《解析几何》教学大纲

1、解析几何Analytic Geometry一、课程基本情况课程类别：学科基础课课程学分：3学分课程总学时：48学时，其中讲课：48学时（含习题课），实验（含上机）：0学时，课外0学时课程性质：必修开课学期：第1学期先修课程： 无适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学、应用统计学教 材：吕林根，许子道等编，解析几何，高等教育出版社，2001年，第三版.开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务本课程是数学与其应用数学、信息与计算科学、应用统计学等数学类本科专业必修的一门重要基础课程，是初等数学通向高等数学的桥梁。线性代数，数学分析，微分方程等课程的学习都离不开空间解析几何的基本

2、知识以及研究方法。空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。通过本课程的学习，使学生受到几何直观及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养空间想象能力以及运用矢量法与坐标法计算几何问题和证明几何问题的能力，并且能用解析方法研究几何问题和对解析表达式给予几何解释，为进一步学习其它课程打下基础；另一方面借助解析几何所具有的较强的直观效果提高学生认识事物的能力。三、教学内容和要求第1章向量与坐标（学时：15）1.1向量的概念（学时：1）（1）了解向量的概念； （2）理解向量相等、向量平行、单位向量、零向量等概念； （3）掌握向量的模，方向的定义；

3、重点：共线向量，共面向量难点：向量与标量的区别1.2向量的加法（学时：1）（1）了解向量加法的平行四边形法则、三角形法则，向量减法的定义； （2）理解向量加法、减法的运算性质； （3）掌握n个向量加法的多边形法则；重点：向量加法、减法的运算难点：向量加减法在几何证明中的应用1.3数量乘向量（学时：1）（1）了解数量与向量乘法的定义； （2）掌握数量与向量乘法的运算性质； 重点：数量与向量乘法运算难点：数量乘向量在几何证明中的应用1.4向量的线性关系与向量的分解（学时：2）（1）了解向量线性组合的定义； （2）理解向量线性相关、线性无关、定比分点坐标的表示； （3）掌握n个向量线性相关性的几何条

4、件；重点：判断向量的线性相关性难点：向量的线性组合和线性相关性的联系1.5标架与坐标（学时：2）（1）了解标架、坐标系的定义； （2）掌握用坐标进行向量的加法、减法、数乘运算；重点：用坐标给出向量共线、共面的充要条件难点：向量坐标与点坐标的转化1.6向量在轴上的射影（学时：2）（1）了解向量夹角的定义； （2）理解向量在轴上的射影的概念以及性质； （3）掌握求解向量在轴上的射影；重点：求解向量在轴上的射影难点：向量在轴上的射影向量与向量在轴上的射影的区别与联系1.7两向量的数量积（学时：2）（1）了解两向量数量积的定义； （2）理解两向量数量积的运算性质及坐标运算； （3）掌握向量的方向余弦、

5、夹角等运算；重点：向量的数量积、方向余弦、夹角的坐标运算难点：两向量的数量积在几何证明中的应用1.8两向量的向量积（学时：2）（1）了解两向量向量积的定义； （2）理解两向量向量积的运算性质及坐标运算； （3）掌握两向量向量积的几何意义；重点：两向量的向量积的运算难点：两向量的数量积与向量积运算性质的区别与联系1.9三向量的混合积（学时：2）（1）了解三向量混合积的定义； （2）理解三向量混合积的运算性质及坐标运算； （3）掌握三向量混合积在判断三向量共面中的应用；重点：三向量混合积的运算难点：三向量混合积的轮换性质第2章轨迹与方程（学时：6）2.1平面曲线的方程（学时：2）（1）了解平面曲线

6、方程与对应图形的关系； （2）掌握曲线的向量式参数方程、坐标式参数方程；重点：求曲线的轨迹方程难点：曲线普通方程和参数方程的转化2.2曲面的方程（学时：2）（1）了解曲面方程与对应图形的关系； （2）理解曲面的向量式参数方程、坐标式参数方程；（3）掌握球坐标、柱坐标的运算；重点：求曲面的轨迹方程难点：球坐标、柱坐标与直角坐标的转化2.3空间曲线的方程（学时：2）（1）理解空间曲线的一般方程；（3）掌握空间曲线的向量式参数方程、坐标式参数方程；重点：求解空间曲线方程难点：空间曲线的一般方程与参数方程的转化第3章向量与坐标（学时：16）3.1平面的方程（学时：2）（1）了解平面的点位式方程和截距式

