高中数学必修二 高一（下）期末测试卷（B卷 能力提升）（含答案）

1、高一（下）期末测试卷（B卷 能力提升）数学考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1（2021浙江温州市瑞安中学高三其他模拟）若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（ ）A-2B2CD【答案】D【分析】首先根据复数代数形式的除法运算法则化简，再根据复数为纯虚数，则实部为零，即可得到方程，解得即可；【详解】解： ，因为复数（是虚数单位）为纯虚数，所以，解得故选：D2（2021全国高三其他模拟（理）已知向量，且，则（ ）ABCD【答案】D【分析】本题首先可根据求出，然后根据求出，最后根据即可得出结

2、果.【详解】因为，所以，因为，所以，即，则，故选：D.3（2021全国高一专题练习）杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（ ）ABCD【答案】C【分析】利用正弦定理可得，结合已知条件有、，即可求的高度.【详解】由题意，即，中，则，而，在中，米.故选：C4（2021贵州高三期末（文）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部

3、在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计）当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）ABCD【答案】D【分析】首先求得细沙在上部容器时小圆锥的底面半径为4，进而求出小棱锥的体积，接着求出流入下部后的圆锥形沙堆的高，最后求出沙堆的侧面积.【详解】细沙在上部容器时的体积，流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8，设高为，则，所以，下部圆锥形沙堆的母线长，故此沙堆的侧面积故选：D.5（2021浙江金华市高三三模）若某多面体的三视图(单位)如图所示，则此多面体的体积是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据三视图可得该几何体为一个四棱锥，如图，即

4、可求出体积.【详解】根据三视图还原几何体，可得该几何体为一个四棱锥，且顶点可都为一个正方体的顶点，如图粗线所示，此多面体可看作半个正方体去掉一个三棱锥，则此多面体的体积是.故选：D.6（2021山西吕梁市高三三模（文）四书五经是四书、五经的合称，泛指儒家经典著作.四书指的是大学中庸论语孟子.五经指的是诗经尚书礼记周易春秋五部.某同学计划从“大学论语孟子诗经春秋”5种课程中选2种参加兴趣班课程进行学习，则恰好安排了1个课程为四书、1个课程为五经的概率为（ ）ABCD【答案】C【分析】由古典概型公式求解即可.【详解】5种课程有3门为四书，2门为五经，从5种课程中选2种有10种选法，则所求概率为7（

5、2021全国高二专题练习（文）早在世纪人们就知道用事件发生的频率来估计事件的概率.世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率，世纪年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率，(其中是产生内的均匀随机数的函数，)，则的值约为（ ）ABCD【答案】D【分析】根据，而表示个圆，则，故，即求.【详解】根据程序框图，知，而表示个圆，如图所示：则落在阴影部分的面积与正方形面积比为，得.故选：D.8（2021重庆市綦江中学高三月考）“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下

6、热议的话题.某居民小区有如图六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对两袋垃圾的概率为（ ）ABCD【答案】D【分析】任选两袋投对的组合种，其它4个元素，再求出6袋任意投的总方法数，应用古典概型的概率求法求概率.【详解】根据题意，六袋垃圾随机投入六个垃圾桶共有种方法，任意两袋种组合投对时，其他个元素全错位，概率为.故选：D.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9（2021浙江高三期末）八卦是中国文化中的基本哲学概

7、念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则下列结论中正确的有（ ）ABCD【答案】ABD【分析】根据正八边形性质，向量的共线，加法法则判断AC，计算出向量的数量积和模判断BD【详解】由正八边形性质知，A正确，而与同向，不可能等于，C错；，B正确；D正确故选：ABD10（2021江苏高一专题练习）已知复数（i是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）A B C D 【答案】AC【分析】计算2可判断A；计算3可判断B；计算2+1可判断C；根据虚数不能比较大小可判断D.【详解】， 2，故A正确，321，故B错误，2+110，故C正确；虚数不能比较大小，故D错误.故选：A

