高中数学必修二 第六章 6.3 6.3.1

1、6.3.1平面向量基本定理知识点平面向量基本定理1对基底的理解(1)基底的两个主要特征基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决3平面向量基本定理的应用(1)平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一

2、平面内的两个不共线向量，若x1ay1bx2ay2b，则eq blcrc (avs4alco1(x1x2，,y1y2.)(2)重要结论设e1，e2是平面内一个基底，1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面向量的一个基底e1，e2中，e1，e2一定都是非零向量()(2)在平面向量基本定理中，若a0，则120.()(3)在平面向量基本定理中，若ae1，则20；若ae2，则10.()(4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()Ae1，e2 Be1e2,3e13e2Ce1,5e

3、2 De1，e1e2(2)在ABC中，D为BC边上靠近点B的三等分点，若eq o(AB,sup16()a，eq o(AC,sup16()b，则eq o(AD,sup16()_(用a，b表示)(3)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.(4)已知ABCD的两条对角线相交于点M，设eq o(MA,sup16()a，eq o(MB,sup16()b，试用基底a，b表示eq o(AB,sup16()_，eq o(AD,sup16()_.答案(1)B(2)eq f(2,3)aeq f(1,3)b(3)1512(4)baab题型一 正确理解基底

4、的概念例1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：eq o(AD,sup16()，eq o(AB,sup16()；eq o(DA,sup16()，eq o(BC,sup16()；eq o(CA,sup16()，eq o(DC,sup16()；eq o(OD,sup16()，eq o(OB,sup16()其中可作为这个平行四边形所在平面的一个基底的是()A BC D解析eq o(AD,sup16()与eq o(AB,sup16()不共线；eq o(DA,sup16()eq o(BC,sup16()，则eq o(DA,sup16()与eq o(BC,sup16()共线；eq o(C

5、A,sup16()与eq o(DC,sup16()不共线；eq o(OD,sup16()eq o(OB,sup16()，则eq o(OD,sup16()与eq o(OB,sup16()共线由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一个基底，故满足题意答案B能作为基底向量的条件考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一表示注意零向量不能作基底设e1，e2是平面内一个基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2，e1e2 B3e12e2,4e26e1Ce12e2，e22e1 De2，e2e

6、1答案B解析4e26e12(3e12e2)，两个向量共线，不能作为基底.题型二 用基底表示向量例2如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且eq o(AN,sup16()eq f(1,2)eq o(NC,sup16()，BN与CM相交于点E，设eq o(AB,sup16()a，eq o(AC,sup16()b，试用基底a，b表示向量eq o(AE,sup16().解易得eq o(AN,sup16()eq f(1,3)eq o(AC,sup16()eq f(1,3)b，eq o(AM,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()eq f(1,2)a，由N，E，B三点共线知存在实

7、数m，满足eq o(AE,sup16()meq o(AN,sup16()(1m)eq o(AB,sup16()eq f(1,3)mb(1m)a.由C，E，M三点共线知存在实数n，满足eq o(AE,sup16()neq o(AM,sup16()(1n)eq o(AC,sup16()eq f(1,2)na(1n)b，所以eq f(1,3)mb(1m)aeq f(1,2)na(1n)b，由于a，b为基底，所以eq blcrc (avs4alco1(1mf(1,2)n，,f(1,3)m1n，)解得eq blcrc (avs4alco1(mf(3,5)，,nf(4,5)，)所以eq o(AE,sup1

8、6()eq f(2,5)aeq f(1,5)b.条件探究若将本例中的“eq o(AN,sup16()eq f(1,2)eq o(NC,sup16()”改为“eq o(AN,sup16()eq f(1,4)eq o(NC,sup16()”，其他条件不变，试用基底a，b表示eq o(AE,sup16().解由已知得eq o(AN,sup16()eq f(1,5)eq o(AC,sup16()eq f(1,5)b，eq o(AM,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()eq f(1,2)a，N，E，B三点共线，设eq o(AE,sup16()meq o(AN,sup16()(1

9、m)eq o(AB,sup16()eq f(m,5)b(1m)a，又C，E，M三点共线，设eq o(AE,sup16()neq o(AM,sup16()(1n)eq o(AC,sup16()eq f(n,2)a(1n)b，eq f(m,5)b(1m)aeq f(n,2)a(1n)b，a，b不共线，eq blcrc (avs4alco1(f(m,5)1n，,1mf(n,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(mf(5,9)，,nf(8,9)，)eq o(AE,sup16()eq f(4,9)aeq f(1,9)b.用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有

10、两种：一种是运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解如图，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若eq o(AB,sup16()a，eq o(AD,sup16()b，试用a，b表示eq o(DC,sup16()，eq o(BC,sup16()，eq o(MN,sup16().解如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形则eq o(DC,sup16()eq o(AN,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()eq f(1,2)a；eq o(BC,

11、sup16()eq o(NC,sup16()eq o(NB,sup16()eq o(AD,sup16()eq f(1,2)eq o(AB,sup16()beq f(1,2)a；eq o(MN,sup16()eq o(CN,sup16()eq o(CM,sup16()eq o(AD,sup16()eq f(1,2)eq o(CD,sup16()eq o(AD,sup16()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup16()eq f(1,4)ab.题型三 利用平面向量基本定理解决共线问题例3设e1，e2是平面内的一个基底，如果eq o(AB,sup16

