2021-2022学年高二物理竞赛课件：固体的导电性

1、固体的导电性一、分布函数和玻耳兹曼方程 分布函数法的概念 费米函数表述的是在统计平衡状态下，固体中的电子的分布规律。如果我们以波矢标志电子的运动状态，那么根据关系式（4-11），在波矢空间的体积元 内状态数目为： 如果用 表示费米函数（T表示温度），那么在体积元 内的电子数就等于： (5-1) 一、分布函数和玻耳兹曼方程 如果考虑单位体积内的电子数，即设单位体积内的电子数为： n=N/VC，那么由（5-1）式可以得到： （5-2）这种分布可以形象地表示为电子在K空间的密度分布，即表示在一定温度下，K空间某处电子密度的大小。 一、分布函数和玻耳兹曼方程 在平衡状态分布时， 由于因此分布密度 对于

2、 是对称的。而此时由于因此电流 大小相等方向相反。 即电流为零一、分布函数和玻耳兹曼方程 当在上述的平衡系统上外加一个恒定外场 时，很快会形成一个稳定电流密度，并且服从欧姆定律： （5-3） 式中为电导率。 这个稳定电流实际上反映了在稳定外场作用下，电子达到了一个新的定态统计分布状态。这种定态分布也可以用一个与平衡时相似的分布函数 来描述，即单位体积内在 中的电子数为： （5-4） 一、分布函数和玻耳兹曼方程 由于电子的速度为 ，因此它们对于电流密度的贡献可以写为： （5-5）积分上式可得到总的电流密度为： （5-6）上式说明只要确定了分布函数 ，就可以直接计算电流密度。通过这种非平衡情况下的

3、分布函数来研究电子输运过程的方法，就是分布函数法。 一、分布函数和玻耳兹曼方程 这里应注意的是，要准确地区别“平衡统计分布”与“定态统计分布”。平衡统计分布是指，宏观上电子处于相对静止状态，各处的状态密度相同。定态统计分布是指，宏观上电子做定向运动，各处状态密度不变。 玻耳茲曼方程是从考查分布函数如何随时间变化而确立的。分布函数的变化有两个来源：漂移项。它是指由外界条件所引起的统计分布在K空间的“漂移”。碰撞项。它是指由于晶格原子的振动，或者是杂质的存在等原因，电子不断地发生从一个状态 到另一个状态 的“跃迁”。 我们可以把这种运动状态的改变想象成与分子运动论中一个分子遭受碰撞由速度 变化为另

4、一速度 的情况相似。电子态的这种变化常称为散射。一、分布函数和玻耳兹曼方程 玻耳茲曼方程一、分布函数和玻耳兹曼方程 由量子力学可以知道，电子的运动速度与波矢是一一对应的，所以我们可以以实际位置坐标 和波矢 为变量组成相空间。 在相空间中电子是以分布函数 来描述的，它代表t时刻在点 附近单位体积中一种自旋的电子数。所以t时刻在相空间体积元 中一种自旋的电子数是： 一、分布函数和玻耳兹曼方程 随时间的总变化率应由三部分组成： （5-7）其中： 代表外场引起的分布函数的变化； 代表电子因受散射引起的分布函数的变化； 代表分布函数是时间显函数时的偏导数。一、分布函数和玻耳兹曼方程 如果电子的分布不随时

5、间变化而处于定态分布状态，则 此时f不显含时间，故 也为零，因此有： （5-8） 一、分布函数和玻耳兹曼方程 首先讨论“漂移项”。在相空间中，t时刻位置为 处的电子是由t-t时刻在 处的电子漂移来的；而波矢为 的电子是由波矢为 的电子漂移来的。 时间位置坐标波矢坐标t-tt一、分布函数和玻耳兹曼方程 当t很小时，可以假定电子在这个漂移过程中没有遇到碰撞。根据全微分的方法可以得到下面的关系式： (5-9)所以有： （5-10）上式表明，外场引起的分布函数的变化由两部分组成，一部分是由于电子在坐标空间的运动引起的；第二部分是电子在波矢空间的运动引起的，其结果是使晶体电子状态代表点在波矢空间的分布成为不均匀的，此时 一、分布函数和玻耳兹曼方程 下面再讨论“碰撞项”。可以用一个跃迁几率函数： 来描述单位时间由状态 的跃迁几率，这里只考虑自旋不