《九章算术》产生的背景

1、九章算术产生的背景秦始皇建立统一的封建帝国之后，统一了文字和度量衡制度；到了西汉，社会经济和文 化得到迅速发展，因此有必要，也有可能对先秦时期已经积累起来的、丰富的数学知识，进 行较为系统的整理，形成专门的数学理论。据史书记载，秦时掌管过国家图书的张仓，西汉 时的大司农耿寿昌以及许商、杜忠等人都编写过，或校订过算书，杜忠算术和许商算 术都已经失传。他们大多是执管天文历法、农业、水利等方面的官员，所编的算书也大多 为了培养行政官吏，或教习官家子弟。因此，这些算书都是采取问题集的形式，对提出的问 题，给出一种具体算法和答案。虽然秦和西汉时算书大多失传，但从算数书中仍可以看 到一个大概情形。算数书是

2、 1983 年在湖北江陵张家山出土的西汉早年（约前 180）的竹简算书，无 具名。它已初具问题集形式，并按算法将问题分类。分类的小标题为“分乘”、“增减分”等 60 多个，其中大部分算法术语，都出现在以后的九章算术之中，它很可能是九章算 术的取材来源之一。九章算术就是在这些算书的基础上，系统总结了先秦和东汉初年我国数学成就，经 历代名家补充、修改、增订而逐步形成的。至迟在1 世纪时，已有了现传本的内容。现传世 的九章算术是三国时魏晋数学家刘徽于 263 年注释的版本。 基本内容九章算术是中国古代的一本著名数学著作。“算”指算筹，简称“筹”，“术”指解 题的方法，因而“算术”是指用筹演算的原理和

3、方法，包括现在所说的算术、代数和几何的 各种算法。又因其分九章，故由此得名。九章算术每一章都包括若干道问题，数目不等，大致从简到繁排列，全书共有246 道题，每道问题后给出答案，一些问题后还给出“术”。现将各章内容简介如下：第一章“方田”，列题 38 个，立术 21 条。着重介绍各种形状地亩面积的计算与分数的 运算。“方”有单位面积的意思，“方田”则是计算一块田含多少个单位面积的方法。分数的 运算包括分数的四则运算、约分、大小比较和求几个分数的算术平均数等。第二章“粟米”，列题 46 个，立术 33 条，讨论各种粮食之间互相兑换的问题。“粟”是 谷类。这类问题都通过比例来解决。第三章“衰分”，

4、列题 20 个，立术 22 条，涉及的内容比较杂，其算法大体上多属于比 例配分问题。“衰（音崔 cui）”是按比例，“分”是分配。第四章“少广”，列题 24 个，立术 16 条，专讲开平方、开立方问题。“少”是多少，“广” 宽广。“少广”是由已知面（体）积，求其一边的宽广是多少的问题。本章给出了“开方术”、 “开圆术”、“开立方术”和“开立圆术”这四种重要算法。第五章“商功”，列题 28 个，立术 24 条，专讲各种土木工程中所提出的各类几何体体 积的求解。“商”是商量或度量，“功”是工程。第六章“均输”，列题 28 个，立术 28 条，主要讲处理行程和合理解决征税的问题。 第七章“盈不足”，

5、列题 20 个，立术 17 条，主要讲运用“盈不足术”解应用问题，涉及的内容多与商业有关。第八章“方程”，列题 18 个，立术 19 条，专讲线性方程组的解法。“方”就是把一个算 题用算筹列成方阵的形式，“程”是度量总名，程式之意。另外本章还提出了正负数的不同 表示法和加减运算法则。第九章“勾股”，列题 24 个，立术 19 条，主要研究勾股定理及其应用。本章继承和发 展了商高提出的勾股定理，并且开创了直角三角形相似法和出入相补原理。 特点（1）开放的归纳体系从九章算术的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书， 因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。从篇章的名称来看，方田、

