高中数学必修二 19-20 第10章 10.2事件的相互独立性

1、 10.2事件的相互独立性学 习 目 标核 心 素 养1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义(重点、易混点)2结合古典概型，利用独立性计算概率(重点、难点)1.通过学习两个随机事件独立性的含义，培养学生数学抽象素养2通过利用随机事件的独立性计算概率，培养学生数学运算素养.1相互独立事件的定义对任意两个事件A与B，如果P(AB) P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立2相互独立事件的性质当事件A，B相互独立时，则事件A与事件eq o(B,sup12()相互独立，事件eq o(A,sup12()与事件B相互独立，事件eq o(A,sup12()与事件eq o(B,

2、sup12()相互独立思考：(1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？(2)公式P(AB)P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？提示(1)对于n个事件A1，A2，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，An相互独立(2)公式P(AB)P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)1袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，

3、A与C的关系是()AA与B，A与C均相互独立BA 与B相互独立，A与C互斥CA与B，A与C均互斥DA与B互斥，A与C相互独立A由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.2某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是()A0.64B0.56C0.81 D0.99CAi表示“第i题做对”，i1,2，则P(A1A2)P(A1)P(A2)0.90.90.81.3甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球

4、，则取到相同颜色的球的概率是 eq f(1,2)由题意知Peq f(8,84)eq f(6,66)eq f(4,84)eq f(6,66)eq f(1,2).相互独立事件的判断【例1】判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”解(1)二者不可能同时发生，M与N是互斥事件(2)样本空间为1,2,3,4,5,6，事件A2,4,6，事件B3,6，事件AB6，P(A)eq f(3,6)eq f(1,2)，P(B)eq f(2,6)eq f(1,

5、3)，P(AB)eq f(1,6)eq f(1,2)eq f(1,3)，即P(AB)P(A)P(B)故事件A与B相互独立当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件判断事件是否相互独立的方法(1)定义法：事件A，B相互独立P(AB)P(A)P(B)(2)利用性质：A与B相互独立，则A与eq xto(B)，eq xto(A)与B，eq xto(A)与eq xto(B)也都相互独立1坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是()A互斥事件 B相互独立事件C对立事件 D不相互独立事件D由于事件A1是否发生对事

6、件A2发生的概率有影响，所以A1与A2是不相互独立事件相互独立事件概率的计算【例2】在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局在每一场比赛中，甲胜乙的概率为eq f(1,3)，甲胜丙的概率为eq f(1,4)，乙胜丙的概率为eq f(1,3).(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率解(1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)eq f(1,3)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq f(1,18).(2)甲队至少得3分有两种

7、情况：两场只胜一场；两场都胜设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B C，则P(B C)P(B)P(C)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(5,12)eq f(1,12)eq f(1,2).用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：(1)用恰当的字母表示题中有关事件；(2)根据题设条件，分析事件间的关系；(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相

8、互独立)；(4)利用乘法公式计算概率2红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率解记甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件D，E，F，则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件eq o(D,sup12()，eq o(E,sup12()，eq o(F,sup12().根据各盘比赛结果相互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为PP(DEeq o(F,sup12()P(Deq o(E,sup12()F)P(eq o(D,sup12()EF)P(DEF)P(

9、D)P(E)P(eq o(F,sup12()P(D)P(eq o(E,sup12()P(F)P(eq o(D,sup12()P(E)P(F)P(D)P(E)P(F)0.60.5(10.5)0.6(10.5)0.5(10.6)0.50.50.60.50.50.55.相互独立事件的概率的综合应用探究问题1如果事件A，B相互独立时，那么事件A与事件eq xto(B)，事件eq xto(A)与事件B，事件eq xto(A)与事件eq xto(B)各是什么关系？提示事件A与事件eq xto(B)相互独立，事件eq xto(A)与事件B相互独立，事件eq xto(A)与事件eq xto(B)相互独立2如果

10、事件A，B相互独立，事件AB的对立事件是eq o(A,sup12() eq o(B,sup12()吗？提示如果事件A，B相互独立，事件AB的对立事件是eq o(A,sup12() eq o(B,sup12()eq xto(A)BAeq xto(B).【例3】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为eq f(1,3)和eq f(1,4)，求(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有1个人译出密码的概率思路探究首先判断事件是否相互独立，然后利用相互独立事件的性质，互斥事件、对立事件的概率公式计算解(1)记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密

11、码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)eq f(1,3)，P(B)eq f(1,4).(1)2个人都译出密码的概率为P(AB)P(A)P(B)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,12).(2)两个人都译不出密码的概率为P(eq o(A,sup12() eq o(B,sup12()P(eq xto(A)P(eq xto(B)1P(A)1P(B)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq f(1,2).(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰

12、有1个人译出密码的概率为P(Aeq xto(B) eq xto(A)B)P(Aeq xto(B)P(eq xto(A)B)P(A)P(eq xto(B)P(eq xto(A)P(B)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq f(1,4)eq f(5,12).1本例3条件不变，求至多1个人译出密码的概率解“至多1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1P(AB)1P(A)P(B)1eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(11,12).2本例3条件不变，求至少

13、有1个人译出密码的概率解“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为1P(eq o(A,sup12() eq o(B,sup12()1P(eq xto(A)P(eq xto(B)1eq f(2,3)eq f(3,4)eq f(1,2).事件间的独立性关系已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有事件表示概率A，B同时发生ABP(A)P(B)A，B都不发生eq o(A,sup12() eq o(B,sup12()P(eq xto(A)P(eq xto(B)A，B恰有一个发生(A eq xto(B)(eq xto(A)B)P

14、(A)P(eq xto(B)P(eq xto(A)P(B)A，B中至少有一个发生(A eq xto(B)(eq xto(A)B)(AB)P(A)P(eq xto(B)P(eq xto(A)P(B)P(A)P(B)A，B中至多有一个发生(A eq xto(B)(eq xto(A)B)(eq o(A,sup12() eq o(B,sup12()P(A)P(eq xto(B)P(eq xto(A)P(B)P(eq xto(A)P(eq xto(B)1相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件判断方法一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即AB概率公式事件A与B相

15、互独立等价于P(AB)P(A)P(B)事件A与B互斥，则P(AB)P(A)P(B)2.在涉及“至多”“至少”等事件的概率时，常利用对立事件的概率公式求解1判断正误(1)不可能事件与任何一个事件相互独立()(2)必然事件与任何一个事件相互独立()(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立()提示(1)正确不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响(2)正确必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响(3)错误因为两个事件互斥，所以二者不能同时发生，所以这两个事件不相互独立答案(1) (2)(3)2甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(

16、)A相互独立但不互斥B互斥但不相互独立C相互独立且互斥D既不相互独立也不互斥A对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件3甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是()A.eq f(5,24)B.eq f(5,12)C.eq f(1,24)D.eq f(3,8)C两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)P(A)P(B)eq f(9,36)eq f(6,36)eq f(1,24).4在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为eq f(4,