专题一一次函数中等腰三角形存在性问题方法总结

1、专题一：一次函数中等腰三角形存在性问题方法总结 类型一、等腰三角形以A( x , y ) A A、B ( x , y ) B B为三角形的边，在 x 轴上找一点 P 使 eq oac(,得)PAB为等腰三角形（二定一动）一.找法：画圆和作垂直平分线以 A 为圆心，线段 AB 为半径画圆，与 x 轴交点即为P1、P2点；（AB=AP）以 B 为圆心，线段 AB 为半径画圆，与 x 轴交点即为 P 、 P 点；（AB=BP）3 4作线段 AB 的垂直平分线，与 x 轴交点即为 P 点；（AP=BP）5二、算法：利用两点距离公式进行计算公式：AB ( x x ) A B2 ( y y ) 2 A B

2、，设P ( x , y ) p p，分三种情况：AB=AP 时( x x ) A B2( y y ) A B2 ( x x ) A P2( y y ) A P2可得P1、P2，（特殊情况可能是一个点，例如P2与B重合）AB=BP 时( x x ) 2 ( y y ) 2 ( x x ) 2 ( y y ) A B A B B P B P2可得P3、P4，（特殊情况可能是一个点，例如P3与A重合）AP=BP 时( x x ) A P2( y y ) A P2 ( x x ) B P2( y y ) B P2可得 P 、51 2 2 1 2 1 3 3 例题 1、已知，如图直线l : y 112x

3、 1分别与 x、y 轴交于点 A、B.将直线l 平移后过点C(4,0)得到直线l ，点 D 在y 轴的正半轴，且直线l 交直线 AD 于点 E，交 y 轴于点 F，且EA = EC(1)求直线l2的解析式；(2)在 x 轴上是否存在点 M，使得以点 A、B、M 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标，若 不存在，请说明理由；【答案】(1) 直线l 平移过点C(4,0)得到直线l ，设直线l2的解析式为y = 12x + b点C(4,0)在直线l2， 0 = 4 + b， 2 b = 2，直线l2的解析式为y = 12x + 2(2)令x = 0，则y = 1， B(0, 1

4、) AB = (0 + 2)2 + (1 0)2 = 5 设点 M 的坐标为(a, 0)，令y = 0，则0 = 12x 1， x = 2， A(2,0)当AM = BM时 eq oac(,，) eq oac(, )ABM是等腰三角形，则(2 a)2 = (a 0) 2 + (0 + 1)2，即4 + 4a + a2 = a2 + 1，解得a = ，4即点M( , 0)4当AM = AB时 eq oac(,，) eq oac(, )ABM是等腰三角形， 则(a + 2)2 = 5，整理得a2+ 4a 1 = 0， 3 a =452解得a1= 2 + 5，a = 2 5，2即点M(2 + 5,

5、0)或(2 5, 0) 当BM = AB时 eq oac(,，) eq oac(, )ABM是等腰三角形，则5 = (a 0)2 + (0 + 1)2，即5 = a2+ 1，解得a = 2，当A = 2时与点 A 重合，此时不符合题意，故a = 2舍去即点M(2,0)综上所述，点 M 的坐标为( , 0)或(2 + 5, 0)或(2 5, 0)或(2,0)4练习：1.如图，在平面直角坐标系中，过点 A 的两条直线分别交 y 轴与 B（0，3），C（0，-1）两点，且ABC 30，ACAB 于点 A.（1）求线段 AO 的长，及直线 AC 的解析式；（2）若点 D 在直线 AC 上，且 DB=D

6、C，求点 D 的坐标；（3）在（2）的条件下，直线 BD 上是否存在点 P，使得 P、A、B 三点为定点的三角形是等腰三角形？若存在请直接 写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）AO 3，A( 3,0)，AC 解析式：y 33x 1（2）B (0,3) D ( 2 3,1)（3）BD 解析式：y 33x 3AB=AP（以 A 为圆心，AB 为半径画圆与直线 BD 交点即为 P ( 3 3,0)1P1）AB=BP（以 B 为圆心，AB 为半径画圆与直线 BD 交点即为 P ( 3,3 3) , P (3,3 3)2 3P 、P2 3）AP=BP（作 AB 线段的垂直平分线交直线

7、BD 与点 P ( 3,2)4P4）4练习2：如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且 （1）求 B 点的坐标和 k 的值OC 4OB 3（2）若点 A（x，y）是第一象限内的直线 y=kx-4 上的一个动点,则当点 A 运动到什么位置时 eq oac(,，)AOB 的面积是 6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点 P，使POA 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由【答案】（1）C (0, 4)，B (3,0)，k 43解析式：y 43x 4（2）设 A 的纵坐标为 hSAOB1 OB h=62，解得 h=4代入直线 BC 解析式：y 4

8、3x 4A(6, 4)OA 2 13（3）A0=0P（以 0 为圆心，A0 为半径画圆与 x 轴交点即为P、P1 2）P ( 2 13,0) 1、P (2 13,0)2A0=AP（以 1 为圆心，A0 为半径画圆与 x 轴交点即为 P ）3P (12,0)3AP=OP（作 A0 线段的垂直平分线交 x 轴与点 13P ( ,0)3P4）练习 3：如图，在直角坐标系中，一次函数y 33x 2的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B（1）已知 OCAB 于 C，求 C 点坐标；（2）在 x 轴上是否存在点 P，使PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【

9、答案】（1）A( 2 3,0) ， B (0, 2) ，在ABC 中，OCAB 于 C则AO2AC AB,解得AC 3利用等面积法可得：3 3, )D ( 则2 2CD 32、AD 3 32AB 4（2）AB=AP（以 A 为圆心，AB 为半径画圆与直线 BD 交点即为 P (42 3,0) 、P (4 2 3,0)1 2P、P1 2）AB=BP（以 B 为圆心，AB 为半径画圆与直线 BD 交点即为 P ）3P (2 3,0)3AP=BP（作 AB 线段的垂直平分线交直线 BD 与点P4）P ( 42 33,0)练习 4：.如图，一次函数y 3 x 3的函数图象与 x 轴、y 轴分别交于点

10、A，B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作 eq oac(,Rt)ABC，且使ABC=30 （1）求ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点 P（m，32），试用含 m 的代数式表示APB 的面积，并求当APB 与ABC 面积相等时 m 的值；（3）在坐标轴上是否存在一点 Q，使QAB 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q 所有可能的坐标；若不存在， 请说明理由【答案】（1）A(1,0)，B (0, 3)，AB 2设AC x，则BC 2 x由勾股定理得：4 x2x24 ，解得： x 2 33SABC1 2 3 2 3 2 2 3 3过 P 作 PDx 轴，垂足为 DSAPBS梯形 ODPBSAOBSAPD3 3 2 3m 2 4 35m 解得：6（3）AB 2AB=AQ（以 A 为圆心，AB 为半径画圆与直线 BD 交点即为Q 、Q 、Q 1 45）Q ( ,0) 、Q (3,0)、Q (0, 3)1 4 5