6、粟米、衰分、 少广、商功、均输各章都属当时社会生产和生活方面需要解决的数学问题。书中所涉及 的具体问题，如，田亩测量、工程建设、交通运输、税收商业等，几乎包括了当时社会 生产和生活的各个领域。通过这些篇章中给出的算法，解决了当时社会生产和生活所提 出的各种计算问题。还有盈不足、方程、勾股三章，则分别研究了三种常用的数学模型 及其用法，是为在以上各个领域中的应用服务的。因此，九章算术的全部理论是以 寻求各种应用问题的普遍解法为中心的，是一个具有浓厚的“应用数学”色彩的开放性 理论体系，这与几何原本追求逻辑的完美形成了鲜明的对照。另外，九章算术的表述体系是按照由个别到一般的推导方式建立起来的。书中

7、 通常是先举出某一社会生活领域中的一个或几个个别问题，从中归纳出某一类问题的一 般解法，即算法（术）；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法， 从而构成一章；最后，把解决社会生产生活各领域中问题的数学方法全部综合起来，就 得到整个九章算术。该书的归纳特点还有另一层含意，即按照解决问题的不同数学 方法进行归纳。许多不同领域的实际问题可能需用相同的计算方法，从这些方法中提炼 出数学模型，最后再以数学模型立章写入九章算术。盈不足、方程、勾股三章就是 如此。因此，综观全书，九章算术是一个开放的归纳体系。（2）算法化的内容九章算术在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后

8、 再给出“术”，作为一类问题的共同解法。以后遇到其它同类问题，只要按“术”，给出 的程序去做就一定能求出问题的答案。历代数学家受到追求实用、讲究算法的传统思想 的影响，使他们对九章算术的注、校，主要集中在对“术”进行研究，即不断改进 算法。因此我们说，内容的算法化是九章算术思想方法上的特点之一。以下列举九章算术中约分术加以说明。约分术（第一章中的一个算法）是在假设读者已具备正整数四则运算方法的基础上 展开的，其术文是：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也， 以等数约之。”这也就是说：分母、分子若都是偶数，先同被 2 除；若不都是偶数，则用“更相减 损”术求其“

9、等数”，即最大公约数，再用最大公约数去同除分母、分子。所谓“更相减损”就是辗转相减，与辗转相除原理相同。如九章算术第一章中 第 6 题,有九十一分之四十九，问约之得几何?此问题关键是求 91 与 49 的最大公约数（等 数），其方法如下：于是 。九章算术中的多数“术”都与“约分术”相似，它们是这部著作的主要内容， 问题是为了引出术或作为术的应用而给出的。由于九章算术的主要内容为算法，因 而促进了对各种算法的研究，取得了诸如方程术、正负术、开方术、割圆术等著名算法 和一大批与之有关的数学成果。（3）模型化的方法从数学方法论的角度看，九章算术普遍使用了数学模型方法。各章都是先从相 应的社会实践中选

10、择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术” 使其转化成数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模 型，然后再举出可以应用的原型，例如，“勾股”、“方程”等章，其标题就是数学模型 的名称。 意义（1）九章算术的成书标志着中国传统数学体系的形成。其问题及思想方法对后 世的影响巨大而深远。九章算术从问世起，人们便由它来学习数学。到隋唐时期开始建立国立学校， 其中有算学科，该书被列为重要的教科书。在民间此书也广泛流传，所以，古代研究数 学的人大都是从九章算术开始，有些人正是通过对它的研究取得重要成就，成为历 史上杰出的数学家，其中最著名的有刘徽、祖冲之父子、贾

11、宪等。也就是说，九章算 术不但在普及数学知识方面起过巨大作用，而且还在培养和造就数学家方面起到了促 进作用。九章算术在我国的影响还表现在著作体例方面。九章算术以后的许多数 学著作都按其格式编写，注重实用，不注意逻辑结构，采用“问题一答案一算法”的体 例。甚至一些著作的书名都沿用“九章”两字，如数书九章、详解九章算法等。（2）九章算术中的数学成就是多方面的。它是世界上最早系统叙述分数运算的 著作；关于负数的论述也是世界上最早的。印度发现负数的记录最早见于 7 世纪。表示负数的梵文，与汉人的“负”字相同， 这证明我国负数概念对印度数学是有影响的。至于西欧，直到 17 世纪才认识负数。当 九章算术中

