《群论》课程教学大纲

1、群论课程教学大纲 一、课程信息课程代码（COURSE CODE）316B1006课程名称（COURSE TITLE）群论课程性质（COURSE CHARACTER）专业选修学分（CREDIT）3学时（CONTACT HOURS）32+32先修课程（PRE-COURSE）高等代数、近世代数课程负责人（COURSE COORDINATOR）适用专业数学与应用数学（师范）课程简介：群论作为一种数学工具，已广泛应用于粒子物理、核物理、固体物理等物理分支。群论课程主要介绍群的基本知识、正规子群置换的基本知识。本课程是为本科高年级学生所开设的课程， 本课程的学习分为五个部分，第一部分学习群论的基本概念，包

2、括群、子群的概念 置换群，循环群，群的陪集分解，同构，群的置换表示。第二部分学习正规子群与同态，主要包括共轭子群与共轭元素，同态定理， 的单性，自同构群。第三部分学习置换群的进一步讨论，主要包括传递群，非传递群，传递群作为群的置换表示，本原性。第四部分学习交换群，包括直积，基，有限交换群的构造。第五部分学习Sylow定理及有限-群。通过本课程的学习，使学生掌握群论的基本概念、基本性质和基本方法，为学生继续深造和从事科学研究工作打下必要的数学基础。二、课程目标通过本课程的学习，学生应具备以下几方面的目标：1. 通过本课程学习，学生具有辩证唯物论观点，用群论的观点深入地理解中学代数的内容与方法，提

3、高教学修养的能力。2. 通过本课程学习，学生掌握群论中的基本概念、基本理论和基本方法，提高学生抽象思维和逻辑推理能力。3.通过本课程学习，学生具有一定的群论的基础知识，培养处理中学数学的有关教材内容的能力，进行相关教学设计。4.通过本课程学习，了解中学数学教学内容，了解中学生在学习数学学科内容时的认知特点，联系中学教学。课程目标对毕业要求的支撑关系表毕业要求毕业要求指标点课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4毕业要求3毕业要求指标点3.2HHHH毕业要求指标点3.3HH毕业要求7毕业要求指标点7.1H三、教学内容与预期学习成效知识单元对应课程目标知识点预期学习成效实现环节学时1.基本概念课程

4、目标1、2、41) 群、子群的概念 2)置换群，循环群3) 群的陪集分解4) 同构 5)群的置换表示(1) 深入理解并掌握理解群、对称群、置换群、交错群、子群、循环群、同构的定义和相关概念(2) 灵活运用群的性质证明群中元素的逆、阶等相关结论，运用轮换表法计算置换的阶、乘积.(3)运用子群的判别条件判断一个集合能否构成一个群的子群，判断一个群能否构成循环群, 能写出群的陪集分解、四元素群和的左右正则表示,会灵活应用Lagrange定理. 教学方法：课堂讲授、课堂讨论；教学手段：多媒体课件和传统教学相结合。4+4课程思政：通过对群的同构及置换表示的学习，让学生体会到抽象代数思维的魅力，引发学生借

5、助同构描述和解决问题的兴趣。2. 正规子群与同态课程目标2、3、41) 同态2) 共轭子群与共轭元素3) 正规子群4) 商群,同态定理5) 的单性6) 自同构群(1) 理解和运用群同态、同态象及同态核的定义, 理解共轭子群，正规化子，共轭元素，中心化子的定义. (2) 理解正规子群定义， 理解商群定义，三个同态定理. (3) 理解单群定义,理解自同构群，内自同构群，特征子群，换位子群的定义.(4)运用判定定理判断一个子群能否构成群的正规子群，会灵活应用同态定理。教学方法：讲授、例题分析教学手段：多媒体课件和传统教学相结合。8+8课程思政：通过对同构理论的相关学习,让学生学会把实际问题进行分类，

6、从解决一个问题转化为一类问题，从而提高解决问题的效率。3. 置换群的进一步讨论课程目标2、3、4、1) 置换群的一些子群2) 传递群3) 非传递群4) 传递群作为群的置换表示5) 本原性(1) 理解稳定子群，的定义， 理解传递群，多重传递群的定义，理解不变区、传递集（轨道）、成分、传递成分的定义.(2) 理解置换同构，一般传递群作为陪集置换表示，正则置换群作为正则表示. (3) 理解本原的定义、判定定理和非本原系置换群的定义.(4) 会求置换群的稳定子群，会应用传递群的性质解题，会判断一个集合能否构成群的一个轨道，会运用本原的判定定理判断一个置换群是否是本原群.教学方法：讲授、例题分析教学手段

