高考数学资料-数列与不等式相结合的综合问题

1、第PAGE 页码22页/总NUMPAGES 总页数22页Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.专题三 压轴解答题第六关 以数列与不等式相结合的综合问题【名师综述】数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学

2、视野的广度和进一步学习数学的潜能近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题类型一 求数列中的最值问题典例1【安徽省滁州市2018届高三上学期期末考试】已知数列是递增的等差数列， ， ， ， 成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求满足的最小的的值.【解析】（1）设的公差为（），由条件得

3、，.（2） .由得.满足的最小值的的值为【名师指点】求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用等差数列或等差数列的特征来求【举一反三】【吉林省实验中学2018届高三上学期第五次月考】已知数列中， （）求的通项公式；（）数列满足，数列的前项和为， 若不等式对一切恒成立，求的取值范围【解析】（）证明：由，得，所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而；（）， 两式相减得 若为偶数，则若为奇数，则类型二 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题典例2 已知

4、为等差数列，且，其前8项和为52， 是各项均为正数的等比数列，且满足， .（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有成立，求实数的取值范围.【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意得，即，解得，所以设各项均为正数的等比数列的公比为，则有，解得，所以（2）由（1）可知 所以 所以，因为对任意正整数，都有成立，即对任意正整数恒成立，又，所以.故实数的取值范围为【名师指点】求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得【举一反三】【辽宁省实验

5、中学2018届高三上学期期中考试】已知数列an满足a1=3，且an+13an=3n，（nN*），数列bn满足bn=3nan（1）求证：数列bn是等差数列；（2）设，求满足不等式的所有正整数n的值【解析】（1）证明：由bn=3nan得an=3nbn，则an+1=3n+1bn+1代入an+13an=3n中，得3n+1bn+13n+1bn=3n，即得。所以数列bn是等差数列（2）解：因为数列bn是首项为b1=31a1=1，公差为等差数列，则则an=3nbn=（n+2）3n1从而有。故 则，由 得.即33n127，得1n4故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4类型三 数列参与的不等式的证明问题典例

6、3【天津市部分区2018届高三上学期期末考试】已知是等比数列，满足，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为 ， ，求正整数的值，使得对任意均有.【解析】（1）设数列的公比为，则由条件得： ， 又，则，因为，解得： ，故. （2）由（）得： ， 则 - 得： ，所以 则，则 由得：当时， ； 当时， ；所以对任意，且均有，故【名师指点】此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的【举一反三】【四川省2017-2018年度高三“联测促改”

7、活动】已知数列满足： ， .（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；（2）设，数列的前项和为，求证： .【解析】（1）解：由知，代入得： ，化简得： ，即是等比数列，又，则，进而有（2）证明：由于，所以【精选名校模拟】1【湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次联考】在正项等差数列中，其前项和为.（1）求；（2）证明： .【解析】（1） （2） 当 时， 取最大值综上： 2【天津市耀华中学2018届高三上学期第三次月考】已知单调递增的等比数列满足，且是与的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若， .求及使成立的最小正整数的值.【解析】（1）设此等比数列首项为，公比为，其中， ，由题意

8、知： ， ，得，即， ，等比数列单调递增， .（2）， ，设，则，得 ，要使成立，即，即， ，且是单调递增函数，满足条件的的最小值为5.3【广东省中山市2018届高三上学期期末考试】设等差数列的前项和，且.（1）求的通项公式；（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围.【解析】（）设公差为，则，的通项公式为 （）， ， ；则原不等式等价于对所有的正整数都成立当为奇数时， ； 当为偶数时， 恒成立又，当且仅当时取等号，所以当为奇数时， 的最小值为7，当为偶数时， 时， 的最小值为，不等式对所有的正整数都成立时，实数的取值范是4. 【天津市耀华中学2018届高三上学期第三次月考】已知单调

9、递增的等比数列满足，且是与的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若， ，求；求使成立的最小正整数的值.【解析】（1）设此等比数列首项为，公比为，其中， ，由题意知： ， ，得，即， ，等比数列单调递增， .（2）， ，设，则，得 ，要使成立，即，即， ，且是单调递增函数，满足条件的的最小值为5.5【皖江名校2018届高三12月份大联考】等差数列和等比数列的各项均为正整数，且的前项和为，数列是公比为16的等比数列， .（1）求；（2）求证.【解析】（1）设的公差为， 的公比为，则都是正整数， ， 依题意有注意为正整数，可得，所以（2） .6. 【北京市西城区2018届高三上学期期末考试】已知

