偏微分方程的解法

1、偏微分方程的解法第1页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一一、可分离变量的微分方程 1. 定义 其中f(x),g(y) 分别是 x ,y 的连续函数 2.分离变量法 把方程中的两个变量分离开来，使方程的一边只含有 y 的函数及dy，另一边只含有 x 的函数及 dx，然后两边积分，从而求出微分方程的解 这种方法称为分离变量法 形如 （1）的一阶微分方程，叫做可分离变量的微分方程. 2第2页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一3步骤(1)分离变量，得 (2) 两边积分，得 (3) 求得积分，得 3第3页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一解 分

2、离变量，得 两边积分，得 得 即 得方程的通解为 例14第4页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一例 解 分离变量，得 两边积分， 得化简，得 于是所求微分方程的特解为 原方程可化为5第5页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一二、齐次型微分方程 1. 定义形如的微分方程，称为齐次型微分方程 因为方程可化为 6第6页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一2解法在方程 ( 2 ) 中，引进新的未知函数 代入方程(2)，便得可分离变量方程 即 两边积分，得 求出积分后， 即得所求齐次型微分方程的通解 7第7页，共17页，2022年，5月20日，1点

3、50分，星期一例3 解 原方程可化为 它是齐次型微分方程 代入原方程，得分离变量，得 两边积分，得 即 这就是所求微分方程的通解 8第8页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一三、一阶线性微分方程 1、定义方程（3）称为一阶线性非齐次微分方程 方程（3）称为一阶线性齐次微分方程方程 称为一阶线性微分方程， (3)9第9页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一2、一阶线性齐次微分方程的通解先讨论一阶线性齐次微分方程 （4） 的通解 显然，方程（4）是可分离变量方程 分离变量后，得 两边积分，得 这就是一阶线性齐次微分方程(4)的通解公式 注意即 (5-1) 在用上

4、式进行具体运算时，其中的不定积分只表示P(x)一个确定的函数.10第10页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一3、一阶线性非齐次微分方程的解法常数变易法(5) 由方程特点，设一阶线性非齐次微分方程的通解为对（5）式求导得 (6) 将(5)和(6)代入方程(3)并整理得 由此可得 将上式代入(5)式，得一阶线性非齐次微分方程的通解为(5-2) 11第11页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一 公式中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的一个原函数 这种通过把对应的线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解的方法称为常数变易法公式(

5、5-2)也可写成下面的形式 (7) 由此可知：一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解之和 注意:12第12页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一例4 解1 (常数变易法) 对应的线性齐次方程为用分离变量法求得它的通解为 将上式中的任意常数C 换成函数C(x) ，即设原方程的通解为 （8） 则有 两边积分，得 再代入（8）式，即得所求方程的通解为 13第13页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一解2 (公式法) 代入公式（5-2），得 14第14页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一例5 解 对应的齐次方程是用分离变量法求得它的通解为 用常数变易法，设非齐次方程的通解为 两边积分，得 因此，非齐次方程的通解为 故所求微分方程的特解为 15第15页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一例6 解 原方程可化为 将x 看作y 的函数，则它是形如 的一阶线性非齐次微分方程 于是由一阶线性非齐次方程的通解公式，得 或 这就是所求微分方程的通解 16第16页，共17页，2022年，5月20日，1点50分，星期一四、小结：1.可分离变量的微分方程的特点、解法；2.齐次型微分方程的特点、解法；3.一阶线性微分方程的解法,其中一阶线性齐次方程的通