12、()3e12e2，eq o(BC,sup16()4e1e2，eq o(CD,sup16()8e19e2，求证：A，B，D三点共线证明eq o(AB,sup16()3e12e2，eq o(AD,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(CD,sup16()15e110e25(3e12e2)5eq o(AB,sup16()，即eq o(AD,sup16()5eq o(AB,sup16()，eq o(AD,sup16()与eq o(AB,sup16()共线，又eq o(AD,sup16()与eq o(AB,sup16()有公共点A，A，B，D三点共线(1)三

13、点共线问题的解法一是利用平面向量基本定理、结合向量的线性运算表示有公共点的两向量之间的共线关系二是找直线外一点(任意一点也可)O，若存在唯一实数对，R使eq o(OP,sup16()eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()(1)则P，A，B三点共线(2)注意向量共线与平面向量基本定理放在一起思考解决是否共线问题若向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，则是否存在这样的实数，使dab与c共线？解dab(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使dkc，即(22)e1(33)e2k(2e19e2

14、)，由eq blcrc (avs4alco1(222k，,339k，)得2.故存在这样的实数，只要2，就能使d与c共线题型四 利用平面向量基本定理解决平面几何问题例4如图所示，L，M，N分别为ABC的边BC，CA，AB上的点，且eq f(BL,BC)l，eq f(CM,CA)m，eq f(AN,AB)n，若eq o(AL,sup16()eq o(BM,sup16()eq o(CN,sup16()0，求证：lmn.证明令eq o(BC,sup16()a，eq o(CA,sup16()b为一个基底，根据已知有eq o(BL,sup16()la，eq o(CM,sup16()mb.eq o(AB,s

15、up16()eq o(AC,sup16()eq o(CB,sup16()ab，则有eq o(AN,sup16()neq o(AB,sup16()nanb.eq o(AL,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BL,sup16()(l1)ab，eq o(BM,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(CM,sup16()amb，eq o(CN,sup16()eq o(CA,sup16()eq o(AN,sup16()na(1n)b，又eq o(AL,sup16()eq o(BM,sup16()eq o(CN,sup16()0.(ln)a(mn)b0.根据平面向量基本定

16、理，有lnmn0.故lmn.(1)平面向量基本定理是向量法的理论基础，它不仅提供了向量的几何表示方法，同时也使向量用坐标来表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁这就为几何问题转化为代数论证提供了理论工具(2)由平行向量基本定理可知，任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示，而且这种表示是唯一的因此，平面向量基本定理是平行向量基本定理从一维到二维的推广如图，设一直线上三点A，B，P满足eq o(AP,sup16()eq o(PB,sup16()(1)，O是平面上任一点，则()A.eq o(OP,sup16()eq f(o(OA,sup16()o(OB,sup16(),1

17、) B.eq o(OP,sup16()eq f(o(OA,sup16()o(OB,sup16(),1)C.eq o(OP,sup16()eq f(o(OA,sup16()o(OB,sup16(),1) D.eq o(OP,sup16()eq f(o(OA,sup16()o(OB,sup16(),1)答案A解析eq o(AP,sup16()eq o(OP,sup16()eq o(OA,sup16()eq o(PB,sup16()(eq o(OB,sup16()eq o(OP,sup16()，eq o(OP,sup16()eq f(o(OA,sup16()o(OB,sup16(),1).1e1，e

18、2是平面内一个基底，下面说法正确的是()A若实数1，2使1e12e20，则120B空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数)C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对答案A解析由基底的定义可以知道，e1和e2是平面上不共线的两个向量，所以若实数1，2使1e12e20，则120，不是空间任一向量都可以表示为a1e12e2，而是平面中的任一向量a，可以表示为a1e12e2的形式，此时实数1，2有且只有一对，而对实数1，2，1e12e2一定在平面内，所以A正确2A，B，O是平面内不共线的三个定点，且eq o(OA,sup16(

19、)a，eq o(OB,sup16()b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则eq o(PR,sup16()等于()Aab B2(ba) C2(ab) Dba答案B解析如图，aeq f(1,2)(eq o(OP,sup16()eq o(OQ,sup16()，beq f(1,2)(eq o(OQ,sup16()eq o(OR,sup16()，相减得baeq f(1,2)(eq o(OR,sup16()eq o(OP,sup16()，eq o(PR,sup16()2(ba)3已知向量a，b不共线，且eq o(AB,sup16()a2b，eq o(BC,sup16()5a6b，eq

20、o(CD,sup16()7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D答案A解析eq o(AB,sup16()a2b，eq o(BD,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(CD,sup16()2a4b，2eq o(AB,sup16()eq o(BD,sup16()，eq o(AB,sup16()eq o(BD,sup16().又eq o(AB,sup16()与eq o(BD,sup16()有公共点B，A，B，D三点共线故选A.4已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy_.答案3解析由平面向量基本定理，得eq blcrc (