7、：多媒体课件和传统教学相结合8+8课程思政：对称性普遍存在，通过对置换群及其稳定子群的学习，让学生体会对称性的魅力，引发学生学习的兴趣。4. 交换群课程目标2、3、4、1) 直积2) 基3) 有限交换群的构造(1) 理解直积定义，直积因子，直和，直和因子以及直积性质(2) 理解生成元、生成子群、交换群的基的一些性质，理解有限交换群的构造、型不变量、初等交换群的定义.(3) 会应用子群的直积解决一些简单群的构造，会应用基的性质，会应用子群的直积和基解决初等交换群的构造.教学方法：讲授、例题分析教学手段：多媒体课件和传统教学相结合6+6课程思政：通过对有限交换群构造的学习，让学生学会用一种较复杂的

8、结构作用在另一个相对简单的结构上，通过考察这种作用的效果而达到理解这个结构本身的目的。5. Sylow定理课程目标2、3、4、1) Sylow定理2) 有限-群3) 一些特殊-群(1)理解三个Sylow定理，灵活运用Sylow定理.(2)理解阶为的群的构造.(3)理解包含指数为的循环子群的阶群的构造，理解关于-群的基本结论.教学方法：讲授、例题分析教学手段：多媒体课件和传统教学相结合6+6课程思政：通过对Sylow定理的学习，让学生体会到把复杂问题按照一定的关系分类讨论可以简化问题，并能更清楚地看清事物的本质。四、成绩评定及考核方式知识单元对应课程目标考核方式成绩评定1.基本概念课程目标1、2

9、、4通过课后作业、单元闭卷测试和期末闭卷考试综合考评（1）出勤及课堂表现（10%）设此考核项目，目的是控制无故缺课和课堂懒散无纪律情况，具体方案为：总分为100分，无故旷课一次扣5分；无故旷课超过3次数者，此项总分记0分；无故旷课超过学校规定次数者，按学校有关规定处理；上课睡觉、玩手机、吃零食者被老师发现一次扣5分。（2）课后作业（10%）每章布置一次课后作业，作业包括课后思考题、计算题和教学设计，评分以答题思路的规范性、整洁性、整体性、逻辑性、正确性为依据，每次满分为100分，最后取平均分。作业缺少一次扣5分，总计缺少超过三分之一，作业成绩记0分。（3）期末考试（80%）期末进行综合闭卷考试

10、，总分为100分，期末考试卷面成绩未达总分50%者，该门课程成绩作不及格处理。2. 正规子群与同态课程目标2、3、4通过课后作业、课后拓展、教学设计、单元闭卷测试和期末闭卷考试综合考评3. 置换群的进一步讨论课程目标2、3、4、课堂提问、课后作业、课后拓展、单元闭卷测试和期末闭卷考试综合考评4. 交换群课程目标2、3、4、课堂提问、课后作业、课后拓展、单元闭卷测试和期末闭卷考试综合考评5. Sylow定理课程目标2、3、4、课堂提问、课后作业、课后拓展、单元闭卷测试和期末闭卷考试综合考评五、课程目标达成度评价依据课程目标考核环节(评价依据)期望值平均得分达成度计算课程目标1考核环节1考核环节1

11、期望值A1=a1=考核环节1实际平均得分 考核环节2考核环节2期望值B1=b1=考核环节2实际平均得分课程目标2考核环节1考核环节1期望值A1=a1=考核环节1实际平均得分 考核环节2考核环节2期望值B1=b1=考核环节2实际平均得分课程目标3考核环节1考核环节1期望值A1=a1=考核环节1实际平均得分考核环节2考核环节2期望值B1=b1=考核环节2实际平均得分课程目标4考核环节1考核环节1期望值A1=a1=考核环节1实际平均得分考核环节2考核环节2期望值B1=b1=考核环节2实际平均得分注：Ai、Bi是指各考核环节在总评成绩中所占的比例。六、课程建议教材及主要参考资料 1. 建议教材1 王萼芳. 有限群论基础. 北京：清华大学出版社，2002. 2. 主要参考资料1 MHall. 群论. 北京：科学出版社，1981.2 徐明曜. 有限群导引（第二版）. 北京：科学出版社，1999.3 张远