12、的各种比例算法传到欧洲时，引起了欧洲人的极大兴趣，他们称之为“黄 金算法”，认为它是各种算法中最宝贵的算法。我国古代叫这种算法为“今有术”，它早 于印度数学书籍所载的“三率法”。九章算术用“盈不足术”来解决算术中的难题。 这种算法约在 9 世纪传入阿拉伯，13 世纪转传入欧洲后，得到广泛的运用和发展。阿 拉伯人把盈不足术叫做“契丹算法”，从这个名称演变出“震旦”（中国）一词，可见它确系由我国传播出去的。（3）九章算术对中国周边国家数学及社会的发展也有一定的作用。在隋唐时期九章算术就已传入朝鲜、日本。对日本、朝鲜等东方诸国的数学发 展有过很大作用。人们现在越来越认识到九章算术不仅对我国古代数学影

13、响极大， 而且对世界数学的发展也起着重要的作用，因而引起各国学者、专家的重视，前苏联、 日本、德国、英国等国都有九章算术译本。（4）九章算术的思想方法不仅对古代数学的发展产生了重大影响，而且也是现 代数学思想发展的源泉。在现代数学的发展过程中，一再重现这种思想。如在 17 世纪微积分产生初期，就 不是靠理论的严格，而是靠实际应用的成功来保证其“可靠性”的。现代应用数学是按 应用方向或主要应用的数学模型来分类的。现代数学是一个开放的系统，成为各门科学 的方法或工具。随着电子计算机的蓬勃兴起，更进一步肯定了以发展算法和计算技术为 中心的中国传统数学的长处。中国科学院院士、著名数学家吴义俊教授在几何

14、定理的机 器证明领域所取得的成就，正是以九章算术为代表的中国传统数学特色在现代条件 下的发扬光大。二、学习重点、难点解析重点为几何原本和九章算术思想方法的特点和意义。理解几何原本与九章算术思想方法的特点可能是本章较为 困难的内容，为此我们补充下面的内容来加深对它们的理解。1古希腊数学与中国古代数学的比较解释古希腊数学和中国古代数学有许多共同之处。但是，由于希腊和中 国这两个文明古国的社会制度、数学和哲学的关系、文化背景及统治阶 级对数学的态度等方面的差异又决定了希腊与中国古代数学的很大不 同。首先，从内容上，古希腊数学以定性研究为主，以几何研究为中心； 中国数学则以定量研究为主，以算法研究为中

15、心。其次，希腊数学不是 用来解决实际问题的，他们所研究的内容都是离开具体应用对象的相当 抽象的性质。相反，中国古代数学的目的就是实际应用，并在应用中发 展。离开实际应用的纯理论数学在中国未占主流。第三，从形式上说， 希腊数学都包括命题的证明，并试图构成一个演绎体系。与此不同，中 国传统数学的特色是构造性、计算性和机械化。中国古代数学著作则采 取应用问题集的形式。第四，由于中国古代数学家追求实际应用的效果， 而古希腊数学家强调逻辑的严密，因此中国古代数学家没有像希腊人那 样受悖论困扰。几何原本是古希腊数学的代表，而中国古代数学以九章算术 为代表。几章算术确立了中国古代数学应用题的形式，以算法为中

16、 心的特点，理论联系实际的风格，构筑了中国古代数学的基本框架。在 中国和东方影响深远。今天，电子计算机的广泛应用使人们重新认识到 中国算法的重要意义。2模型化的方法、开放性的归纳体系及算法化的内容之间的关系解释。模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容之间是互相适应 并且互相促进的。虽然，各个数学模型之间也有一定的联系，但是它们更具有相对独立性。一个数学模型的建立与其它数学模型之间并不存在 逻辑依赖关系。正因为如此，所以可以根据需要随时从社会实践中提炼 出新的数学模型。而一定的算法必与一定的数学模型相匹配。因此，开 放性的归纳体系和算法化的内容为模型化方法的发展提供了可能和需 要。另一方面，由于运用模型化的方法研