高中数学人教A版高中必修5第二章数列-王旭-等比数列的前n项求和公式

1、等比数列的前n项和四川大学附属中学 王旭一、教学设计1教学内容解析本节内容为现行人教A版必修5的第二章的核心内容，它在普通高中数学课程标准（2023年版）中，被纳入“选择性必修课程”的函数主题之中数列作为一类特殊的函数，既是高中函数知识体系中的重要内容，又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型在现行教材的编排中，等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中，是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容，它在完善数列单元的知识结构体系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性等方面都是不可或缺，在提升学生探究、应用和实践能力等方面，有着不可替代的作用和价值课标要求：学生经历等比数列前n项

2、和公式的探索过程，掌握等比数列前n项和公式及推导方法，并能进行简单应用等比数列前n项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次，主要是因为它与函数、等差数列的内在联系，尤其是它在数学史上的历史印迹，以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思想（如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等），所需要的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养，都能充分发挥数学的育人功能。基于以上分析，本节课的教学重点为：等比数列前n项和公式的导出及其应用。学生学情分析本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班，夷陵中学是湖北省重点中学、省级示范高中，学生有较好的数学学科基础从学生的思维特点看，很容易把本

3、节内容与等差数列前n项和从公式的发现、特点等方面进行类比，这是积极因素，可因势利导然而，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，对学生的思维能力提出很高的要求另外，对于q = 1这一特殊情况，运用公式计算时学生往往容易忽视教学对象刚进入高一不久，虽然逻辑思维能也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，缺乏深刻的理性思考。基于以上分析，本节课的教学难点为：等比数列前n项和公式的探究及其推导。3. 教学目标设置（1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等比数列前n项和公式的来龙去脉，感受前人严谨的治学精神，体验数学的魅力和数学文化的熏陶。（

4、2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等比数列前n项和公式的不同推导方法，领悟公式的本质，并能运用公式解决简单问题。（3）学生在经历等比数列前n项和公式的发生、发展、推导和证明的过程中，感悟特殊到一般、方程与函数、划归与转化等数学思想，形成基本活动经验，重点提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养。4. 教学策略分析等比数列前n项和公式是高中数学的重要内容，普遍采用的推导方法是带有技巧性的“错位相减法”，求和公式及其推导方法都是教材和教师直接“告知”，并非自然产生。有鉴于此，本节课追寻历史足迹，借鉴历史规律，揭示知识之谐，展现方法之美，引发情感之悦，营造不一样的课堂“让学

5、习真正发生”，首先在于教师有“让”的意识，本节课为了做到 “教师在后、学生在前”，教师先给充分的资料和空间让学生自学和互学，营造积极的探究氛围，在课堂上展开小组谈论和交流，碰撞出思想与智慧的火花。教学流程：等比数列前n项求和公式猜公式证公式用公式5教学过程设计环节一：创设情境 提出问题演史剧，发现等比数列提出问题学生表演国际象棋的传说（棋盘丢麦粒问题）并设计如下问题串：问题1：故事里每格棋盘上的麦粒依次构成一个什么数列？生1：首项为1，公比为2的等比数列问题2：铺满这64格棋盘需要的麦粒总数是多少？生1：可以看成是首项为1，公比为2的等比数列的前64项和即师：等于多少，逐项相加吗？生2：项数多

6、，不太现实，我觉得可以和等差数列求和一样，从特殊到一般，找规律师：如何找规律？请大家尝试一下.生3：我是这么想的，计算出，发现它们都是的形式，因而我猜想.【设计意图】通过学生表演国际象棋的传说激发学生的兴趣和探究欲望，通过一系列的问题将故事情节与相关知识点联系起来，从情景中看到数学问题.通过结论的探求让学生学会研究陌生问题，可采用特殊到一般的方法入手。情境性“问题串”设计要体现情景性，一般来说要具备三个要素：（1）涉及未知领域，能启动学生思维；（2）具有真实性，让学生觉得亲切、自然；（3）基于学生已有的知识水平.这样的问题情境能激发学生学习新知识的好奇心和求知欲，引发学生自主探究，让学生在解决

7、问题中顿悟，提高学习新知的能力.环节二：合作交流 解决问题试猜想，提炼等比求和公式师：若将公比变为，项数变为，你觉得的结果是？生4： 生5：我觉得生4不对，很明显如果，时，结果就不对师：说明我们仅由的猜想太过片面，为了使得结果具有更加说服性，请大家完成以下表格？1234512345师：根据大家所填的表格，你能够猜想出结论吗？生6：师：大家都同意上述结果吗？有没有需要注意的地方？生7：我觉得不能代表时的求和公式，当时，由于相同数的累加即为乘法，很容易得出结果为.师：若将首项改为，你能计算出的结果吗？生8:可以观察发现每项都有提取公因式变为即可转化为刚刚的问题.师：那么等比数列求和公式是什么？生9

