复变函数与积分变换重点公式归纳

1、学习必备 欢迎下载复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数 一、复变数和复变函数wfzux ,yivx ,y二、复变函数的极限与连续极限z lim z0fz A连续z lim z 0fzfz0一、复变函数wfz 可导与解析的概念；其次章解析函数ux,yivx,y二、柯西黎曼方程把握利用 C-R 方程u uxfvy判别复变函数的可导性与解析性；vyyv xfu xivx1fiuyz 把握复变函数的导数：xiyuxiuyivxv y三、初等函数 重点把握初等函数的运算和复数方程的求解；1、幂函数与根式函数wznrncosisinnrncos nisinnrnin e2i单值函数wnzr1eiar

2、gz2kk=0、1、 2、 、 n-1 nnn 多值函数为周期2、指数函数：wz ex ecosyisiny性质：（ 1）单值 .（2）复平面上到处解析,z e z e（3）以3、对数函数wLnzlnziargz2 klnzi2 k（k=0 、 1、 2 ）z k1；性质：（1）多值函数 ,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:lnz k4、三角函数：coszeiz2eizsinzeiz2 ieiz性质：（ 1）单值（2）复平面上到处解析（3）周期性（4）无界5、反三角函数（明白）反正弦函数wArcsinz1Ln iz1z2i反余弦函数wArccosz1学习必备欢迎下载Lnzz

3、21i性质与对数函数的性质相同；6、一般幂函数：s zsLnz es lnez2kargz i（ k=0、1 ）四、调和函数与共轭调和函数：1 调和函数 :2 ux ,y0,求其虚部（实部）2 已知解析函数的实部（虚部）有三种方法： a）全微分法 b）利用 C-R 方程 c）不定积分法一、复变函数的积分第三章z解析函数的积分ilv dxu d y存在的条件；lfdzlu d xvd y二、复变函数积分的运算方法1、沿路径积分：a cfzdz利用参数法积分,关键是写出路径的参数方程；2、闭路积分：利用留数定理,柯西积分公式,高阶导数公式；fzdzcb c ux,yivx,ydz利用参数积分方法三

4、、柯西积分定理：cfzdz0推论 1：积分与路径无关cfzdzz 2fz dzz 1推论 2：利用原函数运算积分z 2fz dzFz 2Fz 1z 1推论 3：二连通区域上的柯西定理c 1fzdzc 2fzdz推论 4：复连通区域上的柯西定理cfzdzfn1c kfzdzzd1dcfz dz z 02ifz 0kf1四、柯西积分公式：zi2cz五、高阶导数公式：fnz n .cfz n2i学习必备 欢迎下载解析函数的两个重要性质：解析函数fz在任一点 z 的值可以通过函数沿包围点z 的任一简洁闭合回路的积分表示；解析函数有任意阶导数；本章重点： 把握复变函数积分的运算方法沿路径积分cfzdz1

5、）利用参数法积分2）利用原函数运算积分；闭路积分cfzdz利用留数定理运算积分；解析函数的级数第四章一、幂级数及收敛半径：a nzbnfz 是解析函数,在这个收敛圆内,这n01、一个收敛半径为R（ 0）的幂级数,在收敛圆内的和函数个绽开式可以逐项积分和逐项求导,即有：ffzzn1nanlznbnbndzz0bR1zbRzdzn0zazna n1n z0n2、收敛半径的运算方法1） 比值法：Rlim nan/an12） 根值法：R1 /lim nna n二、泰勒（ Taylor ）级数1、如函数f z 在圆域zbR内解析,那么在此圆域内fz可以绽开成Taylor 级数Taylor 级数；fz n

6、0a nzb nn0fnbzbnn .1）绽开式是唯独的；故将函数在解析点的邻域中绽开幂级数肯定是2 收敛半径是绽开点到fz 的全部奇点的最短距离；3）绽开式的系数可以微分运算：anfnb.n4）解析函数可以用Taylor 级数表示；2、记住一些重要的泰勒级数：1）11zn0zn2）学习必备0欢迎下载z en zn .n3）sinzn02n1n z2n14）coszn01nz2n1 .2 n .三、罗兰（ Laurent）级数假如函数fz在圆环城R 1zbR 2内解析,就fz =nc nzb nc n1ilzfzn1dz2bx（n=0、 1、 2 ）1、绽开式是唯独的,即只要把函数在圆环城内绽

