初中数学“破译”等腰三角形的多解问题 知识精讲

1、word初中数学“破译”等腰三角形的多解问题知识精讲汪宗兴涉及等腰三角形的许多问题都有多解的特点，同学们常因考虑不周，导致这样或那样的错误。若能预知这些“错误”，就可以少走弯路，提高学习效率！实际解题过程中，只要我们注意运用分类思想，就可得到这些多解问题的清晰、完整、严密的解答。现分类举例如下。一、与边有关的问题例1.（2007年某某）已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（）A.9B.12C.9或12D.5解析：已知条件中并没有指明2（或5）是腰长还是底边的长，因此应通过分类讨论解题。当2是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是5，但225，不符合“三角形两边之和大于第三

2、边”，所以这种情况不存在；当5是等腰三角形的腰长时，这个三角形的底边长是2，则此时周长等于12。故这个等腰三角形的周长为12，应选B。温馨提示：对于等腰三角形，若条件中没有明确哪条边是底哪条边是腰时，应分两种情况进行讨论。还要注意观察是否符合“三角形两边之和大于第三边。”例2.（2007年某某）如图1，点O是等边ABC内一点，AOB=110，BOC=。将BOC绕C点按顺时针方向旋转60得ADC，连接OD。（1）求证：COD是等边三角形。（2）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形？解析：（1）COCD,OCD60，COD是等边三角形。（2）由题设可得AOD36011060190,ADOADC6

3、0BOC6060,OAD180(AODADO)50。若AOAD，需AODADO。则19060。125。若OAOD，需OADODA。则5060。110。若DODA，需OADAOD。则50190。140。所以，当为125或110或140时，AOD是等腰三角形。温馨提示：在未说明等腰三角形的三边哪条边是腰，哪条边是底时，对角的大小的讨论通常应分三种情况。二、与角有关的问题例3.（2007年某某）已知一个等腰三角形两内角之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的大小为（）A.20B.120C.20或120D.36解析：两内角之比为1：4，可能是顶角与底角之比为1：4，也可能是底角与顶角之比1/4为1：4。当

4、顶角与底角之比为1：4时，则顶角为18014420；当底角与顶角之比为1：4时，则顶角为1801414120。所以这个等腰三角形的顶角是20或120。故应选C。x6腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得或。解得，11y9温馨提示：对于一个等腰三角形，若条件中没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论。先确定有关角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。三、与中线有关的问题例4.若等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。解析：由题意知，中线实际上把这个等腰三角形分成了两个部分。已知条件中并没有指明哪一部分的长是9cm，哪一部分的长是12

5、cm，因此，应分两种情形讨论。若设这个等11xx9xx12,22xy12xy922x8或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。y5温馨提示：在求出等腰三角形的底和腰的长以后，千万不要忘记检验求出的解是否符合三角形三边关系定理。四、与高有关的问题例5.（2007年某某）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25，则该三角形的一个底角为（）C.65解析：依题意可画出图2和图3两种情形（ABC中，AB=AC，CD为腰AB上的高）。图2中DAC（即顶角）为65，图3中DAC为65。所以，图2中底角是180656557.5。图3中底角是32.5。故选D。22温馨提示：三角

6、形的高是由三角形的形状决定的。对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。五、与垂直平分线有关的问题例6.在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则ABC的底角B=_。解析：按照题意可画出图4和图5两种情形。如图4，当交点在腰AC上时，此时可求得A40，所以2/4BC1(18040)70。2如图5，当交点在腰CA的延长线上时，ABC为钝角三角形，此时可求得BAC=140，所以B=C=1(180140)20。2故这个等腰三角形的底角B为70或20。温馨提示：这里的图5的情形最容易被漏掉。求解时一定要认真分析题意，画出所有

7、可能的图形，这样才能正确解题。六、综合问题例7.（2007年某某）如图6，在RtABC中，BAC=90，AB=AC=2。点D在斜边BC上运动（点D不与点B、C重合）。作ADE=45（A、D、E按逆时针方向），交AC于点E。问：ADE能否为等腰三角形？试简要说明理由。解析：若ADE是等腰三角形，则可能有AD=AE或DA=DE或EA=ED三种情况。若AD=AEADE45,AEDADE45。DAE90。这时点D与顶点B重合，不合题意。故这种情况不可能。若DA=DE。ABAC,BCDECDAE45,ADBDACCDAE45,DECADB。ABDDCE(AAS)CDAB2。这种情况是可能的。若EA=ED。这时，DAE=ADE=45，则AD是BAC的平分线。这种情况是可能的。3/4综上所述，ADE可以是等腰三角形。，拓展：（1）如图7，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E其他条件不变，是否存在点D，使ADE是等腰三角形？请简要说明理由。（2）如图8，若点D在BC的反向延长线上运动，其他条件不变，是否存在点D