8、C【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键难度中等11（2021浙江高二期末）下列关于空间中两直线a，b和平面位置关系的叙述中错误的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】ABC【分析】逐一进行判断，对A要考虑与平面的关系；对B，由，可知结果；对C要考虑b和平面的关系；对D，直观想象即可得到结果.【详解】对A，若在平面内则不符合，故错误；对B，由，可知与不垂直，故错误；对C，若在平面内则不符合，故错误；对D，由，故，正确；故选：ABC12（2021河北衡水市高三其他模拟）下图是我国2011-2020年载货汽车产量及增长趋势统计图，针对这10年

9、的数据，下列说法正确的是（ ）A与2019年相比较，2020年我国载货汽车产量同比增速不到15%B这10年中，载货汽车的同比增速有增有减C这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆D这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆【答案】ABC【分析】A根据年载货汽车产量进行计算并判断；B同比增速大于说明是“增”，小于说明是“减”，据此进行判断；C根据载货汽车产量的最大值与最小值的差进行判断；D先将数据从小到大排列，然后求出中位数并进行判断.【详解】2020年的同比增速为，故A正确；由折线图可知，这10年中，载货汽车的同比增速有增有减，故B正确；由图可知，极差为(万辆)(万辆)，故C正确；将

10、这10年载货汽车产量由小到大排列得：，故中位数为(万辆)，故D错误.故选：ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13（2021全国高三其他模拟）全国政协委员唐江澎说过：好的教育应该是培养终身运动者、责任担当者、问题解决者和优雅生活者终身运动者，即要有敬畏生命、珍爱生命的态度，养成终身运动的习惯和健康的生活方式某中学积极响应此项号召，大力倡导学生进行体育锻炼，为了解高三学生体育锻炼的情况，对该校高三学生的每日运动时间进行了调查，并根据调查结果制成如图所示的频率分布直方图，则该校高三学生每日运动时间的中位数约是_【答案】35【分析】根据频率分布直方图计

11、算频率可判断中位数在，列出式子即可求解.【详解】根据频率分布直方图可得运动时间在的频率为，运动时间在的频率为，则可得中位数在内，设为，则，解得.故答案为：35.14（2021全国高三其他模拟（理）厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替交替之势，为了备战2021年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3人参赛，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时，C与D不同时参加”发生的概率为_【答案】【分析】先由题中条件，确定总的基本事件个数，再求出A，B，C，D这4人中至少参加一人所对应的基本事件个数，基本事件

12、的个数比即为所求概率.【详解】从9名协会会员中随机挑选3人参赛，所包含的总的基本事件共有个；若A，B，C，D这4人中只参加一人，则需从剩下的名会员中再选人，所以对应的基本事件有个；若A，B，C，D这4人中参加两人，则需从剩下的名会员中再选人，所以对应的基本事件有个；因此事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时，C与D不同时参加”发生的概率为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根

13、据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.15（2020绥化市第一中学高二月考（理）绥化一中早上7：30上课，假设学生小付与小马在早上7：007：20之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小付比小马至少早5分钟到校的概率为_（用数字作答）【答案】【分析】画出图象，利用面积比来求得所求概率.【详解】设小付到校时刻为，小马到校时刻为，则，画出图象如下图所示，故所求概率为故答案为： 16（2021上海交大附中高三其他模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为.直径为4的球的体积为，则_.【答案】【分析】

14、根据三视图可得原几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥，即可求得体积，得出所求.【详解】根据三视图可得原几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥，如图所示，则，又，则.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（2021陕西西安市西安中学高三其他模拟（理）设向量，（1）若，求实数的值；（2）设函数，求的最大值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）条件是，由向量模的坐标运算可得的方程，可解得；（2）首先由向量积的定义求得的表达式，并利用二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个三角函数形式，再由正弦函数的性质可求得的最大值【详解】（1）由，根据，得又，从而，所