7、开为幂级数即为Laurent 级数；2、绽开式的系数是不行以利用积分运算；利用已知的幂级数,通过代数运算把函数绽开成 Laurent 级数；3、留意绽开的区域,在绽开点的全部解析区域绽开；四、孤立奇点1、定义： 如 b 是f z 的孤立奇点, 就fz在0zzb内解析； 在此点fz可绽开为罗兰级数,f z =c nn1cnzbcnnzbbnnnn02、分类：孤立奇点可去奇点:无负幂项,Res fz,b0C-1 极点:有限负幂项本性奇点:无穷多负幂项,Res fz ,bc1把函数在奇点的去心邻域中绽开为罗兰级数,求解3、极点留数运算a 假如 b 是fz 的一阶极点,就Res fz,blim z b

8、zbfz b 假如 b 是fz 的 m 阶极点,就zbmfzRes fz ,bm11.lim z bdm1m dz1c 如 b 是fzPz的一阶极点,且Pb 0,那么QzResPz, bPbQzQ bd Res fz ,Res f110,zz2e 如 zs f是fz 的可去奇点,并且学习必备欢迎下载lim zfz 0,Rez,C1zlimzfz关系：全平面留数之和为零；Resfz,bkResfz,0dz；fzdzk1本章重点： 函数绽开成Taylor 级数,并能写出收敛半径；函数在解析圆环城内绽开成Laurent 级数；孤立奇点（包含z点）的判定及其留数的运算；第五章留数定理的应用一、2Rsi

9、n,cosd0条件：（1）Rsin ,cos 为 cos 与 sin 的有理函数（2）R . 在0,2 或者-, 上连续；令zie,就sinz2z1,coszz1,di2iz2Rsin,cosdz1R2 z1,z2z1dz02 iz2izz1nkz12iResfz,kzk1留意留数是运算单位圆中的奇点；二、fxdxxPxQxPx,Qx是 x 的多项式；条件：（1）f（2）Qx0（3） 分母阶次比分子阶次至少高二次就nz在上半平面的奇点；fxdx2iResfz,b kkb 是f三、R1Px至少高一阶,Rxi exdx（0 ）条件：（1）RxPxQx,且Qx比I（2）Qx0,（3）0Imkb0Rx

10、i exdx2inResRzeiz,b kk1RxcosxdxReI,R学习必备欢迎下载IxsinxdxIm重点关注第一和第三种类型第七章 Fourier 变换 一、傅立叶变换二、Ffxejtdt1. 1ejxdxfx1Fej td2.函数的傅立叶变换jxdxxxe2三、一些傅立叶变换及逆变换.Hx1x1i.1i1H2四、性质： .fxF1、 相像性质.fax0 x1 aFajx0F0推迟性质2、 .fxx0e.ejfxF位移性质3、微分性质.fxxjFF.jxfxxFdnF.fnjn.jnfxdn4、积分性质.xfxdx1Fx 0j由 Fourier 变换的微分和积分性质,我们可以利用四、卷

11、积和卷积定理f 1x*f2xx f1f2xd.f 1x*f2F 1F2Fourier 变换求解微积分方程；学习必备欢迎下载.f1xf2x 1F 1*F 22五、三维 Fourier 变换及反演本章重点： 利用定义运算Fourier 变换第八章Laplace 变换一、拉普拉斯变换.fx0fxeptdtFp二、几个重要的拉普拉斯变换及逆变换.Htt1p22.111Htettpp.et1.1pp.cosp.1cospp22.sintm .pmp22.1p22sint.tm1.t1四、拉普拉斯变换的性质1、.ftt0ept0Fp0t2f02、.ep 0tf tFpp03、.ftpFpf0.futp2Fppf.tnftduFp2ddpntftdt4、.1Fp0pfttdt.Fpdptf 1f五、卷积：f 1t*f2t0.f1t*f2tF 1pFp学习必备 欢迎下载六、 Laplace 反演ft1jjjFpeptdpnn1ResFpept,pn2七、 Laplace 逆变换（1）部分分式法（2）卷积定理（3）Laplace 反演公式（留数定理）（4）利用 Laplace 变换的性质