【新教材教案】4.3.2 对数的运算 教学设计-人教A版高中数学必修第一册

1、【新教材】4.3.2 对数的运算（人教 A 版）学生已经学习了指数运算性质，有了这些知识作储备，教科书通过利用指数运算性质，推导对数的运 算性质，再学习利用对数的运算性质化简求值。课程目标1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.数学学科素养1.数学抽象：对数的运算性质；2.逻辑推理：换底公式的推导；3.数学运算：对数运算性质的应用；4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题.重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用； 难点：正确使用对数的运算性质和换底公式教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工

2、具：多媒体。一、 情景导入回顾指数性质：(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)s a rs (a0，r，sQ)(3)(ab)r a r b r(a0，b0，rQ)那么对数有哪些性质？如log ( MN ) ? a要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本 124-125 页，思考并完成以下问题1.对数具有哪三条运算性质？2. 换底公式是如何表述的？a a a a a 2 2 2 c c 7 12 2 2 2 1 2 1 12 1 7 12 2 2 = log 7- log (25 3)+3+log 3-1- log 3-

3、log 72 2 2 2 1 1 1 5 12 2 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、 新知探究1对数的运算性质若 a0，且 a1，M0，N0，那么：(1)log (M N)log Mlog N，M(2)log log Mlog N，a N a a(3)log Mnnlog M(nR)点睛 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时， 等式才成立例如， log (3)(5)log (3)log (5)是错误的2换底公式log b若 c0 且 c1，则 log b (a0，且 a1，b0)a log a四、典例分析、举一反三题型一对数运

4、算性质的应用例 1 计算下列各式的值:(1)log +log 24- log 84;96 2(2)lg 52+ lg 8+lg 5lg 20+(lg 2)2 3.(2)3【答案】(1)-2【解析】(1)(方法一)原式=log7249684=log =- .2 2(方法二)原式= log +log (233)- log (2237)2 96 21 1 1 12 2 2 2 2=- 5- log 3+2+ log 3=- +2=- .2 2 2 2 2(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2

5、+lg 5+lg 2=2+1=3.解题技巧：（对数运算性质的应用）1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是:(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;1 log3 323 33 5 1 log3 3 1 3 3 = =【 解析】(1)原式=lg3 lg3 lg2 lg3 lg3 lg2 + = + =. (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg 2+lg 5=1 在计 算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.跟踪训练一1.计算下列各式的值(1)log 27

6、+lg 25+lg 4+7 7 2 +(-9.8)0.(2)2log 2-log +log 8-592log 3.【答案】(1) 5 (2) -7【解析】(1)log 27+lg 25+lg 4+7 7 2 +(-9.8)03=log 32 +lg 52+lg 22+ +1 2= +2lg 5+2lg 2+ =3+2(lg 5+lg 2) 2 2题型二换底公式的应用例 2 计算下列各式的值:(1)log 9 log 328 27; (2)(log 3 log 3)4 8lg2lg3.10 5【答案】(1)96(2)lg9 lg32 2lg3 5lg2 10 lg8 lg27 3lg2 3lg3

7、 9.(2)原式=( + ) = ( + ) lg4 lg8 lg3 2lg2 3lg2 lg3=lg3 lg2 lg3 lg2 1 1 5 2lg2 lg3 3lg2 lg3 2 3 6解题技巧：（换底公式的应用）2 3 62 4 3 272 2 2 2 1 22 3 3 5 52 3 2 3= log 32 . 2 1+ =, 求证:1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值 问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:跟踪训练二1.化简:(1)log 3log 6log 8;(2)(log 3+log 3)(log 2+log

8、4).【答案】(1) 3 (2)52【解析】(1)原式=log 3log 6 log 8=log 8=3.log 3 log 62 2(2)原式=(log23 + log 3) (log 2 + log 2) 2 3 3=( log 3) ( log 2) = log 3log 2 2 3 25 12 log 32=52题型三 对数的综合应用例 3 (1)若 3x=4y=36,求 + 的值;(2)已知 3x=4y=6z1 1 1 2 .【答案】(1) 1 (2)123 4 =3 363636 364 3636362 36 36 363 4 6 1 13 = = = log 3,= log 4,

9、log log m 1 11 1 2 1 m m = 72 13 7 2 1 23 1 M M M M M7【解析】(1)3x=4y=36,x=log 36,y=log 36,2 2 log 36=2log 36log 3=2log 3=log 9,1=1log 36=1log 36log 4=log 4. +1=log 9+log 4=log 36=1.(2)设 3x=4y=6z =m,则 x=log m,y=log m,z=log m.所以 = log 1 1 1 1m m4 6=log 6.故 + 2=logm3+ logm4=logm3+logm42 =logm3+logm2=log (32)=log 6= .解题技巧：（对数的综合应用）对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常 引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.跟踪训练三1.已知 3a b=M,且 + =2,求 M 的值? 【答案】37【解析】因为 3a=7b=M,所以 a=log M,b=log M,所以 + = log +=2log 3+log 7=log 9+log 7=log 63=2, log 所以 M2=63