15、以（2），,当，即时，的最大值为.【点睛】根据正弦函数值求解角度时，一定要规定角度的范围，往往多解或少解；求三角函数的性质时，一定要将其函数化为一个三角函数形式.18（2021浙江高一期末）已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位（1）求复数z和；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围【答案】（1），；（2）【分析】（1）设，由已知列关于，的方程组求解；（2）把（1）中求得的代入，整理后由实部与虚部均小于0联立不等式组求解【详解】解：（1）设，则，为实数，即为实数，则；所以，（2）由（1）得，依题意得，解得实数的取值范围是19（2021河南高三月考（文）如图，四棱台

16、的上下底面均为菱形，平面，.（1）证明：平面平面；（2）求四棱台的体积.【答案】（1）证明过程见解析；（2）.【分析】（1）过作，垂足为，连接，根据题意，结合菱形的性质、勾股定理的逆定理、余弦定理、直二面角的定义进行证明即可；（2）连接交于点，连接，根据棱台的性质、菱形的性质，结合余弦定理、棱台的体积公式、三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）过作，垂足为，连接，因为，所以，因为四边形是菱形，所以，因为，所以由余弦定理可知：，在菱形中，所以，因为，所以，因此是二面角的平面角，因为，所以，即，因此平面平面；（2）连接交于点，连接，因为，所以有且，因此四边形是平行四边形，所以，因为平面，所以平

17、面，因此是棱台的高，设，,则有，,由余弦定理可知：，即，所以四棱台的体积为：20（2021四川德阳市高三三模（文）如图，在多面体中，为菱形，平面平面，为的中点.若平面.（1）求证：平面；（2）若，求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，由线面平行的性质可得，再通过证明，即可得解；（2）根据条件得，进而由即可得解.【详解】（1）证明：取的中点，连接又为的中点.平面，平面，.平面平面平面，.连接，在正三角形中，又，又平面.（2）解：由（1）知，四边形为平行四边形.依题意可得四棱锥与的体积相等，则多面体的体积.21（2021浙江高一期末）现有某城市100户居民

18、的月平均用电量（单位：度）的数据，根据这些数据，以分组的频率分布直方图如图所示（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在内的用户中应抽取多少户？【答案】（1）；（2）众数度，中位数度；（3）.【分析】（1）根据频率和为计算出的值；（2）根据频率分布直方图中小矩形的高度可直接判断出众数，计算频率之和为时对应的数据即为中位数；（3）先根据频率分布直方图计算出四组用户的频率之比，然后利用样本容量乘以对应的比例即可求得应抽取的户数.【详解】（1）因为，所以；（2）由频率分布直方图可知：对应的频数

19、最大，所以众数为度；因为前三组频率之和为，第四组频率为，且，所以中位数在第四组数据中，设中位数为度，所以；（3）因为的频率之比为，所以月平均用电量在内的用户中应抽取：户，答：月平均用电量在内的用户中应抽取户.22（2021全国高三其他模拟（文）“中国科学十大进展”遴选活动由科学技术部高技术研究发展中心牵头举办，旨在激励广大科技工作者的科学热情和奉献精神，开展基础研究科学普及，促进公众理解关心和支持基础研究，在全社会营造良好的科学氛围.2021年2月，科技部高技术研究发展中心(基础研究管理中心)发布了2020年度中国科学十大进展.某校为调查本校中学生对2020年度中国科学十大进展的了解与关注情况，从该校高中年级在校生中，按高一高二年级，高三年级分成两个年级段，随机抽取了200名学生进行调查，其中高一高二年级共调查了120人，高三年级调查了80人，以说出10项科学进展的名称个数为标准，统计情况如下.假设以能至少说出四项科学进展的名称为成绩优秀.说出科学进展名称个数012345个及以上频数(高一高二年级)5253030255频数(高三年级)01015252010（1）根据频数分布表