函 数 的 单 调 性

1、函 数 的 单 调 性第1页，共15页，2022年，5月20日，9点23分，星期一画出函数y = x2的图像 描点法的步骤：列表 描点 连线（连成光滑曲线）回顾：第2页，共15页，2022年，5月20日，9点23分，星期一 函数y = x2随着自变量x的变化（从左往右），函数值y怎样变化？通过对函数 y = x2图象的分析，可知： 在(-,0)上，随着自变量x的增大，函数值相应地减小； 在(0,+)上，随着自变量x的增大，函数值相应地随之增大。 观察图形第3页，共15页，2022年，5月20日，9点23分，星期一(1) 增函数、减函数的定义 如果对于给定的区间内的任意两个自变量x1 、x2，当

2、x1 x2时， 都有f(x1)f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数。函数单调性 这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？ 根据y=x2的图像可知：两者是一致的。 定义中的“当x1 x2时，f(x1)f(x2)”描述了y随x的增大而减少。 第4页，共15页，2022年，5月20日，9点23分，星期一(2)单调性与单调区间函数单调性 分析函数y = x2 在区间(0,)上的单调性和单调区间。 如果一个函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有（严格的）单调性。这一区间叫做函数的单调区间。任务：由图象可知：函数

3、y=x2 在区间(0,+)上单调增加，则区间(0,+)称为函数y=x2的单调增区间。第5页，共15页，2022年，5月20日，9点23分，星期一(2)单调性与单调区间函数单调性 分析函数 y=1/x在区间(0,)上的单调性和单调区间。 如果一个函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有（严格的）单调性。这一区间叫做函数的单调区间。任务：由图象可知：函数 y=1/x在区间(0,+)上单调减少，则区间(0,+)称为函数y =1/x的单调减区间。 思考：函数 y=1/x在整个定义域上是否单调递减？ 第6页，共15页，2022年，5月20日，9点23分，星

4、期一(3)对函数单调性的理解 函数单调性 自变量属于定义域且任意；函数的单调性是反映函数在某一个区间 上函数值随自变量变化而变化的性质。 第7页，共15页，2022年，5月20日，9点23分，星期一根据图象说出函数在指定区间上是增函数还是减函数。 根据图象判断函数的单调性 （a , b） （c , d） （-, +） （-, +） 第8页，共15页，2022年，5月20日，9点23分，星期一下图所示是定义在闭区间-5, 5上的函数f(x)的图像，根据图像说出f(x)的单调区间，并回答在每一个单调区间上，f(x)是增函数还是减函数？ 根据图象判断函数的单调性解：此图看出函数y=f(x)的单调区间

5、有-5,-2、-2,1、1,3、3,5其中在区间-5,-2上是减函数，在区间 -2, 1上是增函数，在区间1,3 上是减函数，在3 ,5上是增函数。 第9页，共15页，2022年，5月20日，9点23分，星期一利用定义判断函数的单调性判断函数f(x)=3x+2在（-, +）上的单调性。 分析： 根据定义进行判断的关键在于说明“当 x1 x2 时，f(x1)与f(x2)的大小关系”。 可设x1 x2为其定义域上的任意两个数， 考虑证明f(x1)-f(x2)0），即得出 f(x1)f(x2) )。第10页，共15页，2022年，5月20日，9点23分，星期一利用定义判断函数的单调性判断函数f(x)

6、=3x+2在（-, +）上的单调性。 解：设x1 、x2 为其定义域上的任意两个不相等的实数，且x1 x2，则 f(x1)-f(x2) = (3x1 +2)-(3x2 +2) = 3(x1-x2) x1 x2 x1 - x20 f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2) 函数f(x)=3x+2在区间（-, +）上是增函数 用定义判断函数单调性的4个步骤：设；作差、变形；定符号；下结论。 第11页，共15页，2022年，5月20日，9点23分，星期一利用定义判断函数的单调性判断函数f(x)=-3x+2在（-,+）上的单调性； 判断函数f(x)=1/x在区间（0,+）上的单调性。 思考：第12页，共15页，2022年，5月20日，9点23分，星期一 小结 本节课重点要理解函数单调性及相关概念，学会用定义来判断一些简单函数的单调性。通过学习，增强我们“数形结合”的意识与能力，学会从感性到理性，从具体到抽象的研究问题方法。 第13页，共15页，2022年，