8、：时数列的每一项都相等，当时，师：我们可以将这两种情况写成什么样的形式？生10：分段函数，即【设计意图】本环节的目的是为了让学生合理的猜出数等比数列的前n项和公式通过对棋盘故事的深入探讨，从公比为2，到公比为3,4直至公比为，这样从具体到抽象，由特殊到一般符合教学的一般规律，让学生真正意义上参与到公式的猜想中去，感受知识的生成过程师：通过同学们的共同探索我们得到了等比数列前n项和公式（板书公式）师：猜想是创新能力的一部分，同学们刚才的猜想思维活跃，灵活有序，表现太精彩了，这个猜想你们觉得可靠吗？（齐答：不可靠）数学是一门严谨的学科，任何公式的猜想都需要严格的推导和证明下面请同学们结合课前的预习

9、，将自主探究的成果在小组内分享和交流，和组内成员一起来揭示这个公式的证明过程（等待1-2分钟）生11：通过预习课本，我知道了错位相减法，这种方法是18世纪瑞士大数学家欧拉在代数学基础中采用的具体做法如下两边同乘以得往后错一位相减可得其他小组有没有需要补充的或者存在疑惑的？生12：我有点困惑，为什么想到两边同乘以q呢？生11：因为根据等比数列的定义，后一项是前一项的q倍，乘以q后前一项就变成了后一项，那中间很多项相同了，这样就可以达到消项的目的，只剩下很少的几项，就可以运用累加法生13：根据等比数列定义，既然刚才能同乘以q，那么我觉得两边同乘以师：大家觉得行吗？还可以乘以什么生14：乘以也可以.

10、师:很好，往前错位和往后错位本质都是一样的利用了等比数列的定义，来消掉了中间的很多项，看来你们已经掌握了错位相减的本质，有没有其他不同的推导方法的？生15：我用的是掐头去尾法，这种方法是18世纪法国数学家拉克洛瓦给出来的具体做法如下：发现化简可得师：也很好，其他小组有没有需要补充的？学生16：我们小组成员也另外一种不同做法，提取因式法，这种方法的原理古埃及人和印度人早已掌握，但他们没有我们今天的代数符号，古埃及人未能获得求和公式受古人原理的启发，我们的具体做法如下：再利用相当于两个方程解两个未知数，可以得到从而求出师：这个推导过程，有没有细节上的问题？生17：第一个公比不能等于1，还有证明中用

11、到了要强调n大于等于2.师：方法巧妙，补充也很正确，同学们以后在书写过程中一定要特别注意细节还有没有不同的想法的？生18：我们小组经过讨论用的是等比定理法具体做法如下：根据等比数列的定义，再利用合比定理可以得到从而求出我们惊喜的发现，这种方法古希腊数学家欧几里得在几何原本中用过师：很好，观察很仔细同学们刚才展示了四种不同时期不同数学家的证明方法，请同学们相互之间再交流下，你们觉得这四种证法都用了哪些数学思想？生19：我觉得第1种方法用到了方程的思想，得到关于的两个方程来求生20：我觉得后三种方法都用了等比数列的定义师：同学总结的都很好，其实四种方法都用了等比数列的定义在数学发展史上一些伟大的数

12、学结论都来源一些经典的猜想和数学家呕心沥血，前仆后继的不断思考，探究和证明今天同学们的精彩表现展示了这一艰辛的历程，所有数学发现都为我们实际应用带来了巨大的方便【设计意图】本环节的目的是让学生收集资料证明公式，深入挖掘公式背后的隐性价值让学生质疑，提炼本质，重视细节其中错位相减法这种消项的方法也是后面解决差比型数列求和的一种有效方法，而等比定理法也对合分比性质做了一个巩固，当然这其中还有很多的证明方法，如裂项等；并从中感受对公式变形的本源性思想。环节三；反思提升师：请大家告诉我，等比数列的前n项和公式是什么？生 师：当q=1时，前n项和公式是什么？生 Sn=na1师： 在推到等比数列前n项和时

13、，我们用到了什么数学思想？生 方程思想 归纳思想 特殊到一般的思想【设计意图】本环节的目的是让学生对于本节课的结果性目标更加清晰，知道等比数列等比数列前n项和的公式，并从中感受其推导过程中用到的数学思想。环节四：应用反馈师：之前我们一起猜了公式，并且也证明了公式，下面我们一起来运用公式大家看下面的例题：【例1】求下列等比数列的前8项的和:师：要求出和，从公式分析来看，你们觉得需要明确哪几个量.生：:明确首项、公比和项数师：这刚好也是等比数列的基本量其实在中国古代就有能人智士思考过这样的一个问题【例2】“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了3

14、81盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多少盏灯？师：请同学们计算看看塔尖究竟有几盏灯呢？生23：这是一个数列求和的逆向问题，设塔尖有盏灯，由题意各层宝塔的红灯数依次构成以为首项，2为公比的等比数列将q=2，n=7带入等比数列求和公式可得解得，所以塔尖顶上有3盏灯根据课前面我们遇到的一个情境，老师将问题作了一点改变，请大家看看，这个问题该怎么结局？【例3】若在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，在第二个格子里放上格子序号的2倍的麦粒，在第三个格子里放上格子序号的4倍的麦粒，在第四个格子里放上格子序号的8倍的麦粒，依次类推，直到第64个格子试给出能够满足上述要求的麦粒数师

