy0上,作一组平行于0l 的直线 l ： 2xyt , tR ,可知：当 l 在0l 的右上方时,直线l 上的点 , yx1满意 2xy0,即t0,C而且,直线 l 往右平移时, t

9、随之增大；A由图象可知,OB3 x5 y25 0 x当直线 l 经过点A 5, 2时,对应的 t 最大,当直线 l 经过点B1,1 时,对应的 t 最小,所以,z max25212,z min2 1 13（2）直线0l 与 AC 所在直线平行,就由（1）知,当 l 与 AC 所在直线 3x5y250重合时 z 最大,此时满意条件的最优解有很多多个,当 l 经过点B1,1 时,对应 z 最小,16xz max610y50,z min6 1 10 1名师精编 优秀教案说明： 1线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得； 2线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得,即满意条件

10、的最优解有很多多个；x y z 13 y z 2例 2设 x y z 满意约束条件组,求 u 2 x 6 y 4 z 的最大值和最小值 . 0 x 10 y 1解：由 x y z 1 知 z x y 1,代入 3 y z 2 中,得 2 y x 1,u 2 x 2 y 4,2 y x 1y l原约束条件组可化为 0 x 1,0l0 y 1 BA如图,作一组平行线 l ：x y t 平行于 0l ：x y 0,O 1 x由图象知,当 l 往 0l 左上方时, l 往左上方移动时 u随之增大,当 l 往 0l 右下方移动时,u 随之减小,所以,当直线 l 经过 A 1,1 时,u min 2 1

11、2 1 4 4；当直线 l 经过 B 0,1 时,u max 2 0 2 1 4 62 x y 3 0例 3（参考）已知 x y 满意不等式组 2 x 3 y 6 0,求使 x y 取最大值的整数 x y 3 x 5 y 15 0解：不等式组的解集为三直线 1l ：2 x y 3 0, 2l ：2 x 3 y 6 0, 3l ：3 x 5 y 15 0所围成的三角形内部 （不含边界） ,设 1l 与 2l ,1l 与3l ,2l 与 3l 交点分别为 y A B C ,就1l A B C15 3 75 12坐标分别为 A 8 ,4 ,B 0, 3,C 19 ,19 ,A 3l作一组平行线 l ： x y t 平行于 0l ：x y 0,O C x当 l 往 0l 右上方移动时,t 随之增大,B 2l当 l 过 C 点时 x y 最大为63,但不是整数解,19又由 0 x 75知 x 可取 1,2,3 ,19当x1时,代入原不等式组得y名师精编x优秀教案2, y1；当x2时,得y0或1, xy2或 1；当x3时,y1, xy2,31y 的最大整数解为x2或x故 xy0y说明： 最优整数解常有两种处理方法,一种是通过打出网格求整点,关键是