7、方程； （2）理解平面方程的法式化； （3）掌握平面的向量式参数方程，一般方程以及法式方程；重点：求解平面方程难点：平面方程的法式化3.2平面与点的相关位置（学时：2）（1）了解平面划分空间问题及三元一次不等式的几何意义； （2）理解离差的意义； （3）掌握点到平面的距离公式；重点：点与平面间的距离难点：点与平面间的离差3.3两平面的相关位置（学时：2）（1）了解平面的相交，平行与重合； （2）理解平面位置关系的判定定理； （3）掌握平面位置关系的判定及两平面间的二面角；重点：平面位置关系的判定及二面角难点：平面位置关系的判定3.4空间直线的方程（学时：2）（1）了解直线的向量式参数方程； （

8、2）理解直线的方向余弦及方向数； （3）掌握空间直线方程的标准方程和一般方程；重点：求空间直线的方程难点：一般方程化为标准方程3.5 直线与平面的相关位置（学时：2）（1）了解直线与平面的相关位置； （2）理解直线与平面的夹角； （3）掌握直线与平面的位置判定；重点：直线与平面的位置判定及直线与平面的夹角难点：直线与平面的夹角3.6 空间直线与点的相关位置（学时：2）（1）了解空间直线与点的相关位置； （2）理解点到直线距离的计算公式； （3）掌握点到直线的距离；重点：点到直线的距离3.7 空间两直线的相关位置（学时：2）（1）了解两异面直线的公垂线； （2）理解异面直线的距离； （3）掌握空

9、间两直线位置关系的判定；重点：空间两直线的位置关系及两直线的夹角难点：异面直线的距离及公垂线方程3.8 平面束（学时：2）（1）了解有轴平面束与平行平面束； （2）理解平面束的意义； （3）掌握平面束的方程；重点：利用平面束求解空间平面方程难点：平面束方程的实际运用第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（11学时）4.1柱面（学时：2）（1）了解柱面的准线与母线； （2）理解空间曲线的射影柱面的几何意义； （3）掌握柱面方程与空间曲线的射影柱面；重点：柱面的方程与空间曲线的射影柱面方程难点：柱面的方程4.2锥面（学时：2）（1）了解锥面的母线，顶点与准线； （2）理解锥面判别定理； （3）掌握锥

10、面方程；重点：求锥面方程4.3旋转曲面（学时：2）（1）了解旋转曲面的定义及母线，旋转轴，经线和纬线； （2）理解绕坐标轴旋转的旋转曲面； （3）掌握旋转曲面的方程；重点：旋转曲面的方程以及单双叶旋转双曲面和旋转抛物面难点：求旋转曲面的方程4.4椭球面（学时：1）（1）了解椭球面的定义； （2）理解研究曲面图形的平行截割法； （3）掌握椭球面方程及参数方程；重点：椭球面方程及参数方程难点：椭球面的截线方程4.5 双曲面（学时：1）（1）了解单叶双曲面和双叶双曲面的形状； （2）理解单叶和双叶双曲面的对称性及截线方程； （3）掌握单叶双曲面和双叶双曲面的方程；重点：单叶双曲面和双叶双曲面的方程难

11、点：双曲面的截线方程4.6 抛物面（学时：1）（1）了解椭圆抛物面与双曲抛物面的定义； （2）理解椭圆抛物面与双曲抛物面的截线方程； （3）掌握椭圆抛物面与双曲抛物面的方程；重点：抛物面的方程难点：画空间交线及立体图形4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线（学时：2）（1）了解直纹曲面，u族直母线与v族直母线； （2）理解直母线之间的位置关系； （3）掌握单叶双曲面与双曲抛物面的直母线方程；重点：单叶双曲面与双曲抛物面的直母线方程难点：直母线之间的位置关系第五章二次曲线的一般理论(选学内容，不占总学时)5.1 二次曲线与直线的相关位置（1）了解：二次曲线的定义、矩阵、相关位置； （2）理解：相

12、关位置的判别法；5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线（1）了解：渐近方向，二次曲线的分类(椭圆、抛物、双曲)，二次曲线的中心、渐近线，有心无心的定义； （2）理解：中心的判别法；5.3 二次曲线的切线（1）了解：奇异点、正常点； （2）理解：切线的定义；5.4 二次曲线的直径（1）了解：共轭方向，共轭直径； （2）理解：中心与直径及渐近方向的关系；5.5 二次曲线的主直径与主方向（1）了解：主方向，主直径，轴、顶点； （2）理解：特征根的性质；5.6 二次曲线的方程化简与分类（1）了解：代数曲线； （2）理解：化简后的分类；（3）掌握：平面直角坐标变换； 5.7 运用不变量化简二次曲线的方程（2）理解：不变量、半不变量及二者间的关系；直角坐标变换下的半不变量的不变性；（3）掌握：中心曲线、无心曲线、线心曲线运用不变量简化，运用不变量对曲线进行分类 重点：不变量、半不变量及二者间的关系；直角坐标变换下的半不变量的不变性；难点：运用不变量对二