10、数列是公比为的等比数列，且是和的等差中项(I)求的通项公式；()设数列的前项之积为，求的最大值【解析】（）因为 是和的等差中项，所以 因为数列是公比为的等比数列，所以 ， 解得 所以 （）令，即，得， 故正项数列的前项大于1，第项等于1，以后各项均小于1 所以 当，或时， 取得最大值， 的最大值为 7【黑龙江省大庆市2018届高三年级第一次教学质量检测】已知数列的前项和为，点在曲线，上数列满足， ， 的前5项和为45（1）求， 的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求使不等式恒成立的最大正整数的值【解析】（1）由已知得： ，当时， ， 当时， ，当时，符合上式，所以.因为数列满足，所以为等差数

11、列. 设其公差为. 则，解得，所以. （2）由（1）得， ， ，因为，所以是递增数列. 所以，故恒成立只要恒成立. 所以，最大正整数的值为. 8已知数列的前项和为,且,又数列满足()求数列的通项公式；()当为何值时,数列是等比数列？并求此时数列的前项和的取值范围【解析】（）由，当时，；当时，故数列的通项公式为()由有则数列为等比数列，则首项为满足的情况，故，则而是单调递增的，故9在等比数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设，且为递增数列，若，求证：【解析】（1），（2）由题意知，10已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数

12、列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足，Tn为数列bn的前n项和，若Tnm恒成立，求m的最大值【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）因为， ， 成等差数列，所以，所以，因为数列是等比数列，所以，又，所以，所以数列的通项公式；（）因为恒成立，所以只需即可，由（）知，又，所以，利用错位相减法即可求得数列的前项和，通过的正负确定的单调性，进而求得的最小值，即可求得的最大值试题解析：（）因为， ， 成等差数列，所以，所以，所以，因为数列是等比数列，所以，又，所以，所以数列的通项公式；（）因为恒成立，所以只需即可，由（）知，又，所以，所以故所以所以所以所以是递增数列所以所以所以的最大值为11【

13、四川省绵阳市南山中学2018届高三二诊热身】已知等差数列中，公差， ，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求的取值范围.【解析】（1）由题意可得即又因为，所以所以.（2）因为，所以 .因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.又（当且仅当时取等号）.所以，即实数的取值范围是.12【四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试】已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足不等式的最小正整数.【解析】（1）由，有，又，所以时， .当时，也满足，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以令，解得，所以

14、满足不等式的最小正整数为.13已知数列an是等比数列，首项a11，公比q0，其前n项和为Sn，且S1a1，S3a3，S2a2成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足an1，Tn为数列bn的前n项和，若Tnm恒成立，求m的最大值.【解析】(1)由题意可知2(S3a3)(S1a1)(S2a2)，S3S1S3S2a1a22a3，即4a3a1，于是，q0，.a11， .(2)an1()anbn，()n()anbn，得Tn1222n2nn2n(1n)2n1，Tn1(n1)2n.要使Tnm恒成立，只需(Tn)minm.Tn1Tnn2n1(n1)2n(n1)2n0，Tn为递增数列，当n1

15、时，(Tn)min1，m1，m的最大值为1.14【江西省莲塘一中、临川二中2018届高三上学期第一次联考】各项均为正数的数列的前项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）令，若数列的前项和为，求的最小值.【解析】（1），所以或（舍去）当时， ， ，所以.（2），故，因为是递增的，所以令，则，故在上是增函数，所以是递增的，则有，所以的最小值为.数学二级结论高考的应用第一结论不动点通法 数列通项放缩问题国一各种数列压轴题 通杀不动点的求法：比如X(n+1)=f(Xn)令f(Xn)=Xn 解出Xn=a或者a,b两解那么a,b就为Xn不动点不动点意义是什么呢？ 就是Xn的极限 即Xna高考里你只需要取

