吉林省吉林一中2013-2014学年高二数学下学期3月月考试题（含解析）

1、PAGE PAGE - 14 -吉林一中20132014学年度下学期高二数学三月考高二数学试卷题号一二三四五总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上【试卷综析】本试卷是高二月考试卷，重点考察了解三角形、数列这部分内容。本套试卷从整体上看，试卷难度适当，具有较好的区分度、效度和信度。试题注重考查基础知识、基本技能和基本方法，突出了对学生数学能力的综合考察，很适合对高二学生的教学实际，对本部分内容做了一个全面的考查，知识点无遗漏，是一份非常不错的试卷。对于对数列的考查，加强了基本量的运算，证明数列为等差数列，根据递推关系求（或猜想出）数列的通项公式（

2、如12,13,17题），根据前几项和求通项，还有第18题加强了对新定义问题的考查，考查了学生的阅读理解能力、推理论证能力、运算求解能力及思维能力。对解三角形部分，更注重了基础知识的考查，正余弦定理、三角形面积公式、两角和与差的公式的正用和逆用（辅助角公式）、解三角形在实际生活中的应用等都考查的非常具体。这样的考试试题，有助于教师下一步的教学，也有助于学生的下一步学习，为教师的今后教学指明了方向。第I卷（选择题）请修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单项选择1. 在中，若,，则的面积为（ ）A B C1 D【知识点】本题考查了三角形的面积公式。【答案解析】A 【思路点拨】熟练掌握三角形的面积公式是

3、解决此题的基础。2. 已知等差数列an的公差d0,若a5、a9、a15成等比数列,那么公比为 ( ) A B C D【知识点】本题考查了等差数列和等比数列的基本量计算。【答案解析】C 成等比数列，则，可得，。【思路点拨】利用基本量表示各项，应用等比中项即可。3. 在中,角所对的边分别为,且满足,则的最大值是( ) A B. C. D.2【知识点】本题考查了正弦定理、两角和与差的正余弦公式的正用及逆用。【答案解析】A ，最大值为1.【思路点拨】给出三角形内的边与角的关系，通常会想到边角互换，然后再利用两角和与差的正余弦公式化简。4. 已知ABC中，a4，b4，A30，则B等于( )A30B30或

4、150 C60D60或120【知识点】考查了正弦定理。【答案解析】D 因为，所以，得，则60或120。【思路点拨】正弦定理的简单应用。【典型总结】在解决此类问题时，应注意的应用，以防出现增解。5. 数列的前n项和为,，则数列的前50项的和为 （ ）A49 B50C99 D100【知识点】数列通项公式的求法【答案解析】A 当时，；当时，。记数列的前50项的和为【思路点拨】已知数列的前项和求通项时，应用求解。【典型总结】在已知数列的前项和求通项，和知道前项和与的关系时求通项都得应用求解，但要注意的是，一定讨论当时是否适用于当时的式子，若适用则统一，若不适用则写成分段形式。切记！6. 知an为公比q

5、1的等比数列，若a2005和a2006是方程4x28x+3=0的两根，则a2007+a2008的值是( )A18B19C20D21【知识点】等比数列的性质以及根与系数的关系。【答案解析】A ，公比，。【思路点拨】利用根与系数的关系求出数列的两项，再求公比。7. 已知数列的通项公式,设其前n项和为，则使成立的自然数有 A最大值15 B最小值15 C最大值16 D最小值16【知识点】本题借助于数列考查了对数的运算法则以及对数不等式的解法。【答案解析】D ，所以。【思路点拨】正确应用对数的运算法则是解决本题的关键。8. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择、两观测点，且在、

6、两点测得塔顶的仰角分别为、，在水平面上测得，、两地相距，则电视塔的高度是（ ）A B C D【知识点】正余弦定理在实际生活中的应用。【答案解析】D 设电视塔的高度为，则，在中，应用余弦定理得到，解得。【思路点拨】根据所给数据可以用表示,进一步应用余弦定理即可。9. 在ABC中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（）A B C D【知识点】考查解三角形。【答案解析】A 利用数形结合解决本题，如图：【思路点拨】以点为圆心，以1为半径做圆，显然当点接近于圆时，角最小，当与圆相切时，角最大。【典型总结】数形结合思想在解三角形问题中经常会用到。10. 设的三边长分别为,的面积为,若,则( )A.S

7、n为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n-1为递增数列,S2n为递减数列D.S2n-1为递减数列,S2n为递增数列【知识点】本题考查了三角形面积公式和归纳推理等。【答案解析】B 因为an1an，所以ana1.又因为bn1cn1eq f(1,2)(bncn)aneq f(1,2)(bncn)a1，所以bn1cn12a1eq f(1,2)(bncn2a1)因为b1c12a10，所以bncn2a1，故AnBnCn中边BnCn的长度不变，另外两边AnBn，AnCn的和不变因为bn1cn1eq f(1,2)(bncn)，且b1c10，所以bncneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)e

8、q sup12(n1)(b1c1)，当n时，bncn，也就是AnCnAnBn，所以三角形AnBnCn中BnCn边上的高随着n的增大而增大设三角形AnBnCn中BnCn边上的高为hn，则hn单调递增，所以Sneq f(1,2)a1hn是增函数【思路点拨】本题是2013年新课标全国卷1选择题中的压轴题。利用已知的条件寻找bn和cn的关系是解决本题的关键。第II卷（非选择题）请修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题11. 已知中，角，,所对的边分别为，外接圆半径是,且满足条件,则的面积的最大值为 .【知识点】本题考查了正余弦定理的应用、基本不等式、三角形的面积公式。【答案解析】 由正弦定理，则，