15、：最终目标是求数列an的前n项和Sn.通项公式为an=n2n-1 生 师 这就是利用错位相减求和的办法来求和，大家要注意体会求和的实质.下面几个题，请大家试试？1.等比数列an中，a1=1,a5=4a3.记Sn为an的前n项和，若Sm=63，则m= 2.画一个边长为2cm的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,依此类推,这样一共画了10个正方形.求：（1）第10个正方形的面积；（2）这10个正方形的面积和.3.数列an的前n项和Sn=2n+1-2,数列bn=log2an,数列cn=bnxn-1(x0),求数列cn的前n项和Tn.师：解答规范，结果准确和同学们在一起学习交流是愉

16、快的，收获也很多，下面请同学们对本节课做个小结可以从知识也可以从思想方法都行生24:本节课从知识上来讲我学习了等比数列的求和公式，运用公式时要注意公式的应用条件合理选择公式，还知道了公式的4种推导方法，还有公式可以正用和逆用从研究方法上来看，可以从特殊到一般并且感受到数学问题源于生活，数学知识服务于生活师：同学们的表现让我很激动，最后我有一段话送给大家你从古埃及的文明中发端在古希腊欧几里得的智慧中发展穿越中世纪的欧洲闪耀着古老的中华之光把一个个奇妙的数列故事演绎成符号公式的精灵数学宝库中的明珠为我们追求真理指引方向大胆猜想 严谨求证 科学运用文化在传承中发扬 思维在碰撞中解放让我们在孜孜求索中

17、勇敢摘取数学高峰之巅的王冠【设计意图】本环节的目的是让学生巩固并运用等比数列求和公式数学家波利亚说过“数学教学是解题的教学”，知识的呈现离不开问题，知识的巩固来自问题的解决；这一环节第一个问题和情景引入的问题遥相呼应，使得整个教学过程流畅自然6课后作业与研究性学习二、教学反思本课注重数列教学的整体性，以系统观为指导，在数列“一般观念”的指引下，采取数列公式教学应有的 “猜想” “证明”“应用”的教学模式除此之外，在新一轮课程改革中，力图突出教学过程中学生的主体地位，渗透数学学科的核心素养，达到数学育人的根本任务，提出了一种创新性设想，采取了研究性学习这一教学模式.让学生在数学的历史长河中自由徜

18、徉与探索整个教学情景线上围绕等比数列求和的发展历史进行展开：以历史剧本为引，发现数学问题；以历史史实为例，提出等比数列求和问题；以历史名人为翼，分析并解决等比数列求和问题；教学流程上遵照三个基本的教学环节围绕“猜公式”，“证公式”，“用公式”进行展开，让学生在猜想中提炼，在证明中延伸，在应用中升华；教学策略上让学生课前收集材料，自主学习，课间展示成果，质疑互学，课下探索实例，师生交流，让学生真正意义上做课堂的主人可取之处：教学设计上打破常规的教学模式，采取研究性学习模式，以生为本，让学生在数学史实中不断探索前进，而教师始终扮演“引路人”的角色，通过问题驱动，历史线索完成本节课的教学目标，突出了

19、数学源于生活，服务于生活，探索出公式课教学的一种新型有效的教学模式让学生在以后的生活中，会用等比数列求和的眼光观察生活中数列问题（如银行中的存款的复利），用数列的语言表达生活中的数列问题，用所学到的等比数列知识分析生活中出现的等比数列求和知识改进之处：本节课在公式猜想，归纳，证明，运用等都做了力所能及的工作但求和从一定程度上是一种代数变形，求和的理论基础是等比数列的定义，求和的本质是消项，让学生通过查史实忽略了对公式推导的过程，尤其是其中涉及到的一些如错位相减这一常用求和技巧认识不到位教学环节中应增设公式推导的本源性思考，如为什么要这么变形，求和的本质是什么当然万事万物都有两面性，教学是解决教

20、与学的矛盾，而我们也只能尽力解决一些主要矛盾，不足之处需要在接下来的教学过程中逐步完善路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.三、教学点评本节课设计为“研究性学习课题”，突破了概念公式新授课的常规做法，通过数学文化的主线串通，配以诗歌或故事的动态画面，巧妙设置“猜、证、用”三个环节，采用立体化的方式呈现本节课三位一体的探究式教学活动，环环相扣，层层递进，实现了预期的教学目标，有效突破了本节课的重难点数学文化和教学活动互为交融，相得益彰，多彩纷呈（一）演绎经典，启发想象“猜”公式引入的设计充分体现了数学的文化价值，采用学生课前演绎历史短剧的方式，再现奖赏国际象棋的发明者问题（以下简称“引例”），注意以情节化和悬念式相结合的形式展现探究问题大胆放手让学生自主对公式的猜想探索，培养学生的想象力，激发学生的求知欲，磨练学生勇于探索、敢于创新思维品质，在探究活动中感受数学思维的奇异美、严谨美，数学公式结构的对称美、形式的简洁美. （二）回望历史，激活思维“证”公式巧妙引导学生的思维活动和自主探