16、大根就好，小根忽视比如10年国一22(2) 看解法 你可以选08 07 的国一照套用核心思想：有关数列通项的相关问题，先化简Xn-a(a为不动点)会得到很多Xn的性质题目再现：a1=1 a(n+1)=c-1/an求使不等式anan+13的c的取值范围解an=c-1/an 令an=x 得 x=(c+sqrt(c-4)/2显然就是证xan a2=c-1/a1=c-1c-11 所以c2所以a1-x=1-x0回头看这个：即an+1 - x = c(an-x)-x(an-x)/an=(c-x)/an*(an-x)(c-x)/an 是一个 正数 根据【同号性】（极其重要） an+1 - x和an - x同

17、号 a1-x0所以a2-x0an+1-x0即an+1x即题目变成anan+1x3恒成立求x的范围解x3得到答案这是真正的通法 是所有考察数列通项问题的通法，这是高数内容 别忘了是谁出的题大学教授，都带有高数味儿得小结论C:y2=2px过x轴上(a,0)点与C相交，存在x1x2=a2无数小题用此结论减免思维强度连10年解几第一问也可以用这个证明（三点共线那个） 你想想 过(-p/2,0)的直线交C于A(x1,y1)B(x2,y2) B(x2,-y2) 让你证AB过焦点你想想 x1x2只和a2有关，也就是在x1x2相同时 a有两个解 一个解已知是-p/2 另一个解必然是p/2啊极坐标：秒杀焦点弦我

18、们是大纲版 不学极坐标，所以考试小题常出焦点弦问题没学过极坐标的别记专有名词 这样记以下公式椭圆 过F作直线交C于AB，设AF=r1 BF=r2目测谁比较长 如r1比较长则r1=ep/1-ecos日日为过F的直线的倾斜角p为焦准距双曲线单支和椭圆一样交于两支时 r=ep/ecos日 +- 1 比较长的那个取负 短的那个取正抛物线r=p/1 -+ cos日（抛物线e=1）以上三者的焦点弦R=r1+r2长为R=|2ep/1-e2cos2日|这个公式和焦半径公式相辅相成 轮换使用 解几小题任意秒另附 焦半径公式中 双曲线的速记口诀左加右减套绝对值，同边开负，异边开正举例解释比如在双曲线右支 到右焦点

19、的距离r=|a-ex0| （左加右减套绝对值）由于是同边（右支右边） 所以绝对值开负号 r=ex0-a技巧09山东22题告诉我们过原点的两条线段r1 r2相互垂直时，A点可设为A(r1cos日,r1sin日) B(-r2sin日,r2cos日)因为AO BO垂直 这些关系可以用倾斜角表示S(2n-1)=(2n-1)an这种强大的公式不懂你就亏了四面体体积公式V=1/6(abhsin日)a，b是两条对楞的长，h是对棱的异面距离，日是对棱的夹角这个公式异常重要，比如10年国一12题，用这题套公式秒杀有关立体几何中的开放式问题 （极值，交点个数，还有北京卷那个与xyz哪个有关的）近年来的热点 这类题

20、基本出在正方体或者长方体中用退化的 空间解析几何处理 这类题可以秒杀，这个要画图 有需要的童鞋回一下 我就画图还有这个在O-xyz 坐标系中 某条过O的直线和x y z分别成 a b c 度角有cos2 a + cos b + cos2 c =1这个有什么用呢？ 已知两个角 求第三个角 用于有些图形恶心的立几大题中建立坐标系双曲线焦点到渐近线的距离=b过双曲线两顶点作垂直于x轴的直线和渐近线交与四点 形成一个矩形则 斜边为c 另一条直角边为b我们来看看圆锥面是一个三角形旋转一周所得意味着该圆锥母线和底面所成的角恒为定值所以【研究线面成定角问题可以用圆锥面分析】立体几何中解析几何中 凡涉及线段中