9、带入题中条件得，化简得，由余弦定理解得.又，即（基本不等式）.【思路点拨】应用正弦定理把角化为边，再利用余弦定理求出角C，然后应用三角形面积公式。12. 数列满足,则=_.【知识点】利用递推公式求某项。【答案解析】 根据，依次求出。【思路点拨】递推数列求某项，依次带入即可。【典型总结】本题还可以利用递推关系求出数列的通项公式。由等式两边同时取倒数，可得，即知为等差数列。，。也可以把整理成，展开，两边同时除以亦可。13. 已知数列)满足,则该数列的通项公式=_【知识点】根据递推关系求出前几项，再利用前几项猜出通项公式。【答案解析】 根据已知的递推关系可以得到，可依次求出分别为，可猜想通项为。【思

10、路点拨】利用递推关系依次求出前几项猜出通项公式。【典型总结】本题也可以这样求解：由，利用累加求出。14. 在等差数列an中,若a1+a2=3,a3+a4=5,则a7+a8等于. 【知识点】等差数列的基本量计算，基本性质的应用。【答案解析】9 法一：（a3+a4）-（a1+a2）=2 所以公差d=，,. 法二：数列也成等差数列，公差为2，所以。【思路点拨】利用基本量解决数列问题是高考考试的重点，也是学生必须掌握的知识。法一是利用了等差数列的基本量计算，法二利用了等差数列的基本性质。【典型总结】此题的结论可以进一步加以推广：等差数列的前项和为，则数列也成等差数列。三、解答题评卷人得分15. 如图，

11、港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东的方向，且在港口A北偏西的方向上一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船已知两船同时出发，补给装船时间为1小时（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？【知识点】正余弦定理解三角形在实际生活中的应用。【答案解析】【思路点拨】应用余弦定理。16. 在中，的对边分别为且成等差数列.（1）求B的值；（2）求的取值范围.【知识点】本题借助于三角形的知识，

12、考查了等差数列、正余弦定理、辅助角公式的应用以及三角函数值域的求法。【答案解析】（1）成等差数列，.由正弦定理得，代入得，即，.又在中，或.，.（2），. ，.的取值范围是【思路点拨】利用正弦定理先边角互化，求出角B。（2）中，把角C换成角A是解题的关键。17. 已知数列，首项a 1 =3且2 n ？S n1 (n2).（1）求证：是等差数列,并求公差；（2）求a n 的通项公式；（3）数列an 中是否存在自然数k0,使得当自然数kk 0时使不等式a ka k+1对任意大于等于k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由. 【知识点】本题考查了已知S n 与a n+1的关系求通项，怎

13、样证明一个数列是等差数列以及恒成立的问题。【答案解析】由已知当（2） 【思路点拨】利用求通项公式是解决此题的关键。18. 如果项数均为的两个数列，满足且集合，则称数列是一对 “项相关数列”.（1）设是一对“4项相关数列”，求和的值，并写出一对“项相关数列” ；（2）是否存在 “项相关数列” ？若存在，试写出一对；若不存在，请说明理由；（3）对于确定的，若存在“项相关数列”，试证明符合条件的“项相关数列”有偶数对【知识点】新定义问题，考查学生的阅读理解能力、推理论证能力运算求解能力，本题对学生的思维能力的考查较高。【答案解析】（1）依题意，相加得，又，则，.“4项相关数列”：8，4，6，5；：7

14、，2，3，1（不唯一）参考：（“4项相关数列”共6对：8，5，4，6；：7，3，1，2或：7，3，5，8；：6，1，2，4或：3，8，7，5；：2，6，4，1或：2，7，6，8；：1，5，3，4或：2，6，8，7；：1，4，5，3或：8，4，6，5；：7，2，3，1（2）不存在理由如下：假设存在 “15项相关数列”，则，相加，得又由已知，由此，显然不可能，所以假设不成立。从而不存在 “15项相关数列” （3）对于确定的，任取一对 “项相关数列”，令，先证也必为 “项相关数列” 因为又因为，很显然有，所以也必为 “项相关数列”再证数列与是不同的数列假设与相同，则的第二项，又，则，即，显然矛盾从而

15、，符合条件的 “项相关数列”有偶数对【思路点拨】正确理解新定义。参考答案一、单项选择1.【答案】A【解析】2.【答案】C【解析】3.【答案】A【解析】，最大值为1.4.【答案】D【解析】5.【答案】A【解析】6.【答案】A【解析】7.【答案】D【解析】8.【答案】D【解析】9.【答案】A【解析】10.【答案】B 【解析】二、填空题11.【答案】 【解析】由正弦定理，则，带入题中条件得，化简得，由余弦定理解得.又，即（基本不等式）.12.【答案】 【解析】13.【答案】 【解析】14.【答案】9【解析】三、解答题15.【答案】【解析】16.【答案】（1）成等差数列，.由正弦定理得，代入得，即，.又在中，或.，.（2），. ，.的取值范围是【解析】17.【答案】由已知当 【解析】18.【答案】解：（1）依题意，相加得，又，则，.“4项相关数列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）参考：（“4项相关数列”共6对：8，5，4，6；：7，3，1，2或：7，3，5，8；：6，1，2，4或：3，8，7，5；：2，6，4