21、点问题的 绝大多数和三角形中位线有关遇到排列组合难题 尤其是三个限制条件的 一定要用容斥原理举个例子：P要满足A,B,C，求P的方法数画个韦恩图U是全集 画个大框框 在上面画3个圈 非A 非B 非C （要看看他们是否有交集，一般是有的）看到图你知道该怎么算了吧P=U-(A+B+C)+A交B+A交C+B交C-A交B交C两个条件的我就懒得打字啦有关离心率问题 很多命题点在这里椭圆离心率e2=1-(b/a)2双曲线：e2=1+(b/a)2看到了吧 都和一个参数t=(b/a) 有关双曲线渐近线方程可设为b2x2-a2y2=0看到了么 这可是二次方程形式哟 可以避免讨论一些东西比如有两焦点 可以舍而不求

22、的联立使用韦达定理2画一个双曲线，比如P在右支上 连接PF1 PF21.若PO=F1O=F2O 则F1PF2为902.POOF1 则OF1 则，为锐角导函数为二次函数时 注意原函数有极值的条件是在定义域内0【这是一个你死也要记住的不等式链】sqrt(a2+b2)/2=(a+b)/2=sqrt(ab)=2/(1/a+1/b)注意2/(1/a+1/b) 也就是2ab/a+b这个不等式链 在配凑性消元 正负对消上有很大用途但是均值不等式一定是单向放缩的 一般求双最值问题 一定要涉及到求导平面中任意共起点的两条向量所组成的三角形面积为设向量OA=(a,b)向量OB=(c,d)a b( )c d即 ad

23、-bc证明可用S=1/2absin日 证平行四边形ABCD 中1.若|AB|=|AD| (向量AB+向量AD)(向量AB-向量AD)=02.若ABAD |向量AB+向量AD|=|向量AB-向量AD|用向量构筑不等关系若题目求ac+bd 这类的最大值 可以构筑向量m=(a,c)向量n=(c,d)向量m*向量n=ac+bd=sqrt(a2+c2)sqrt(b2+d2)y=f(a+x)和y=(b-x) 关于 x=(b-a)/2对称y=f(wx+a)和y=f(b-wx)关于x=(b-a)/2w对称切记等差数列Sn=(d/2)n2+(a1-d/2)n 这是二次函数表达式 很多小题就是以这个为基本命题的S

24、(2n-1)=(2n-1)an 你一看到等差数列和，下标又是奇数的 赶紧用啊等比数列Sn=m+mqn 其中m=a1/1-q这个是肯定要记的，很多放缩就是放缩到等比数列 然后选一个小于1的公比q 你观察，Sn的极限不就是a1/1-q可以用来证明(bn是等比)a1+a2+a3+.+anb1+b2+bn（通过单项放缩）a1/1-q=题目要求值cos75=1/sqrt(6)+sqrt(2)sin75=1/sqrt(6)-sqrt(2)自己推15的啊。这个我做数学和物理真题的时候遇到过 物理尤其光学题对于R上的奇函数 如果周期为T 则有f(T/2+nT)=0可以用奇X奇=偶函数 偶X奇=奇 来变幻函数性

25、质比如如果f(x)为偶 则 f(x)/x 为奇注意这种构造法|b2n-bn|=|b2n-b(2n-1)+b(2n-1)-b(2n-2)+b(n+1)-bn| y0/x0 * k = -b2/a22.和l联立消去x,y （别弄走了k)抛物线中利用参数方程很多情况下可以大幅度减少运算y2=2px的参数方程(2pt2,2pt)比例性质专业化简啊！分比性质a/b=c/d (a-b)/b=(c-d)/d合分比性质(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)和比差比就不提了 初中公式不懂自己查吧这俩公式 尤其下面的，平时遇到分式类的题可以试着用用就上手了已知过x轴上一点方程 一定要设为my=x-c为什么？ 它包括了斜率不存在的情况，可以避免讨论对存在性问题，可以从特殊条件出发，进而再证明这个值就是一般情况下的值平面上任意一点P(x,y)都可以表示为x=|OP|cosy=|OP|sin有什么用途呢？ 比如有OA OB 他们互相垂直你会发现神奇的事情详见2009年山东理22(2)三次函数具有对城中心P(x1+x2)/2,(y1+y2)/2)(x1x2 他们都是极值点)动态问题一般核心思想是：动中找静，双动则定一找出题中定死不变的量，有可能它是显性的有可能是隐形的比如2009全国2 16两点间距离空间版PQ2=d12+d22+d2-2d1d2cosd1,d2为PQ到 二